時間：2023-03-15 14:54:42
導語：在數學知識點總結的撰寫旅程中，學習并吸收他人佳作的精髓是一條寶貴的路徑，好期刊匯集了九篇優秀范文，愿這些內容能夠啟發您的創作靈感，引領您探索更多的創作可能。
一、算術
1、加法交換律：兩數相加交換加數的位置，和不變。
2、加法結合律：a + b = b + a
3、乘法交換律：a × b = b × a
4、乘法結合律：a × b × c = a ×(b × c)
5、乘法分配律：a × b + a × c = a × b + c
6、除法的性質：a ÷ b ÷ c = a ÷(b × c)
7、除法的性質：在除法里，被除數和除數同時擴大(或縮小)相同的倍數，商不變。 O除以任何不是O的數都得O。 簡便乘法：被乘數、乘數末尾有O的乘法，可以先把O前面的相乘，零不參加運算，有幾個零都落下，添在積的末尾。
8、有余數的除法： 被除數=商×除數+余數
二、方程、代數與等式
等式：等號左邊的數值與等號右邊的數值相等的式子叫做等式。 等式的基本性質：等式兩邊同時乘以(或除以)一個相同的數，等式仍然成立。
方程式：含有未知數的等式叫方程式。
一元一次方程式：含有一個未知數，并且未知數的次 數是一次的等式叫做一元一次方程式。學會一元一次方程式的例法及計算。即例出代有的算式并計算。
代數： 代數就是用字母代替數。
代數式：用字母表示的式子叫做代數式。如：3x =ab+c
三、分數
分數：把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾分的數,叫做分數。
分數大小的比較：同分母的分數相比較，分子大的大，分子小的小。異分母的分數相比較，先通分然后再比較;若分子相同，分母大的反而小。
分數的加減法則：同分母的分數相加減，只把分子相加減，分母不變。異分母的分數相加減，先通分，然后再加減。
分數乘整數，用分數的分子和整數相乘的積作分子，分母不變。
分數乘分數，用分子相乘的積作分子，分母相乘的積作為分母。
分數的加、減法則：同分母的分數相加減，只把分子相加減，分母不變。異分母的分數相加減，先通分，然后再加減。
倒數的概念：1.如果兩個數乘積是1，我們稱一個是另一個的倒數。這兩個數互為倒數。1的倒數是1，0沒有倒數。
分數除以整數(0除外)，等于分數乘以這個整數的倒數。
分數的基本性質：分數的分子和分母同時乘以或除以同一個數(0除外)，分數的大小
分數的除法則：除以一個數(0除外)，等于乘這個數的倒數。
真分數：分子比分母小的分數叫做真分數。
假分數：分子比分母大或者分子和分母相等的分數叫做假分數。假分數大于或等于1。
帶分數：把假分數寫成整數和真分數的形式，叫做帶分數。
分數的基本性質：分數的分子和分母同時乘以或除以同一個數(0除外)，分數的大小不變。
四、體積和表面積
三角形的面積=底×高÷2。 公式 S= a×h÷2
正方形的面積=邊長×邊長 公式 S= a2
長方形的面積=長×寬 公式 S= a×b
平行四邊形的面積=底×高 公式 S= a×h
梯形的面積=(上底+下底)×高÷2 公式 S=(a+b)h÷2
內角和：三角形的內角和=180度。
長方體的表面積=(長×寬+長×高+寬×高 ) ×2 公式：S=(a×b+a×c+b×c)×2
正方體的表面積=棱長×棱長×6 公式： S=6a2
長方體的體積=長×寬×高 公式：V = abh
長方體(或正方體)的體積=底面積×高 公式：V = abh
正方體的體積=棱長×棱長×棱長 公式：V = a3
圓的周長=直徑×π 公式：L=πd=2πr
圓的面積=半徑×半徑×π 公式：S=πr2
圓柱的表(側)面積：圓柱的表(側)面積等于底面的周長乘高。公式：S=ch=πdh=2πrh
圓柱的表面積：圓柱的表面積等于底面的周長乘高再加上兩頭的圓的面積。 公式：S=ch+2s=ch+2πr2
圓柱的體積：圓柱的體積等于底面積乘高。公式：V=Sh
圓錐的體積=1/3底面×積高。公式：V=1/3Sh
五、數量關系計算公式
單價×數量=總價 2、單產量×數量=總產量
速度×時間=路程 4、工效×時間=工作總量
加數+加數=和 一個加數=和+另一個加數
被減數-減數=差 減數=被減數-差 被減數=減數+差
1 、整數加法
把兩個數合并成一個數的運算叫做加法。 在加法里，相加的數叫做加數，加得的數叫做和。加數是部分數，和是總數。
【公式】
加數+加數=和
一個加數=和－另一個加數
2 、整數減法
已知兩個加數的和與其中的一個加數，求另一個加數的運算叫做減法。
在減法里，已知的和叫做被減數，已知的加數叫做減數，未知的加數叫做差。被減數是總數，減數和差分別是部分數。
加法和減法互為逆運算。
3、 整數乘法
求幾個相同加數的和的簡便運算叫做乘法。
在乘法里，相同的加數和相同加數的個數都叫做因數。相同加數的和叫做積。
在乘法里，0和任何數相乘都得0. 1和任何數相乘都的任何數。
【公式】
一個因數× 一個因數 =積
一個因數=積÷另一個因數
4 、整數除法
已知兩個因數的積與其中一個因數，求另一個因數的運算叫做除法。
在除法里，已知的積叫做被除數，已知的一個因數叫做除數，所求的因數叫做商。
乘法和除法互為逆運算。
在除法里，0不能做除數。因為0和任何數相乘都得0，所以任何一個數除以0，均得不到一個確定的商。
【公式】
被除數÷除數=商
除數=被除數÷商
被除數=商×除數
二、小數四則運算
1、小數加法
小數加法的意義與整數加法的意義相同。是把兩個數合并成一個數的運算。
2、小數減法
小數減法的意義與整數減法的意義相同。已知兩個加數的和與其中的一個加數，求另一個加數的運算.
3、小數乘法
小數乘整數的意義和整數乘法的意義相同，就是求幾個相同加數和的簡便運算；一個數乘純小數的意義是求這個數的十分之幾、百分之幾、千分之幾……是多少。
4、小數除法
小數除法的意義與整數除法的意義相同，就是已知兩個因數的積與其中一個因數，求另一個因數的運算。
5、乘方
求幾個相同因數的積的運算叫做乘方。例如 3 × 3 =32
三、分數四則運算
1. 分數加法
分數加法的意義與整數加法的意義相同。 是把兩個數合并成一個數的運算。
2. 分數減法
分數減法的意義與整數減法的意義相同。已知兩個加數的和與其中的一個加數，求另一個加數的運算。
3. 分數乘法
分數乘法的意義與整數乘法的意義相同，就是求幾個相同加數和的簡便運算。
4. 乘積是1的兩個數叫做互為倒數。
高二數學知識點總結(一)
【一】
(一)基本概念
必然事件
確定事件
1、事件不可能事件
不確定事件(隨機事件)
2、什么叫概率?
表示一個事件發生可能性的大小，記為P(事件名稱)=a;
練習一：判斷下列事件的類型
(1)今天是星期二，明天是星期三;
(2)擲一枚質地均勻的正方體骰子，得到點數7;
(3)買彩票中了500萬大獎;
(4)拋兩枚硬幣都是正面朝上;
(5)從一副洗好的牌中(54張)中抽出紅桃A。
(二)預測隨機事件的概率
1、步驟：
(1)找出所有機會均等的結果，作為概率的分母
注：不能僅憑主觀判斷，而應利用列舉法、樹狀圖、列表法等方法找。
(2)明確關注結果，作為分子
2、用列表法或樹狀圖分析復雜情況下機會均等結果
【二】
一、隨機事件
主要掌握好(三四五)
(1)事件的三種運算：并(和)、交(積)、差;注意差A-B可以表示成A與B的逆的積。
(2)四種運算律：交換律、結合律、分配律、德莫根律。
(3)事件的五種關系：包含、相等、互斥(互不相容)、對立、相互獨立。
二、概率定義
(1)統計定義：頻率穩定在一個數附近，這個數稱為事件的概率;(2)古典定義：要求樣本空間只有有限個基本事件，每個基本事件出現的可能性相等，則事件A所含基本事件個數與樣本空間所含基本事件個數的比稱為事件的古典概率;
(3)幾何概率：樣本空間中的元素有無窮多個，每個元素出現的可能性相等，則可以將樣本空間看成一個幾何圖形，事件A看成這個圖形的子集，它的概率通過子集圖形的大小與樣本空間圖形的大小的比來計算;
(4)公理化定義：滿足三條公理的任何從樣本空間的子集集合到[0，1]的映射。
三、概率性質與公式
(1)加法公式：P(A+B)=p(A)+P(B)-P(AB)，特別地，如果A與B互不相容，則P(A+B)=P(A)+P(B);
(2)差：P(A-B)=P(A)-P(AB)，特別地，如果B包含于A，則P(A-B)=P(A)-P(B);
(3)乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A)或P(AB)=P(A|B)P(B)，特別地，如果A與B相互獨立，則P(AB)=P(A)P(B);
(4)全概率公式：P(B)=∑P(Ai)P(B|Ai).它是由因求果，
貝葉斯公式：P(Aj|B)=P(Aj)P(B|Aj)/∑P(Ai)P(B|Ai).它是由果索因;
如果一個事件B可以在多種情形(原因)A1,A2,....,An下發生，則用全概率公式求B發生的概率;如果事件B已經發生，要求它是由Aj引起的概率，則用貝葉斯公式.
(5)二項概率公式：Pn(k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k),k=0,1,2,....,n.當一個問題可以看成n重貝努力試驗(三個條件：n次重復，每次只有A與A的逆可能發生，各次試驗結果相互獨立)時，要考慮二項概率公式.
【三】
1.輾轉相除法是用于求公約數的一種方法，這種算法由歐幾里得在公元前年左右首先提出，因而又叫歐幾里得算法.
2.所謂輾轉相法，就是對于給定的兩個數，用較大的數除以較小的數.若余數不為零，則將較小的數和余數構成新的一對數，繼續上面的除法，直到大數被小數除盡，則這時的除數就是原來兩個數的公約數.
3.更相減損術是一種求兩數公約數的方法.其基本過程是：對于給定的兩數，用較大的數減去較小的數，接著把所得的差與較小的數比較，并以大數減小數，繼續這個操作，直到所得的數相等為止，則這個數就是所求的公約數.
4.秦九韶算法是一種用于計算一元二次多項式的值的方法.
5.常用的排序方法是直接插入排序和冒泡排序.
6.進位制是人們為了計數和運算方便而約定的記數系統.“滿進一”，就是k進制，進制的基數是k.
7.將進制的數化為十進制數的方法是：先將進制數寫成用各位上的數字與k的冪的乘積之和的形式，再按照十進制數的運算規則計算出結果.
8.將十進制數化為進制數的方法是：除k取余法.即用k連續去除該十進制數或所得的商，直到商為零為止，然后把每次所得的余數倒著排成一個數就是相應的進制數.
高二數學知識點總結(二)
第一章 算法初步
算法的概念
算法的特點
(1)有限性：
一個算法的步驟序列是有限的，必須在有限操作之后停止，不能是無限的.
(2)確定性：
算法中的每一步應該是確定的并且能有效地執行且得到確定的結果，而不應當 是模棱兩可.
(3)順序性與正確性：
算法從初始步驟開始，分為若干明確的步驟，每一個步驟只能有一個 確定的 后繼步驟，前一步是后一步的前提，只有執行完前一步才能進行下一步，并且每 一 步都準確無誤，才能完成問題.
(4)不唯一性：
求解某一個問題的解法不一定是唯一的，對于一個問題可以有不同的算法.
(5)普遍性：
很多具體的問題，都可以設計合理的算法去解決，如心算、計算器計算都要經過 有限、事先設計好的步驟加以解決.
程序框圖
1、程序框圖基本概念：
(一)程序構圖的概念：程序框圖又稱流程圖，是一種用規定的圖形、指向線及文字說明來 準確、直觀地表示算法的圖形。
一個程序框圖包括以下幾部分：
1.表示相應操作的程序框;
2.帶箭頭的流程線;
3.程序框外
4.必要文字說明。
(二)構成程序框的圖形符號及其作用
畫程序框圖的規則如下：
1、使用標準的圖形符號。
2、框圖一般按從上到下、從左到右的方向畫。
3、除判斷框外，大多數流程圖符號只有一個進入點和一個退出點。判斷框具有超過一個退 出點的唯一符號。
4、判斷框分兩大類，一類判斷框“是”與“否”兩分支的判斷，而且有且僅有兩個結果; 另一類是多分支判斷，有幾種不同的結果。
5、在圖形符號內描述的語言要非常簡練清楚。
(三)、算法的三種基本邏輯結構：順序結構、條件結構、循環結構。
1、順序結構：順序結構是最簡單的算法結構，語句與語句之間，框與框之間是按從上到下的順序進行的，它是由若干個依次執行的處理步驟組成的，它是任何一個算法都離不開的一種基本算法結構。
順序結構在程序框圖中的體現就是用流程線將程序框自上而
下地連接起來，按順序執行算法步驟。如在示意圖中，A框和B
框是依次執行的，只有在執行完A框指定的操作后，才能接著執
行B框所指定的操作。
2、條件結構：
條件結構是指在算法中通過對條件的判斷根據條件是否成立而選擇不同流向的算法結 構。條件P是否成立而選擇執行A框或B框。無論P條件是否成立，只能執行A框或B 框之一，不可能同時執行A框和B框，也不可能A框、B框都不執行。一個判斷結構可 以有多個判斷框。
3、循環結構：
在一些算法中，經常會出現從某處開始，按照一定條件，反復執行某一處理步驟的情況， 這就是循環結構，反復執行的處理步驟為循環體，顯然，循環結構中一定包含條件結構。 循環結構又稱重復結構。
循環結構可細分為兩類：
(1)一類是當型循環結構
如下左圖所示，它的功能是當給定的條件P成立時，執行A框，A框執行完畢后，再判斷條件P是否成立，如果仍然成立，再執行A框，如此反復執行A框，直到某一次條件P不成立為止，此時不再執行A框，離開循環結構。
(2)另一類是直到型循環結構
如下右圖所示，它的功能是先執行，然后判斷給定的條件P是否成立，如果P仍然不成立，則繼續執行A框，直到某一次給定的條件P成立為止，此時不再執行A框，離開循環結構。
當型循環結構 直到型循環結構
輸入、輸出語句和賦值語句
賦值語句
(1)賦值語句的一般格式
(2)賦值語句的作用是將表達式所代表的值賦給變量;
(3)賦值語句中的“=”稱作賦值號，與數學中的等號的意義是不同的。賦值號的左右兩 邊不能對換，它將賦值號右邊的表達式的值賦給賦值號左邊的變量;
(4)賦值語句左邊只能是變量名字，而不是表達式，右邊表達式可以是一個數據、常量或 算式;
(5)對于一個變量可以多次賦值。
注意：
①賦值號左邊只能是變量名字，而不能是表達式。如：2=X是錯誤的。
②賦值號左右不能對換。如“A=B”“B=A”的含義運行結果是不同的。
③不能利用賦值語句進行代數式的演算。(如化簡、因式分解、解方程等)
④賦值號“=”與數學中的等號意義不同。
注意：
在IF—THEN—ELSE語句中，“條件”表示判斷的條件，“語句1”表示滿足條件時執行的操作內容;“語句2”表示不滿足條件時執行的操作內容;END IF表示條件語句的結束。計算機在執行時，首先對IF后的條件進行判斷，如果條件符合，則執行THEN后面的語句1;若條件不符合，則執行ELSE后面的語句2
第二章 統計
簡單隨機抽樣
1.總體和樣本：
1.研究對象的全體叫做總體.
2.每個研究對象叫做個體.
3.總體中個體的總數叫做總體容量.
4.樣本容量：一般從總體中隨機抽取一部分：
研究，我們稱它為樣本.其中個體的個數稱為樣本容量.
2.簡單隨機抽樣：
從總體中不加任何分組、劃類、排隊等，完全隨機地抽取調查單位。
特點：
每個樣本單位被抽中的可能性相同(概率相等)，樣本的每個單位完全獨立，彼此間 無一定的關聯性和排斥性。簡單隨機抽樣是其它各種抽樣形式的基礎。通常只是在 總體單位之間差異程度較小和數目較少時，才采用這種方法。
3.簡單隨機抽樣常用的方法：
(1)抽簽法;
⑵隨機數表法;
⑶計算機模擬法;
⑷使用統計軟件直接抽取。
4.抽簽法:
(1)給調查對象群體中的每一個對象編號;
(2)準備抽簽的工具，實施抽簽
(3)對樣本中的每一個個體進行測量或調查
5.隨機數表法
系統抽樣
把總體的單位進行排序，再計算出抽樣距離，然后按照這一固定的抽樣距離抽取樣 本。第一個樣本采用簡單隨機抽樣的辦法抽取。
K(抽樣距離)=N(總體規模)/n(樣本規模)
分層抽樣
先將總體中的所有單位按照某種特征或標志(性別、年齡等)劃分成若干類型或層次，然后再在各個類型或層次中采用簡單隨機抽樣或系用抽樣的辦法抽取一個子樣本，最后，將這些子樣本合起來構成總體的樣本。
兩種方法：
(1)按比例分層抽樣：
根據各種類型或層次中的單位數目占總體單位數目的比重來抽取樣本的方法。
(2)不按比例分層抽樣：
有的層次在總體中的比重太小，其樣本量就會非常少，此時采用該方法，主要是便 于對不同層次的子總體進行專門研究或進行相互比較。如果要用樣本資料推斷總體 時，則需要先對各層的數據資料進行加權處理，調整樣本中各層的比例，使數據恢 復到總體中各層實際的比例結構。
2.2.2用樣本的數字特征估計總體的數字特征
1、平均值：
2、.樣本標準差：
4.(1)如果把一組數據中的每一個數據都加上或減去同一個共同的常數，標準差不變
(2)如果把一組數據中的每一個數據乘以一個共同的常數k，標準差變為原來的k倍
2.3.2兩個變量的線性相關
1、概念: (1)回歸直線方程 (2)回歸系數
2.回歸直線方程的應用
(1)描述兩變量之間的依存關系;利用直線回歸方程即可定量描述兩個變量間依存的數量關系
(2)利用回歸方程進行預測;把預報因子(即自變量x)代入回歸方程對預報量(即因變量Y)進行估計，即可得到個體Y值的容許區間。
第三章 概 率
隨機事件的概率及概率的意義
1、基本概念：
(1)必然事件：在某種條件下，一定會發生的事件，叫做必然事件;
(2)不可能事件：在某種條件下，一定不會發生的事件，叫做不可能事件;
(3)隨機事件：在某種條件下可能發生也可能不發生的事件，叫做隨機事件;
(4)基本事件：
試驗中不能再分的最簡單的隨機事件，其他事件可以用它們來描繪，這樣 的 時間叫基本事件;
(5)基本事件空間：
所有基本事件構成的集合，叫做基本事件空間，用大寫希臘字母Ω表示;
(5)頻數、頻率：
在相同的條件下重復n次試驗，觀察某一事件A是否出現，稱n次試驗 中事件A出現的次數為事件A出現的頻數;稱事件A出現的比例為事 件A出現的頻率;
(6)概率：
在n次重復進行的試驗中，時間A發生的頻率m\n，當n很大時，總是在某個常 熟附近擺動，隨著n的增加，擺動幅度越來越小，這時就把這個常熟叫做事件A 的概率，記作P(A)，0≤P(A)≤1;
概率的基本性質
1.必然事件概率為1，不可能事件概率為0，因此0≤P(A)≤1;
2.當事件A與B互斥時，滿足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B);
3.若事件A與B為對立事件，則A∪B為必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于 是有P(A)=1—P(B);
4.互斥事件與對立事件的區別與聯系，互斥事件是指事件A與事件B在一次試驗中不 會同時發生，其具體包括三種不同的情形：(1)事件A發生且事件B不發生;(2) 事件A不發生且事件B發生;(3)事件A與事件B同時不發生，而對立事件是指事 件A與事件B有且僅有一個發生，其包括兩種情形;(1)事件A發生B不發生;(2) 事件B發生事件A不發生，對立事件互斥事件的特殊情形。
古典概型
(1)古典概型的使用條件：試驗結果的有限性和所有結果的等可能性。
(2)古典概型的解題步驟;
①求出總的基本事件數;
②求出事件A所包含的基本事件數，然后利用公式P(A)=#FormatImgID_5#
幾何概型
基本概念：
(1)幾何概率模型：如果每個事件發生的概率只與構成該事件區域的長度(面積或體積) 成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型;
(2)幾何概型的概率公式：
P(A)=
(3)幾何概型的特點：
1)試驗中所有可能出現的結果(基本事件)有無限多個;
2)每個基本事件出現的可能性相等.
高二數學知識點總結(三)
一、簡諧運動
1.機械振動：機械振動是指物體在平衡位置附近所做的往復運動.
2.回復力：回復力是指振動物體所受到的指向平衡位置的力，是由作用效果來命名的.回復力的作用效果總是將物體拉回平衡位置，從而使物體圍繞平衡位置做周期性的往復運動。回復力是由振動物體所受力的合力(如彈簧振子)沿振動方向的分力(如單擺)提供的，這就是回復力的來源。
3.平衡位置：平衡位置是指物體在振動中所受的回復力為零的位置，此時振子未必一定處于平衡狀態.比如單擺經過平衡位置時，雖然回復力為零，但合外力并不為零，還有向心力.
4.描述振動的物理量：
①位移總是相對于平衡位置而言的，方向總是由平衡位置指向振子所在的位置—總是背離平衡位置向外;②振幅是物體離開平衡位置的最大距離，它描述的是振動的強弱，振幅是標量;③頻率是單位時間內完成全振動的次數;④相位用來描述振子振動的步調。如果振動的振動情況完全相反，則振動步調相反，為反相位.
5.簡諧運動：A、簡諧運動的回復力和位移的變化規律;B、單擺的周期。由本身性質決定的周期叫固有周期,與擺球的質量、振幅(振動的總能量)無關。
6.簡諧運動的表達式和圖象：x=Asin(ωt+φ0) 簡諧運動的圖象描述的是一個質點做簡諧運動時，在不同時刻的位移，因而振動圖象反映了振子的運動規律(注意：振動圖象不是運動軌跡)。由振動圖象還可以確定振子某時刻的振動方向.
7.簡諧運動的能量：不計摩擦和空氣阻力的振動是理想化的振動，此時系統只有重力或彈力做功，機械能守恒。振動的能量和振幅有關，振幅越大，振動的能量越大。
高二數學知識點總結(四)
隨機事件的概率
平面直角坐標系
證明不等式的方法
絕對值不等式
均勻隨機數的產生
隨機事件的概率
概率的基本性質
古典概型
不等式與不等關系
基本不等式
等差數列
簡單的邏輯連接詞
全稱量詞與存在量詞
基本不等式的證明
正弦定理
充要條件
三角函數的誘導公式
函數y=Asin(wx+φ)的圖像
正弦函數、余弦函數的圖象
等比數列
四種命題
三角函數模型的簡單應用
任意角的三角函數
《隨機數的產生》
不等式
等差數列的前N項和
任意角的三角函數
函數y=Asin(ωx+ψ)的圖象
任意角和弧度制
正弦函數、余弦函數的圖象
高二數學知識點總結(五)
練習:
已知方程 表示焦點在x軸
上的橢圓，則m的取值范圍是 .
(0,4)
(1,2)
練習：求適合下列條件的橢圓的標準方程：
(2)焦點為F1(0,-3),F2(0,3),且a=5.
(3)兩個焦點分別是F1(-2,0)、F2(2,0),且過P(2,3)點;
(4)經過點P(-2,0)和Q(0,-3).
小結：求橢圓標準方程的步驟：
①定位：確定焦點所在的坐標軸;
②定量：求a, b的值.
例1 ：將圓 = 4上的點的橫坐標保持不變，
縱坐標變為原來的一半，求所的曲線的方程，
并說明它是什么曲線?
解：
將圓按照某個方向均勻地壓縮(拉長)，可以得到橢圓。
2)利用中間變量求點的軌跡方程
的方法是解析幾何中常用的方法;
練習
1 橢圓上一點P到一個焦點的距離為5，
則P到另一個焦點的距離為( )
A.5 B.6 C.4 D.10
A
2.橢圓
的焦點坐標是( )
A.(±5，0)?
B.(0，±5) ?
C.(0，±12)?
D.(±12，0)
C
3.已知橢圓的方程為 ，焦點在X軸上，
則其焦距為( )
A 2 B 2
C 2 D 2
A
,焦點在y軸上的橢圓的標準方程
l 是 __________.
例2已知圓A：(x+3)2+y2=100，圓A內一
定點B(3，0)，圓P過B點且與圓A內切，求圓心
P的軌跡方程.
解：設|PB|=r.
圓P與圓A內切，圓A的半徑為10.
∴兩圓的圓心距|PA|=10-r，
即|PA|+|PB|=10(大于|AB|).
∴點P的軌跡是以A、B兩點為焦點的橢圓.
∴2a=10，
2c=|AB|=6，
∴a=5，c=3.
∴b2=a2-c2=25-9=16.
即點P的軌跡方程為 =1.
例3在ABC中，BC=24,AC、AB邊上的中線之
和為39，求ABC的重心的軌跡方程.
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練習
橢圓面積公式：S=π(圓周率)×a×b，其中a、b分別是橢圓的長半軸，短半軸的長。橢圓面積公式屬于幾何數學領域。c1c2clone可以依據關于圓的有關公式，類比出關于橢圓公式。
橢圓（Ellipse）是平面內到定點F1、F2的距離之和等于常數（大于|F1F2|）的動點P的軌跡，F1、F2稱為橢圓的兩個焦點。其數學表達式為：|PF1|+|PF2|=2a（2a>|F1F2|）。橢圓是圓錐曲線的一種，即圓錐與平面的截線。橢圓的周長等于特定的正弦曲線在一個周期內的長度。
（來源：文章屋網 ）
1．有向線段的定義
線段的端點A為始點，端點B為終點，這時線段AB具有射線AB的方向.像這樣，具有方向的線段叫做有向線段.記作：.
2.有向線段的三要素：有向線段包含三個要素：始點、方向和長度.
3.向量的定義：(1)具有大小和方向的量叫做向量.向量有兩個要素：大小和方向.
(2)向量的表示方法：①用兩個大寫的英文字母及前頭表示，有向線段來表示向量時，也稱其為向量.書寫時，則用帶箭頭的小寫字母，，，來表示.
4.向量的長度（模）：如果向量=，那么有向線段的長度表示向量的大小，叫做向量的長度(或模)，記作||.
5．相等向量：如果兩個向量和的方向相同且長度相等，則稱和相等，記作：=.
6．相反向量：與向量等長且方向相反的向量叫做的相反向量，記作：-.
7．向量平行（共線）：如果兩個向量方向相同或相反，則稱這兩個向量平行，向量平行也稱向量共線.向量平行于向量，記作//.規定： //.
8．零向量：長度等于零的向量叫做零向量，記作：.零向量的方向是不確定的，是任意的.由于零向量方向的特殊性，解答問題時，一定要看清題目中是零向量還是非零向量.
9．單位向量：長度等于1的向量叫做單位向量.
10．向量的加法運算：
(1)向量加法的三角形法則
11．向量的減法運算
12、兩向量的和差的模與兩向量模的和差之間的關系
對于任意兩個向量，，都有|||-|||||+||.
13．數乘向量的定義：
實數和向量的乘積是一個向量，這種運算叫做數乘向量，記作.
向量()的長度與方向規定為：(1)||=|
(2)當0時，與方向相同;當0時，與方向相反.
(3)當=0時，當=時，=.
14．數乘向量的運算律：(1))= (結合律)
(2)(+) =+(第一分配律)(3)(+)=+.(第二分配律)
15．平行向量基本定理
如果向量，則//的充分必要條件是，存在唯一的實數，使得=.
如果與不共線，若m=n，則m=n=0.
16．非零向量的單位向量：非零向量的單位向量是指與同向的單位向量，通常記作.
=||，即==(，)
17．線段中點的向量表達式
點M是線段AB的中點，O是平面內任意一點，則=(+).
18．平面向量的直角坐標運算：如果=(a1，a2)，=(b1，b2)，則
+=(a1+b1，a2+b2);-=(a1-b1，a2-b2);=(a1，a2).
19．利用兩點表示向量：如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，則=(x2-x1，y2-y1).
20.兩向量相等和平行的條件：若=(a1，a2)，=(b1，b2) ，則
=a1=b1且a2=b2.
//a1b2-a2b1=0.特別地，如果b10，b20，則// =.
21．向量的長度公式：若=(a1，a2)，則||=.
22．平面上兩點間的距離公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則||=.
23．中點公式
若點A(x1，y1)，點B(x2，y2)，點M(x，y)是線段AB的中點，則x=，y= .
24．重心公式
在ABC中，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，A(x3，y3)，，ABC的重心為G(x，y)，則
x=，y=
25．（1)兩個向量夾角的取值范圍是[0，p]，即0，p.
當=0時，與同向;當=p時，與反向
當= 時，與垂直，記作.
(3)向量的內積定義：=||||cos.
其中，||cos叫做向量在向量方向上的正射影的數量.規定=0.
(4)內積的幾何意義
與的內積的幾何意義是的模與在方向上的正射影的數量，或的模與在 方向上的正射影數量的乘積
當0，90時，0;=90時，
90時，0.
26．向量內積的運算律：
(1)交換率
(2)數乘結合律
(3)分配律
(4)不滿足組合律
27．向量內積滿足乘法公式
關鍵詞：數學；知識；結構構建
一、構建數學知識結構的必要性
數學是一門需要長期學習的課程，從最初的加減法到復雜的微積分，都需要有大量的數學知識儲備。在數學學習^程中，由于數學知識不斷增多，怎樣牢記所有數學知識點是每一名學生都感到苦惱的問題，這時就需要依靠自身積累的數學知識進行結構構建。構建數學知識結構不僅能對所學知識進行全面、系統的整合，將各個知識點緊密聯系到一起，有利于學生對所學知識的長期記憶；并且能對相關知識進行及時補充，為學生之后學習定積分、微積分奠定基礎。在此過程中，學生提升了自信心，同時提高了思考問題的能力，由此可見構建數學知識結構的重要性。
二、數學知識結構的組成部分
1.數學基礎知識
數學這一學科最重要的就是對基礎知識的掌握，只有做到夯實基礎，才能處理數學問題。基本的數學理論知識是十分重要的，因此教師要重點抓學生對基本知識的掌握，在講解每一節課程時，首先應對書中的定義進行講解，再對書中涉及的相關例題進行認真講解，讓學生充分掌握書中的重要知識點。教師要保證學生充分掌握書中所提出的問題，因為教材中的問題是最權威、最典型的題目。例如最值問題，教師應將書中的例題進行深度剖析，以書中的基本知識作為基礎，為接下來相似問題的解決提供知識儲備。
2.正確的數學思考方式
正確的數學思考方式是解決數學問題的重要手段，一個數學問題可以有多種解題方式，但是最簡單的解題方式只有一種。教師應根據學生現階段數學知識的儲備，選擇正確的數學解題方式。正確的解題方式可以大大加快學生的解題速度，為考試取得優異成績提供時間保障。正確的數學思考方式有賴于對數學知識結構的構建，教師應將書中例題的思考方法傳授給學生。
三、構建數學知識結構的幾點思考
1.重視數學知識構建教學環節
在數學教學過程中，教師應重點培養學生對知識結構的構建能力。構建數學知識結構是一個長期的過程。在這個過程中，學生需要對每一階段所學的知識進行結構構建。教師應協助學生對數學知識點進行總結、歸納，將目前的知識點與之前學習的知識相結合。另外在每一階段數學知識的總結方面，教師可以鼓勵學生根據自己的理解進行總結，將總結好的知識點交由教師進行評價。
2.重視數學基礎知識的積累
在數學知識結構的構建過程中，要注重對各個階段的數學知識進行總結，這是建立完整知識結構的重要保障。數學知識結構的構建是一個從量變到質變的過程，學生從最基本的數學知識開始，對課堂上講解的每一個知識點都要做好筆記，然后對較為重要的數學知識點進行重點標注。課堂上應認真聆聽教師的講解，充分理解書中每一個知識點，不斷溫習所學知識，將現階段所學的知識點與先前的知識聯系到一起，為數學知識結構的構建提供內在動力。
3.構建數學知識結構應注重正確的方法
要想建立完整的數學知識結構，就需要應用正確的構建方法。在數學課程學習過程中，我們會發現數學知識也是分模塊的，不同模塊涉及的知識不盡相同。在數學知識結構的構建中，可以采取分類式的方法，對每一板塊的知識進行總結歸納。在每一章節中，同樣要重視對數學知識點的總結，對每一章節的知識點進行小范圍的結構構建。例如，在參數方程階段的學結中，對每個公式的引用條件進行歸納，注重公式的運用條件，之后要將每一階段總結的小范圍數學知識結構填充到大結構中去，以此類推，就會不斷擴大數學知識結構的規模。
關鍵詞：思維導圖；小學數學；高效課堂；構建
一、基于思維導圖的小學數學高效課堂構建的重要作用
（一）能夠促進學生知識結構的優化
在傳統的教學中，教師傳授學生數學知識，都是按照教材的內容對學生進行教授的。剩下的內容就要學生自己對數學知識進行歸納和總結，以實現對數學知識的深入理解和掌握。思維導圖在小學數學教學中的應用，可以幫助學生對數學知識進行系統歸納，將數學知識完整地展現在學生面前，促進學生自主學習能力和思維能力的提高，實現對學生知識結構的優化。
（二）能夠促進數學教學效率的提高
在數學課程中，教師運用思維導圖開展教學就是要學生在學習知識的過程中將新舊知識進行結合，促使學生在學習新知識的同時，改變傳統的知識結構，將新知識融入到自己的系統結構中。這種教學方式能促進學生對各種復雜知識的系統歸類，在大腦中形成一個完整的知識體系，讓學生在數學學習和運用的過程中形成良好的思維模式，培養學生的數學思維，提高數學課堂的教學效率。
（三）能夠幫助學生理解數學概念
在新課程標準出臺的背景下，教師在教學中應用思維導圖能促進高效課堂的構建，有利于幫助學生對數學內容進行歸納整理，可以更好地突出教學的重點知識，讓學生對各種數學概念和原理進行直觀的學習和展示。不僅如此，思維導圖還能將抽象復雜的概念以簡單的邏輯關系進行表達，通過各種數學概念的相關性對數學概念進行區別和聯系，促進學生對數學概念的深入理解，也為學生運用數學概念解決問題奠定基礎。
二、基于思維導圖的小學數學高效課堂構建的具體策略
（一）結合思維導圖的特點，優化數學教學結構
在小學數學課程中，想要實現對高效課堂的構建，教師就要加強對學生自主學習能力的培養，根據學生的數學學習情況，開展對學生的教學指導，幫助學生對數學知識進行自主學習，促進學生學習能力的提高。[1]因此，教師可以利用思維導圖對學生進行教育，將數學知識全面、系統地展現在學生面前，優化數學知識結構，讓學生可以很好地理解數學知識點之間的關聯，理清各種知識體系，促進數學高效課堂的構建。例如，在指導學生學習北師大版小學數學課程中關于“因數”的知識時，由于教學需要涉及到各個方面，包括筆算、乘法、除法等知識，教師就要通過各種例題向學生進行教學演示，讓學生了解其中的每一個知識點。不過，由于其中的知識點過多，因此不利于學生進行理解和記憶。那么，教師就可以通過思維導圖對因數知識進行總結，通過分析和總結知識點，讓學生對這些知識的關聯性進行有效的總結，優化學生的認知結構。
（二）結合思維導圖的特點，突破課堂教學難點
在數學課程中，教師可以利用思維導圖的優勢，幫助學生對各種數學知識進行理解和運用，從而有效突破各種教學難點。在實際教學中，數學知識的抽象性和邏輯性給學生的學習增加了很大的難度，學生很容易遭遇困難。思維導圖可以對各種相似的知識或者有關聯的知識進行總結和整理，并通過簡單的導圖進行展示，幫助學生進行快速理解。[2]例如，在指導學生學習北師大版數學課程中關于“幾何圖形”的知識時，由于幾何圖形包括長方形、正方形、梯形等，對于小學生來說很難在短時間內進行學習和辨認，教師就可以利用思維導圖在黑板上對圖形關聯點進行分析。在教授圖形知識時，教師還可以通過對圖形之間的一些特征進行區分，幫助學生進行針對性的記憶，從而提高學生的學習效率。
【關鍵詞】小學高年級數學；數學思想；滲透策略
在數學學習中存在著不少的數學思想，它是一種抽象性的思維，它在無形中引導學生輕松解決數學難題。數學思想作為數學的精髓，也數學中各種規律以及方法的綜合概括。教師在進行數學教師時，不僅需要讓學生對各種數學概念以及數學方法有所了解，同時也需要注重對學生數學思想的滲透，讓學生具備相應的數學能力，進而可以自己獨立解決問題。在小學數學新課標中，數學思想已經成為小學數學教學的重要內容。但是，如何在小學高年級數學教學中進行思想滲透呢？本文主要就小學生高年級數學教學中數學思想滲透的策略進行了研究分析。
一、小學高年級數學思想滲透的重要性
數學思想是無數人對數學知識、數學解題方法的總結，也是從本質上對數學的一種認識。數學思想是從無數次的數學實踐中總結出來的，同時，它又反作用于數學實踐，為人們解決數學難題提供思想指導。數學方法是進行數學實踐的操作方法，其中，數學思往往滲透在數學方法中，指導數學方法進行數學活動[1]。因而，在小學高年級數學教學中滲透數學思想具有非常重要的意義，不僅可以讓學生在解題的過程中具有清晰的思路，同時也可以提高學生的認知水平以及分析問題、處理問題的水平。在當前的數學教學中，多數數學教師并沒有重視在教學中滲透數學思想，而只是進行知識點的講解，這會讓學生的思維日益僵化，并逐漸降低對數學學習的興趣。盡管提升學生的數學知識是較為重要的，但更重要的是學生對數學知識的應用能力。在小學高年級數學教學中的教W目標是對學生學習能力以及綜合素質進行提高，數學思維作為數學教學中的重點，教師應該重點提升，在數學教學中滲透數學思想，這樣才能促進學生走向全面發展。
二、小學高年級數學思想滲透的主要策略
1.教師需要轉變自己的教學觀念
數學思想是存在于每一個教學活動中的，教師是數學教學活動組織者，只有教師有意識地在教學中滲透思想思想，才能讓學生受到數學思想潛移默化的影響，并逐漸形成學生自身的數學思想。對此，教師需要轉變自身原有的教學觀念，認識到數學思想的重要性，進而有意識地在數學課堂教學中對學生進行數學思想的滲透。一般可以從教材中挖掘數學思想，在日常教學中進行滲透。教師在小學高年級數學教學中的教學內容與分類討論和函數有所聯系就可以進行分類討論、函數等數學思想的滲透，這樣學生今后在學習函數以及解決數學問題將會更加輕松[2]。
2.通過創設教學情境進行數學思想的滲透
在小學高年級數學中，創設情境是我們常用的一種教學方式，也取到了非常好的教學效果。這主要是由于數學知識多是一些抽象性的知識點，小學生由于受到年齡的限制，對這些抽象的知識點難以理解，進而容易打擊小學生學習數學的積極性。這時，教師在進行情境教學時，可以在教學中滲透相應的數學思想。教師可以將數形結合的數學思想融入在教學中，讓學生對數學知識有一個清晰的認識，如在進行路程和速度的講解時，可以將通過畫圖的方式進行，也可以通過比較生動的情境[3]。創設情境的教學方式可以抓住學生的注意力，讓學生更快地接受數學思想。
3.在進行新課學習中滲透數學思想
數學知識多是一些比較抽象化的概念，尤其是一些數學概念以及數學公式。小學生對這些數學知識點需要一個適應的時期，但是多數小學生還是無法理解這些知識點，而且非常容易出現混淆的情況。對此，教師可以使用一些數學思想，如歸納法的使用，教師在進行概念教學時可以引導小學生對數學中的概念進行提煉和總結，這樣能夠加深學生對知識點的理解，避免出現知識點混淆的情況。除了對概念進行歸納外，教師還可以讓學生對數學其他知識點進行總結、歸納，找到知識點和知識點的聯系。同時，教師也可以通過找規律中滲透數學思想，引導學生自己進行規律探究，進而提升對知識點的理解能力。
4.通過建立數學知識體系進行數學思想滲透
在數學學習中是一個模塊一個模塊進行學習的，是獨立存在。但是，數學知識是是系統化的體系，知識點和知識點是具有聯系。學生只有將數學知識的體系建立起來，這樣才能更好地進行學習。對此，教師不僅僅需要注重數學知識和數學方法的講解，而且還要注重數學知識體系的建設，這樣一步一步搭建起數學知識體系，并讓小學生在搭建的過程中獲得數學思想，進而提升數學能力。如小學生在學習數學函數時，教師不能只是讓小學生學習簡單的數字、公式，而是應該在其中滲透相應的數學思想，讓學生自己從中找出規律，并將其內化為自己的思想，為數學學習打下基礎。
5.在課外生活中滲透數學思想
課堂時間是有限，在這短短的課堂時間中需要交給學生知識，也需要對學生能力進行培養。在這種情況下，多種課堂目標會難以實現。因而，教師可以充分利用學生的課外生活進行數學思想的滲透，它可以有效對學生的課堂知識點進行鞏固，也能有效激發學生對數學學習的興趣，并將數學知識靈活運用于實踐中。教師可以通過布置課后作業的形式展開，引導學生對課堂的知識點進行消化，同時也需要學生對課堂的知識點進行總結，讓學生自行獲得數學思想。與此同時，教師也可以通過一些實踐操作來讓學生獲得數學思想，不僅可以增強學生的動手能力，也能加深學生對知識的理解，提高學生的素質。
三、結束語
小學高年級階段是小學生逐漸向初中階段過渡的一個重要的階段，在這一時期，小學生不能還是一直采用死記硬背的方式進行學習數學，這會對學生今后的數學學習造成極大的影響。對此，教師需要在數學教學中有意識地滲透數學思想，讓學生在無意識中提升數學能力，并從中獲得數學的趣味性。同時，這種數學思想將會轉化成學生的思維，進而影響學生學習和生活，幫助學生更好地生活。
參考文獻：
[1]孫劉瑋.數學思想的本質意蘊及建構策略――基于小學數學教學實踐的思考[J].中國教育學刊，2014（6）：68-72.
【關鍵詞】初中數學教學；數學方法；數學思想
1 透過方法，熟知思想
初中的學生在抽象思維理解能力還比較單欠缺，最大的問題就在于初中學生對數學知識認知度不夠、數學知識貧乏，所以如果如果單獨把數學方法與思想作為一個單獨的科目進行教學，學生很難理解和應用。數學老師應當在教學數學知識的同時，溶合進數學思想和方法的教學。數學老師要把握時機，把數學知識的提出過程，知識點的形成過程，解決問題的過程，包括數學規律的概括過程，作為重點進行教學。引導學生了解這些過程，并且進行抽象思維的拓展，引導學生在拓展過程當中，發展自身的創新意識，并從中收獲和了解更多多的新知識點。不要只是簡單地進行“填鴨式”地教學方式，這樣的傳統教育方式，會大在程度上的降低溶合數學思想與方法的時機。數學老師在進行教學時，可以把重點和難點進行難易等級分級，通過了解數形結合的思想，也可以讓生在學習過程較易接受。整個數學教育過程中，數學老師應該有意識地進行精心設計，溶合數學方法與思想，有效引導學生理解在數學中的各種數學方法與思想，切莫死搬教條等傳統教學方式。例如：二次不等式知識點教學，可以在溶合二次函數圖像進行了解和應用，可以通過數形結合，讓學生總結解集在“兩根之間”、“兩根之外”，這樣能夠輕松地進行新舊知識點的過度。
2 熟練方法，了解思想
想要有效地鍛煉學生的思維能力，數學老師針對數學思想內容豐富的特點進行分析。需要針對數學思想進行分層次溶合與引導。這點就要求數學教師必須要對初中三個年級的數學教材進行全方位的精研，從中去發現初中數學教材中的數學思想與方法溶合的各種時機，通過思想方法的角度分析所有的初中數學知識點，可以根據初中不同年級學生的知識理解能力，接受能力循序漸進地進行從易到難的分等級關于數學思想與方法的教學。比如同底數冪的乘法這個知識點在教學時，指導學生先分析底數、指數為具體數的同底數冪的運算方法和運算結果，總結出一般方法。再運用一般法則進行運算分析出用a表示底數、用m、n表示。這樣的循序漸進的方式，把數學方法進從易到難進行分等級，能有效的溶合知識點，可以有效引導和開發學生的思維拓展能力。
3 熟練方法，運用思想
對于數學知識的教學，需要引導學生在知識點的掌握中，不僅是在學習過程中要聽講、復習、做習題，還需要不斷的重復練習，才能對數學思想與方法有一個深入的了解。在通過熟練，引導學生可以自如自覺地運用數學思想與方法的能動性，從而形成一個行之有效“數學思想方法系統”。例如：為了讓學生更容易對新的數學概念或知識點的理解與掌握，那行數學老師可以使用類比的數學方法。在傳授一次函數時，老師可以結合乘法公式類比；在傳授二次函數性質時，老師結合一元二次方程的根與系數性質類比。通不斷地演示，引導學生可以在遇到新概念或知識點時自覺地運用類比的數學方法，有效的提升學生學習質量。
4 精煉方法，健全思想