時間：2022-10-15 08:44:52
導語：在等腰三角形的性質的撰寫旅程中，學習并吸收他人佳作的精髓是一條寶貴的路徑，好期刊匯集了九篇優秀范文，愿這些內容能夠啟發您的創作靈感，引領您探索更多的創作可能。
命題：等腰三角形底邊上（或其延長線上）的任意一點，到兩腰上的距離之和（或差）等于一腰上的高.
已知：如圖1，在ABC中，AB=AC，D是底邊BC上的任意一點，DEAB于E點，DFAC于F點，BG是腰AC上的高.
求證：BG=DE＋DF.
證明：連接AD.
SABC =SABD ＋SACD，
AC•BG= AB•DE＋ AC•DF.
AB=AC，
AC•BG= AC•DE＋ AC•DF.
即AC•BG=AC•（DE+DF）.
BG=DE＋DF.
即DE＋DF是一個定值，它等于腰上高的長.
如圖2，在ABC中，已知AB=AC，D是底邊BC延長線上的任意一點，DEAB于E點，DFAC的延長線于F點，CG是腰AB上的高，則有DE－DF=CG.（請同學們完成證明）
即DE－DF是一個定值，它等于腰上高的長.
例1 如圖3，在矩形ABCD中，O是對角線AC，BD的交點，AB=3，AD=4，P是AD邊上的一個動點，且PEAC于E點，PFBD于F點，則PE＋PF=.
分析： 因為四邊形ABCD是矩形，所以OAD是等腰三角形，P點恰好是底邊AD上的任意一點，且PEAC于E點，PFBD于F點，根據命題，可得PE＋PF等于腰OD上的高AG.在RtABD中，利用面積就能求出AG的長.
解：作AGBD于G點.
在RtABD中，BD= = =5.
ABD是直角三角形，且AG是斜邊BD上的高，
SABD = AB•AD= BD•AG，AG= = .
由四邊形ABCD為矩形，可知OA=OD，即OAD為等腰三角形.
P是底邊AD上的任意一點，且PEAC于E點，PFBD于F點，
PE＋PF=AG.即PE＋PF= .故填 .
例2 如圖4，在ABC中，已知∠A=90°，D是AB上一點，且BD=CD，過CB延長線上的任意一點P，作PEAB的延長線于E點，PFCD的延長線于F點.已知AD∶DB=1∶3，BC=4 ，求PF-PE的值.
分析： 顯然CDB為等腰三角形，P恰好是底邊CB延長線上的任意一點，且PEDB的延長線于E點，PFCD的延長線于F點.根據命題，可得PF－PE等于腰BD上的高AC.在RtACD中，利用勾股定理表示出AC與AD的關系，再在RtACB中利用勾股定理，即可求AC的長.
解：設AD=x，則BD=CD=3x.
在RtACD中，AC2=CD2-AD2=9x2-x2=8x2.
在RtACB中，AB2＋AC2=BC2，即（4x）2＋8x2=（4 ）2.
解得x=2（負值已舍去）.所以AC=2 x=4 .
由BD=CD，知CDB為等腰三角形.
根據命題，可得PF-PE等于AC的長，即PF－PE=4 .
點評：這類從習題中總結出來的命題，考試中可能不能當定理使用，但對于分析圖形作用很大.等腰三角形還有其他性質，比如，等腰三角形兩底角的平分線相等，兩腰上的高相等，兩腰上的中線相等，底邊中點到兩腰上的垂線段相等，等等.
練習題
1. 如圖5，在ABC中，已知∠BAC=150°，AB=AC=4 cm，D是底邊BC延長線上的任意一點，且DEBA的延長線于E點，DFAC的延長線于F點，則DE－DF=.
（答案：2 cm）
1、 理解并掌握等腰三角形的判定定理及推論
2、 能利用其性質與判定證明線段或角的相等關系.
教學重點： 等腰三角形的判定定理及推論的運用
教學難點： 正確區分等腰三角形的判定與性質，能夠利用等腰三角形的判定定理證明線段的相等關系.
教學過程：
一、復習等腰三角形的性質
二、新授：
I提出問題，創設情境
出示投影片.某地質專家為估測一條東西流向河流的寬度，選擇河流北岸上一棵樹(B點)為B標，然后在這棵樹的正南方(南岸A點抽一小旗作標志)沿南偏東60°方向走一段距離到C處時，測得∠ACB為30°，這時，地質專家測得AC的長度就可知河流寬度.
學生們很想知道，這樣估測河流寬度的根據是什么?帶著這個問題，引導學生學習“等腰三角形的判定”.
II引入新課
1.由性質定理的題設和結論的變化，引出研究的內容——在ABC中，苦∠B=∠C，則AB= AC嗎?
作一個兩個角相等的三角形，然后觀察兩等角所對的邊有什么關系?
2.引導學生根據圖形，寫出已知、求證.
2、小結，通過論證，這個命題是真命題，即“等腰三角形的判定定理”(板書定理名稱).
強調此定理是在一個三角形中把角的相等關系轉化成邊的相等關系的重要依據，類似于性質定理可簡稱“等角對等邊”.
4.引導學生說出引例中地質專家的測量方法的根據.
III例題與練習
1.如圖2
其中ABC是等腰三角形的是 [ ]
2.①如圖3，已知ABC中，AB=AC.∠A=36°，則∠C______(根據什么?).
②如圖4，已知ABC中，∠A=36°，∠C=72°，ABC是______三角形(根據什么?).
③若已知∠A=36°，∠C=72°，BD平分∠ABC交AC于D，判斷圖5中等腰三角形有______.
④若已知 AD=4cm，則BC______cm.
3.以問題形式引出推論l______.
4.以問題形式引出推論2______.
例： 如果三角形一個外角的平分線平行于三角形的一邊，求證這個三角形是等腰三角形.
分析：引導學生根據題意作出圖形，寫出已知、求證，并分析證明.
練習：5.(l)如圖6，在ABC中，AB=AC，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點F，過F作DE//BC，交AB于點D，交AC于E.問圖中哪些三角形是等腰三角形?
(2)上題中，若去掉條件AB=AC，其他條件不變，圖6中還有等腰三角形嗎?
練習：P53練習1、2、3。
IV課堂小結
1.判定一個三角形是等腰三角形有幾種方法?
2.判定一個三角形是等邊三角形有幾種方法?
一、由于題目條件的不確定性引發結論不惟一
例1已知等腰三角形的一個內角為65°則其頂角為（）
A、50° B、65°C、115° D、50°或65°
解析65°角可能是頂角，也可能是底角。當65°是底角時，則頂角的度數為180°－65°×2=50°；當65°角是頂角時，則頂角的度數就等于65°。所以這個等腰三角形的頂角為50°或65°。故應選D。
溫馨提示對于一個等腰三角形，若條件中并沒有確定頂角或底角時，應注意分情況討論，先確定這個已知角是頂角還是底角，再求解。
例2已知等腰三角形的一邊等于3，另一邊等于4，則它的周長等于_________。
解析已知條件中并沒有指明3和4誰是腰長，因此應由三角形的三邊關系進行分類討論。當3是腰長時，這個等腰三角形的底邊長就是4，此時等腰三角形的周長等于10；當4是腰長時，這個三角形的底邊長就是3，則此時周長等于11。故這個等腰三角形的周長等于10或11。
溫馨提示對于底和腰不等的等腰三角形，若條件中沒有明確哪是底哪是腰時，應在符合三角形三邊關系的前提下分類討論。
溫馨提示這里求出來的解應滿足三角形三邊關系定理。
二、由于題目條件得出的圖形不確定性引發結論不惟一
例4等腰三角形一腰上的高與另一腰所成的夾角為55°，求這個等腰三角形的頂角的度數。
解析依題意可畫出圖1和圖2兩種情形。圖1中頂角為35°，圖2中頂角為145°。
例5某中學為美化環境，計劃在校園的廣場用30m2的草皮鋪設一塊一邊長為10m的等腰三角形綠地，請你求出這個等腰三角形綠地的另兩邊長。
溫馨提示三角形的高是由三角形的形狀決定的，對于等腰三角形，當頂角是銳角時，腰上的高在三角形內；當頂角是鈍角時，腰上的高在三角形外。
例6在ABC中，AB=AC，AB的中垂線與AC所在直線相交所得的銳角為45°，則底角∠B=____________。
解析按照題意可畫出如圖1和如圖2兩種情況的示意圖。
故這個等腰三角形的底角為67.5°或22.5°。
那么，等腰三角形的對稱軸是不是一定要用折疊法來尋找與驗證呢？是不是非得用透明紙操作呢？是否存在一種既落實“四基”，又能體現“快樂數學”理念的創新設計？本人在教學實踐中，認為可以走出認定頂角平分線的思維定式。
下面就“2.1等腰三角形”中軸對稱性部分談談我優化后的教學設計。
畫一畫：如圖，在網格中，你可以找到多少個以BC為底邊的格點等腰三角形？（格點三角形是指在正方形的網格中，以方格的頂點為三角形頂點的三角形）
給學生充分的時間思考動手，緊接著，設計了五個問題：
（1）如圖，你可以找到幾個這樣的格點，使ABC是以BC為底邊的等腰三角形？請畫出來。
（2）觀察這些格點A，它們在分布排列上有什么規律？
（3）這條直線與線段BC是什么關系？
（4）線段的垂直平分線有什么性質？
（5）等腰三角形是否是軸對稱圖形？如果是，請畫出它的對稱軸，并描述。
當然，學生找到的這些格點A在PPT里要同步演示出來，他們會有更加直觀的認識。在得到“等腰三角形是軸對稱圖形，底邊的中垂線是它的對稱軸”之后，可以根據中垂線的性質得到ABD≌ACD（如圖），從而得到線段AD也是等腰三角形ABC的頂角平分線，也是底邊的中線和高，同時也為下一課時講授“三線合一”這個重要性質作好堅實的鋪墊。
這個設計充分體現了學生的主觀能動性，經歷了動腦猜想，動手驗證來總結數學規律的過程，使學生感受到新知識的學習是建立在已有認知經驗的基礎上的。學生們積極地找到了那些格點，并且非常順利地得出等腰三角形的軸對稱性，并且準確描述“底邊的中垂線是它的對稱軸”。由于完全是學生自己的智慧，在課堂上他們覺得自信滿滿，得心應手。在接下來的課堂時間里，表現得十分出色，積極動腦，精彩不斷。這樣，實現了將學生從不易于接受的數學知識的學術形態轉化為易于學生接受的教育形態，通過例題的教學，使原本枯燥的“在等腰三角形中腰上找對稱點”的活動顯得富有生命活力，整節課讓學生在輕松愉悅的氛圍中進行，且學生的課后作業證實了學生對等腰三角形的軸對稱性基本過關，真可謂是“快樂學數學”。
以上的教學設計與處理，很顯然繞開了先入為主的頂角平分線，避免了強迫學生用折疊法驗證等腰三角形的軸對稱性，而是在學生已有的認知基礎上，通過直觀的找格點等腰三角形和觀察這些新格點的分布排列規律，逐步誘導學生找到那條隱藏著的對稱軸，并且“三線合一”的性質定理已經呼之欲出了。
【關鍵詞】分類思想；教學
【案例描述】
一、教學目標
（1）知識與技能目標：掌握等腰三角形相關知識解決數學問題。
（2）過程與方法目標：讓學生在解決問題的過程中體驗分類的方法，滲透分類討論數學思想，培養學生分析和解決數學問題的能力。
（3）情感與態度目標：讓學生經歷解決問題過程中的分類思想，激發學習興趣。
二、教學重難點
（1）教學重點：等腰三角形基礎知識及在等腰三角形的基礎知識解決數學問題過程中的分類思想滲透。
（2）教學難點：分類這種數學思想方法的滲透及體會。
三、教學準備PPT課件和學習活動單
四、教學設計
1.等腰三角形基礎知識回顧
如圖，在ABC中，
（1）若AB=AC，∠A=40°，則∠B= 70°；
（2）若∠B=∠C，AB=5，則AC= 5 ；
（3）若AB=AC，AD平分∠BAC，則∠B=70°；
①若BD=3，則BC= 6 ；
②若BC=6，ABC的面積為24，則AD= 8 。
通過幾個簡單的小問題，讓學生回顧之前學習的等腰三角形的相關知識，包括：
（1）在同一個三角形中，等邊對等角；
（2）在同一個三角形中，等角對等邊；
（3）等腰三角形三線合一。
而這些知識的鞏固正為本節課后續解決等腰三角形中的問題作好了準備。
2.通過問題的解決滲透分類思想這一重要的數學思想
問題1：已知等腰三角形的兩邊分別是4和5，則它的周長是________。
問題2：已知等腰三角形有一個角為30°，則它的底角度數為____°。
通過問題1、問題2的解決讓學生體會到利用等腰三角形的兩邊相等、兩角相等即可解決這兩個問題，但問題1中在不確定4和5那邊為腰時，問題2中不確定30°為頂角還是頂角時需要進行分類討論。之后進一步提出，此類問題是否一定有兩個答案，存在只有一個答案的可能嗎？再讓學生去改題目得到一個答案的情r，最后做小結。設置這兩個題目的目的是讓學生在解決一些比較簡單的問題時體會分類思想的方法，為后續解決較難問題做好鋪墊。
問題3：已知一個三角形的三個內角分別為20°，40°，120°，你能把這個三角形分成兩個等腰三角形嗎？畫一畫，并標出各角的度數。
這個問題學生在之前的學習中可能有過接觸，對大部分學生來說還是比較簡單的，只要把120°分出20°或者分出40°都能解決問題。在此基礎上，進一步提出這個三角形好，它能分成兩個等腰三角形，你能否畫一個三角形使它也具備這種功能，可以分成兩個等腰三角形。讓學生在嘗試畫的過程中找到只要三角形的內角之間存在特定的關系就一定能分成兩個等腰三角形，它們分別是直角三角形或一個角是另一個角的2倍以及一個角是另一個角的3倍。在討論過程中，讓學生更深入地體會如何分類才能不漏不重。
問題4：能否找到一個等腰三角形，使它能分成兩個等腰三角形，若有，請求出該等腰三角形的頂角度數。
這個問題在等腰三角形中是一個比較經典的問題，但解決起來比較難，但在問題3解決的基礎上，進一步提出問題4，利用問題3的結論來解決問題4，該問題會變得簡單很多。只需在問題3中已分好的三類的基礎上進一步讓原三角形成為等腰三角形即可解決，并在過程中滲透了方程思想。
3.課堂小結
本節課主要利用了4個問題的解決來滲透分類思想這一重要的數學思想，讓學生在過程中親身體驗分類的具體方式和方法，為今后的學習打好基礎。
五、作業布置
求等邊三角形的面積公式：s=1/2a^2sin60°。等邊三角形（又稱正三邊形），為三邊相等的三角形，其三個內角相等，均為60°，它是銳角三角形的一種。等邊三角形也是最穩定的結構。等邊三角形是特殊的等腰三角形，所以等邊三角形擁有等腰三角形的一切性質。
三角形是由同一平面內不在同一直線上的三條線段‘首尾’順次連接所組成的封閉圖形，在數學、建筑學有應用。常見的三角形按邊分有普通三角形（三條邊都不相等），等腰三角（腰與底不等的等腰三角形、腰與底相等的等腰三角形即等邊三角形）；按角分有直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形等，其中銳角三角形和鈍角三角形統稱斜三角形。
（來源：文章屋網 ）
分析 這道題出來，學生明顯不適應，有些同學雖能找到一兩個點但找不全，而有些同學甚至無從下手，不禁問到：“這樣的點到底在哪兒?”其實解決這道題只需從軸對稱的性質與等腰三角形的相關性質來進行分析與討論，就能將滿足條件的點都找出來.如圖2，由于直線l是等邊ABC的一條對稱軸，故直線l是ABC的邊BC的垂直平分線，而線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等，所以只要點P在l上(除中BC點外)BCP均是等腰三角形，所以在找點P時就無需考慮BCP了，而對于ABP與ACP總是關于直線l對稱，所以ABP≌ACP，故對于這兩個三角形只需考慮其中一個就行，當ABP是等腰三角形時，ACP必是等腰三角形.
解 在直線l上存在這樣的點P，使得ABP、BCP、ACP均為等腰三角形.
由上面的分析可知：只要點P在l上且ABP是等腰三角形，則BCP、ACP也均為等腰三角形.而對于等腰ABP現只知其一邊AB，故邊AB可能是等腰ABP的底，也可能是它的腰.所以我們分以下情況進行討論：
⑴當邊AB為等腰ABP的底時，PA=PB，所以點P一定在線段AB的垂直平分線上，又由點P在l上，所以點P一定在線段AB的垂直平分線與直線l的交點處(如圖3)，記該點為P1.
⑵當邊AB為等腰ABP的腰時，點A與點B均可能為等腰ABP頂角的頂點，所以此處又要分類討論：
①當點A為等腰ABP頂角的頂點時，PA=AB，故該點可以這樣找：以點A為圓心，AB為半徑畫圓，與直線l有兩個交點(如圖4)分別記為P2、P3.
②當點B為等腰ABP頂角的頂點時，PB=AB，故該點可以這樣找：以點B為圓心，AB為半徑畫圓，與直線l也有兩個交點，其中一個就是點A另一個記為P4(如圖5)，而點A不符合要求故舍去.
綜上所述，在直線l共有四個點P1、P2、P3、P4滿足要求(如圖6).
延伸1 如圖7，ABC是等邊三角形，在平面內是否存在點P，使得ABP、BCP、ACP均為等腰三角形?如果存在，請在圖中找出來.
通過上述例子的講解，可以非常容易地找到在等邊三角形的三條對稱軸上均可以找到四個滿足要求的點，是否就有12個這樣的點呢?其實不然，其中有三點重合即這3點均為三角形的外心P1，所以在對稱軸上總共可以找到10個滿足要求的點.那么是否還有除這10個在對稱軸上的點外還有其他的點呢?
我們可以這樣假設：在對稱軸外存在一點P，使得ABP、BCP、ACP均為等腰三角形，若AP、PB、PC三條線段中有兩條相等，不妨設PA=PB，則點P在線段AB的垂直平分線(即ABC的一條對稱軸)上，與假設矛盾.則PA、PB、PC必定兩兩不等，而ABP、BCP、ACP均為等腰三角形，所以不妨設PA=AB，則PA=AC，而PB與PC必有一個等于BC，由于AB=AC=BC，所以PB與PC必有一個等于PA，則說明點P在ABC的對稱軸上，與假設矛盾.可見滿足條件的點P必在ABC的對稱軸上.故滿足條件的點共有10個(如圖7).
圖8拓展1 如圖8，四邊形ABCD為正方形，在平面內是否存在點P，使得ABP、BCP、CDP、ADP均為等腰三角形?如果存在，請在圖中找出來.
分析 通過上述例子的分析講解中，我們可以先考慮這個正方形的一條對稱軸l1(如圖8)，此時，l1是線段AD、BC的中垂線，故l1上的任一點P均有AP=DP、BP=CP，所以l1上的任一點P(除l1與AD、BC的交點)均可以，ADP與BCP為等腰三角形，而ABP≌DCP，所以對于l1上的點P，我們只需考慮它能否使ABP成為等腰三角形即可.故有以下討論：
圖9解 (如圖9)直線l1為正方形ABCD的一條對稱軸，在直線l1上存在點P，使得ABP、BCP、CDP、ADP均為等腰三角形.
由分析可知，只要點P在l1上且使ABP為等腰三角形，則BCP、CDP、ADP均為等腰三角形.而對于ABP，現在只知道它的一條邊為AB，故邊AB可能是等腰ABP的底，也有可能是它的腰，所以可以這樣進行討論：
⑴當邊AB為等腰ABP的底時，PA=PB，所以點P一定在線段AB的垂直平分線上，又由點P在l上，所以點P一定在線段AB的垂直平分線l2與直線l1的交點處(如圖9)記該點為P1.
⑵當邊AB為等腰ABP的腰時，點A與B點均可能為等腰三角形ABP頂角的頂點，所以此處又要分類討論：
①當點A為等腰ABP頂角的頂點時，PA=AB，故該點可以這樣找：以點A為圓心，AB為半徑畫圓，與直線l1有兩個交點(如圖9)分別記為P2、P3.
②當點B為等腰ABP頂角的頂點時，PB=AB，故該點可以這樣找：以點B為圓心，AB為半徑畫圓，與直線l1也有兩個交點(如圖9)分別記為P4、P5.
由于正方形的對稱性，其對稱軸l1與l2具有平等性，故在直線l2上也能找到5個符合要求的點P1、P6、P7、P8、P9，而兩個P1是相互重合的，所以在l1與l2上共可以找到9個符合要求的點(如圖9).
除l1與l2上9個點外，是否還有其它滿足條件的點嗎?我們可以假設：在對稱軸l1與l2外存在一點P，使得ABP、BCP、CDP、ADP均為等腰三角形，則若PA=PB、PB=PC、PC=PD、PD=PA中有一成立，則點P必在對稱軸l1或l2上，所以上述等式均不成立，即不妨設PA=AB、PC=CD，此時由于AB=BC=CD=AD，所以PA=PC，即點P在AC的垂直平分線BD上，而在直線BD上滿足PA=PC=AB的點P只有B、C兩個點，顯然B、C兩個點不符合要求，所以在平面內只存在9個滿足要求點P(如圖9)，使得ABP、BCP、CDP、ADP均為等腰三角形.
通過上述兩個例子，大家一定可以總結出一些解決這類問題的方法：
其實這類問題的解決關鍵就是：對已知等腰三角形一邊(不妨設為AB)與其第三個點(不妨設為P)所在直線(不妨設為l)，來確定等腰三角形的第三點P的位置(即確定三角形的形狀).而對已知一邊的等腰三角形，根據等腰三角形的特殊性可分以下情況討論：⑴該邊(AB)是等腰三角形的底邊，則第三點P一定在該邊的垂直平分線上，所以一定在AB的垂直平分線與直線l的交點處；
⑵該邊AB是等腰三角形的腰，此時又可對該邊的兩個端點進行討論：
①當點A為等腰三角形頂角的頂點時，則第三個點P必在以A為圓心，AB為半徑的圓上.
②當點B為等腰三角形頂角的頂點時，則第三個點P必在以B為圓心，AB為半徑的圓上.
進而再根據點P所在直線l的位置，可以確定點P為圓與直線l的交點.
掌握了這些規律，解決這類問題就易如反掌，沒有任何困難了.以上結論供大家參考，并附練習題兩道：
1.如圖10，AB∥CD，BC=AD，AB=2，CD=10，∠C=∠D=45°.平面內有一點P，使得APB、BPC、CPD、APD都是等腰三角形.
⑴在圖中作出點P的位置；
⑵求出點P到CD的距離.
圖10 圖112.如圖11，A、B在方格紙的格點位置上，請再找出一個格點C，使它們所構成的三角形為軸對稱圖形，這樣的格點C共有( )
A.8個 B.9個 C.10個 D.11個
以現代教育思想觀念武裝頭腦，是探索數學研究性學習的關鍵。現代教育思想觀念要求，在探索研究性學習時，要以現代化教育思想觀念武裝自己的頭腦，要能跳出數學看數學。新課標的教育理念認為，創新意識和創新能力不是教出來的，而是通過獨立的思考和有利于創造性思維的環境激發出來的。要在課堂教學中合理滲透過程是探索數學研究性學習的突破口。
案例：《等腰三角形性質定理二》探討課
1.提出問題
等腰三角形，除了兩個底角相等的性質外，還有哪些性質呢？
2.實驗探索
先用一張長方形紙片剪一個等腰三角形。將等腰三角形對折，使兩腰重合，然后打開對折的三角形，觀察折痕，猜想折痕有哪些性質，等腰三角形有哪些性質？
3.設置問題
（1）這個猜想是等腰三角形所特有的嗎？不等邊三角形會不會也有這些特點呢？
（2）是不是所有的等腰三角形都具備這個特點呢？
4.推理論證
（1）出示一個不等邊三角形（用《幾何畫板》），畫出同一邊上的高線、中線、角平分線，觀察三線并不重合。
（2）慢慢拖動三角形一頂點，將不等邊三角形轉化為等腰三角形，發現底邊上的高線、中線、頂角的平分線互相重合。
（3）在教師的指導下，由學生證明發現的結論。
5.得出結論
本節探討課變直接給出定理為發現定理，讓學生人人參與定理的發現過程，活躍學生的思維。
一、數學開放題是實施數學研究性學習的載體
例如，怎樣測量學校旗桿的高度。針對各種不同的實際情況，設計出不同的測量方法。
這是一道綜合開放題，其條件、策略、結論都是開放的。（1）條件的開放性。可考慮的各種不同的條件大致有：旗桿的大小，旗桿周圍的地理環境和測量者能涉足的位置、測量工具。（2）策略的開放性。可考慮的各種不同的策略大致有：直接測量、利用勾股定理進行計算。利用相似三角形的比例關系進行計算，利用三角函數進行計算等。通過這樣的活動不但使學生鞏固了解直角三角形的有關知識，而且使學生體會了數學的應用，以及如何創設條件將一個現實問題轉化為一個數學問題。
二、注重用數學知識和數學方法處理周圍的社會生活問題是研究性學習的延伸
教師在注重對學生的基礎知識、基本技能進行教學的同時，更應重視學生數學思想和方法的學習以及數學能力的提高，要讓學生多思、多想、多探索、多領悟，引導學生增強自己理解、分析、歸納等處理問題的能力。讓學生憑借自己的智慧和能力，積極、獨立地思考問題，主動探索知識，創造性地解決社會生活實際問題。
如，裁縫師傅要想在一塊三角形的布料上剪出一個半徑盡可能大的圓做裙子，應該如何剪才能符合要求？這個問題可歸納為怎樣作一個圓和三角形的三邊都相切的問題。又如，木工把一塊直角三角形的木板加工成一張正方形桌子的臺面，方法有很多，但若要求臺面的面積最大，他應該怎么做呢？這個問題歸結為二次函數的最大值問題。
關鍵詞：數學復習課；小組合作；實踐
數學復習課的主要目的任務是鞏固和加深已學的基礎知識，并使之系統化；熟練已有技能，提高學生已有知識的能力；引導學生運用所歸納的知識去解決新的問題，在新問題解決的過程中進行科學方法的訓練；也可以引導學生不斷總結和聯想知識之間的相關性，對所學知識遷移再加工，將原來死知識加工成規律性好、條理性強的活知識。只有將知識縱橫聯系，才會在做題時融會貫通。可見數學復習課的任務是繁重的。一個人的力量是有限的，由于每個學生所處的文化環境、家庭背景和自身的思維方式不同。美國的韋伯斯特曾說過：“人們在一起可以做出單獨一個人所不能做出的事業；智慧+雙手+力量結合在一起，幾乎是萬能的。”因此開展小組間的合作學習，能夠實現優劣互補，促進知識的建構。在合作學習過程中，學習任務由大家共同分擔，集思廣益，各抒己見，人人都盡其所能，這樣問題就變得較容易解決了。
一、小組合作數學復習課中知識結構的創建和知識網絡的形成。
數學的特點是由大量的概念、定理、公理組成的知識體系，新教材的編排是把知識點分散到各個階段。在復習課中要求學生對所學知識有一個整體的認識，希望通過復習課把所學知識串聯起來，讓學生在今后的學習和解決問題的過程中知道它們的聯系。通過小組合作交流能加深學生的印象，特別對于一些學困生有一定的幫助。
例如在“等腰三角形”的復習課中，教師開始設置以下問題：1、什么樣的三角形是等腰三角形？2、等腰三角形具有什么樣的性質？3、怎樣判定一個三角形是等腰三角形？4、有哪些特殊的等腰三角形？5、它們分別具有哪些特殊性？學生圍繞這五個問題進行小組合作交流學習。首先小組長督促每一個小組成員在自己的筆記本上借助于課本或上新課時的筆記分別完成以上問題，然后以小組長為主持進行合作交流。例如一個小組的做法，小組長問：等腰三角形具有什么樣的性質？一個組員回答：“等邊對等角”、“三線合一”。組長及時就問：“三線”指的是哪三線？幾個組員同時回答：底邊上的中線、底邊上的高、頂角的角平分線。組長在準備問下一個問題的時候，一個組員說：好像還有軸對稱性。一石擊起千層浪，其他的組員紛紛接話：等腰三角形是軸對稱圖形、等腰三角形的其它性質就是因為是軸對稱才得到的等等。十分鐘左右，各個小組完善好每一個問題后，教師提出下一個問題：能不能把這一些分散的問題用一個圖表或提綱的形式把它們串起來？小組又開始了第二輪合作討論。三、四分鐘后，有小組畫出了等腰三角形的知識結構圖：
在整個過程中，每一個學生都積極地參與了學習中，特別是那些平時學習有點困難的學生，一方面他們在小組長的監督下，翻書或筆記把所學的知識點抄了一遍，另一方面，在交流和討論的過程中他們耳濡目染了學習的知識。所以或多或少有一些復習的效果。
事實也證明，那些原本對幾何題不知從何下手的學生，在后面的測驗中有了明顯的好轉。由于他們有了比較清晰的知識結構，他們知道從題目中的條件寫出它們相對應的結論。其實這對后進生的轉化是一個良好的開端。
二、小組合作數學復習課中典型例題的研究
在復習課中，例題的設置至關重要，一道好的例題能以點帶面，能讓學生在掌握該題的同時可以掌握這一類型的解題方法；或是能通過該題掌握一系列的問題的解法；或是通過一道例題培養學生很多方面的能力。因此讓學生對例題的研究是很有價值的。然而每個學生的知識結構和知識層面各有不同，因此他們研究的方向和深度也就大有差異。小組合作學習能補促其中的缺陷。
教師首先設置典型的例題，然后設置一系列的問題引導學生合作研究的方向。
1.例題的設置
復習課的例題既應具有基礎性、典型性、啟發性、綜合性、應用性、開放性、創新性等特點，又能把知識、技能、思想、方法聯系在一起，更重要的是能在小組合作學習中起到以點帶面的作用。例如在復習“等腰三角形”的時候，教師設置了一組例題：
如圖1，在ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度數。
這是一道根據等腰三角形的性質求其中某些角的度數的問題。
第一，題目本身可以訓練學生對“等邊對等角”這一性質的
運用，具有基礎性和典型性；第二，要解決該題，要利用三角形的
內角和定理及三角形的外角定理，具有綜合性和應用性；第三，此題很容易進行變式、拓展，比如：把∠BAD=26°這個條件換成AC=BC，此時就需要運用方程的思想。這樣的題對學生來講，具有代表性，有思考的空間，有利于學生在合作交流的過程中發現問題、拓展思維和歸納方法。
又如在復習全等三角形的時候，教師設置的例題：
2.問題的設置
在小組合作學習中的問題要能夠引導學生研究的方向。例如在上述例題的合作學習中，教師設置以下問題：（1）例題的用意何在？它主要是要讓學生運用哪些知識點，怎樣用？（2）解決此類問題的突破口在哪里？有哪些解題方法？（3）在原題的基礎上能否改變題目的一個條件或結論，形成新的有創意性的問題，問題又將如何解決？
3.小組合作學習
學生的潛能是激發出來的，“三個臭皮匠賽過諸葛亮”，能夠正確地引導他們，小組合作能帶給教師很多的驚喜。特別是數學基礎不好的學生，在小組合作的學習中大有收獲，一個小組中的一個組員，剛進初一的時候，每次數學考試都在30分左右。自從實行小組合作學習以來，他都會跟著其他的同學去思考。當看到別的學生做得出來每一個題的時候，開始是羨慕，后來慢慢跟著他們一起去聽，當遇到自己不會的問題的時候也能夠去問本組的同學，而且發現本組的同學還挺樂意幫助他。在講解的時候還特別投入。
三、小組合作數學復習課中的課堂小結
課堂教學是一門藝術，懂得適時課堂小結更是一門藝術。“編簍編筐，重在收口”，良好的課堂小結設計可激起學生的思維，產生畫龍點睛、余味無窮、啟迪智慧的效果。數學復習課課堂小結是課堂教學環節中的重要一環，不但可以幫助學生掌握知識和技能。還可促進認知結構的形成，新知識模塊的建立，解題技能的優化和思想方法的提煉。教育心理學理論告訴我們，每堂課的結尾都存在著后攝效應，即“故事的結尾往往是最容易被記住的”。然而教育心理學理論還告訴我們，在課堂教學接近尾聲之際，正是學生精力開始減弱的時刻，這個時刻，學生開始疲勞，記憶力開始下降。特別是數學復習課，內容多，任務重，如果在這個時刻教師幫學生做小結，效果不是很好。
新課程理念也強調課堂應以學生為本，尊重學生的主體性，張揚學生的個性，把學生從傳統的“認知體”提升到“生命體”。小組合作學習能體現學生的主體地位。在合作學習過程中，小組中每個成員都能積極參與到學習活動中。把學生從一節課的疲勞中給帶出來，極致地發揮出他們的潛能。
1.合作小結復習的重要知識點
數學復習課，知識點比較多，而且比較散。學生在小結的過程中往往容易遺漏。在小組合作的過程中，以小組中心發言人為主，回憶歸納所復習到的知識，其他組員認真地核對。中心發言人講完后，組員輪流發表自己的收獲，把小結過程中遺漏的知識點逐一補充完整。在展示結果的時候，小組間又一次核對和補充。讓所復習的知識在短短的幾分鐘里多次地經過每個學生的大腦，大大地加深了對所學內容的記憶。而且在這種輕松地環境下，前面所感覺到的疲勞也就不再存在了。
2.合作小結課堂中的解題方法和技巧
一堂數學復習課中的核心是解題方法和技巧。學困生之所以學困，就是在遇到數學問題的時候不知從何下手。換一句話說，就是不知道用什么樣的方法和技巧解題。如果在一節復習課后能把所用的方法和技巧歸納起來，學生在遇到相同問題的時候一般還是能做得出來。在小組合作的時候，教師可以引導小組中成績優秀的成員歸納小結，讓基礎不好的學生在旁邊耳濡目染，并要求他們認真地在相應的題目旁邊做好筆記。提高了中下生的解題能力，更為培養優秀學生打下了基礎。比如在“等腰三角形的復習”課中，教師在小結的時候引導：“在等腰三角形的問題解決中通常會遇到哪些解題思想？”其中一個小組歸納：在等腰三角形中沒有給出頂角、底角的情況下，要分兩種情況；小組中另外一個學生也有所領悟說：在等腰三角形中沒明確腰和底的情況下也要分兩種情況；其中一個學生就立即提出：還要考慮三角形的三邊關系。另一個小組歸納：在等腰三角形的求角問題中，如果給出了某個角的度數，就從這個已知角出發，如果沒有給出角的度數，設未知數比較簡單；還有的學生講到證明兩條邊相等或兩個角相等時，如果在同一個三角形中，優先考慮等腰三角形的判定或性質；如果不在同一個三角形中，則優先考慮所在的三角形全等等等。不管是在小組討論的過程中還是在小組間展示的過程中，學生都表現出高度的積極性和學習的激情。效果要比教師小結好的得多。