時間：2023-03-22 17:35:23
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網上購物，無法像傳統交易那樣眼見、耳聞、手觸，實實在在感受商品的存在，所能了解的信息僅限于網上圖片及文字說明，交易的手段又往往是通過銀行轉賬支付和郵局寄送商品，這就給不法之徒有機可乘，消費者受騙后即使投訴也由于地域上的跨度和賣家真實情況的不確定性而難以得到妥善處理。
關鍵詞： 代數 發展史 數學 教育價值
數學是一門有悠久歷史的學科，其是在不同地方先后獨立產生的，早在兩千年前就有了專門著作（如中國的《九章算術》、古希臘的《幾何原本》）。而代數作為數學的一個分支，伴隨著數學的發展，經過漫長的過程才逐漸形成現代代數學科，并在現實生產生活中發揮著巨大的作用。下面我們通過闡述代數的發展歷史，使大家從宏觀上認識代數學的整體結構，進而擴大我們的視野，形成數學思想觀念和科學探索信念的精神，從而有助于我們了解數學的教育價值，使大家更加喜歡數學，不僅鼓勵自己學習數學，還樂于鼓勵別人學習數學。
一、代數發展的四個階段
（一）17世紀以前的代數
17世紀以前的代數，談不上真正意義上的代數。應該說17世紀以前的代數發展主要進程是：記數符號，算術運算（代表作為中國的《九章算術》）、幾何上的經驗公式，古希臘的演繹推理（代表作為希臘的《幾何原本》）等，至17世紀初完成了初等代數的主體部分――代數方程。在這一階段，第一次系統地提出代數符號的是丟番圖（希臘化了的巴比倫人）。
他在《算術》這部著作中，擺脫了古典時期幾何代數法的束縛，出現了代數轉向算術運算的趨勢，成為字母運算方式的開端，開始出現了與方程有關的代數問題。在其墓志銘中就是一個妙趣橫生的一元一次方程問題：“過路人！這里埋葬著丟番圖，他的童年占一生的1/6，過了1/12以后他開始長胡子，再過1/7以后結了婚，婚后5年得子，可惜兒子只活到父親年齡的一半，喪子4年以后老人也度完了風燭殘年。”（答案為84歲。）
但將代數作為一門獨立的學科提出的是阿拉伯人，第一部代數著作是阿拉伯人花拉子模的《代數學》（約公元780-850年），后經翻譯成拉丁文正式取名為“Algebra”（14世紀時）。這部著作雖然不使用字母符號，而且用文字語言敘述，但其所闡述的問題具有一般性。全書邏輯嚴密，系統性強，易學易懂，不僅講理論，還講應用，提出了一元一次和一元二次方程的一般解法，并把解方程求未知量叫做求根。現在解方程的兩種基本變換“移項”和“合并用類項”就源于花拉子模的“還原”和“對消”兩種方法。《代數學》后來被譯成拉丁文，成為歐洲沿用了幾個世紀的代數學標準教材。因此，有人稱他為“代數學之父”，可見這部著作對現代初等數學的巨大影響。
17世紀以前的代數主要是言辭代數（相當于現在中、小學的應用題），直到公元1637年才由法國的笛卡爾提出縮寫的代數符號方程：3X -5X+6=0。在這一階段，中國數學一直處于世界的領先地位。
（二）17世紀和18世紀的代數
這一階段，歐洲的資本主義工業蓬勃發展，有力地促進了機械學、力學的發展，引起了宗教改革和政治變革，促進了思想的大解放和文化、藝術、科學的大發展，給數學的發展提供了強有力的推動力。歐洲數學開始走出中世紀的黑夜，孕育出了數學的新時代，使數學得到快速發展。這一階段的數學發展有三大特色。（這一時期后，中國數學的發展已被遠遠拋到西方之后。）
1.產生了一系列新的領域，如解析幾何（笛卡爾）、微積分（牛頓-萊布尼茲）、概率論、數論等，是科學發展的新階段；
2.出現了代數化的趨勢，代數比幾何占有更加重要的位置，并進一步向符號代數轉化；
3.創造了大量的新概念，使數學進一步抽象化。
作為這一階段的代數學，確立了以解方程為中心的初等代數，并建立了一套有效的符號體系，從言辭代數轉化為符號代數。如這一時期，法國數學家韋達比較全面地提出了根與方程系數的關系（韋達定理）；日本數學家關孝和提出了行列式等。特別到了18世紀，法國數學家范德蒙將行列式作為一個專門理論進行研究，并對解線性方程組起到了重要作用。
在這一階段的解多項式方程和解線性方程組為以后建立抽象代數和高等代數學奠定了基礎。
“方程”一詞首先出現在《九章算術》方程章。對于一元一次、二次方程的一般解法早已解決，對于三次、四次方程的求解方法也伴隨著人們對數的認識（N、Z、Q、R、C）過程而逐漸得到。對方程的求解是指以該方程的系數有限次加、減、乘、除及開方運算用公式形式表達出其解。下面簡要介紹三次方程的一般公式解表達式（一次、二次不言而喻）的推導。
不訪設x +ax +bx+c=0
令x=y ，則原方程化為（仍以x為未知數）x +qx+p=0。
再令x=y ，
得y +py -（ ） =0。
令Φ=y ，
得Φ -pΦ- q =0（此一元二次方程稱為拉格朗日預解式）。
從而得到原三次方程的三個根分別是：
x = +
x =ε +ε（這里1+ε+ε =0，ε =1）
x =ε+ε
這一公式也稱卡丹公式，是由卡丹（米蘭有名的醫生和學者，也是一個賭徒）在其數學專著《大術》中公開于眾的。它其實是由自學成才的意大利數學家塔塔利亞首先給出了。1732年，歐拉全面研究了卡丹的工作后，強調三次方程有三個根。至此三次方程的求根公式的探索工作才圓滿完成。在卡丹的《大術》中還載有他的學生費拉面發現的四次方程的求根公式（也是通過變形，巧妙假設換元而解得）。
就此，對于四次以上的方程，是否也有類似的公式解？（求根只須代入公式即可）。1799年，杰出的數學家高斯（數學王子）作出了重要進步。在其博士論文中發表了代數基本定理及其證明（n次方程在c內有n個根），整體上解決了根的存在性問題。高斯是近代最杰出的數學家，對近代數學起了奠基作用，其歷史上的影響可以與牛頓并列。當時高斯進入大學時，還沒有立志專攻數學，但聽了數學教授卡斯特納的講授之后，高斯決定研究數學，卡斯特的本人并沒有多少數學業績，但他培養高斯的成功，足以說明一名好的教師同樣重要。（2000年11月15日參考消息•《數學天才去逝，輝煌碩果仍存》）
因此，這更使得人們極力想解決根的表達問題。
（三）19世紀的代數
這一時期的代數，一是由解線性方程級產生了矩陣理論。矩陣是由英國數學家西爾維斯特提出，英國數學凱雷確立其為一個獨立的數學概念，建立了系統的矩陣理論，從而以矩陣理論為中心的線性代數理論產生。二是由方程求根產生了抽象代數可以說是代數發展極為輝煌的一頁，是19世紀數學上最突出的成就之一。但其中涉及的兩個人其命運卻極為悲慘：一個是挪威數學家阿貝爾（公元1802-1829年），僅在世27年；一個是法國數學家伽羅瓦（公元1811-1832年），僅在世20年零7個月。
1801年高斯發表文章證明了分圓方程x -1=0（p是素數）可用根式解，但對一般的高次方程是否有根式解仍然沒有解決。19世紀上半葉，阿貝爾在高斯的基礎上，研究了五次及以上方程的求解問題，證明了高于四次的一般方程不能用根式求解。但他發現了一類能用根式求解的特殊方程，這類方程人們稱之為阿貝爾方程。因此，阿貝爾試圖尋求可用根式求解的一般特性，可惜阿貝爾在27歲那年就因貧困交迫而英年早逝（后人評價其產生的“豐富思想可以使數學家忙碌五百年”）。歷史重任交給了伽羅瓦，伽羅瓦活得比阿爾更短，死得比阿貝爾更慘。然而其通霄達旦疾書自己的80頁數學手稿卻完成了歷史的使命，開創了一門新的分支――群論，人們把由伽羅瓦提出而發展起來的一整套理論稱為伽羅瓦理論。
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群是一種數學結構，在許多數學對象和日常生活中都會遇到，定義如下：
設G是一個非空集合，其上的元素之間定義有運算?堠。如果G還滿足：①存在單位元e，使得對任何x∈G，都有x?堠e=e?堠x=x，②對任何x∈G，都有逆元x 存在，使得x ?堠x=x?堠x =e則稱G是一個群。
整數全體關于+（加法）運算構成群，單位元是零，每個元a都有逆元-a。
伽羅瓦的成果可以說連當時最偉大的數學家都難以理解（創立了新的代數結構）。但這個理論卻可以解決五次及以上的一般代數方程根式不可解的一般特性（哪些可根式解，哪些不可根式解），以及用尺、規三等分任意角和作倍立方體不可能等結論。伽羅瓦的功績可以說是為方程的根式求解理論作出了偉大的貢獻，更是以一種嶄新的數學結構來觀察數學，為人類的思考提供了新的思維模式，把數學的研究內容從數、式擴大到結構，使數學的研究進入了全新領域，使代數以方程為中心的古典代數轉變為以研究各種代數結構及其性質為中心的近世代（抽象）代數理論。
（四）20世紀的代數
自進入20世紀以來，科學技術不斷出現重大的發明和創造，原子能、計算機、空間技術、分子生物代數、高能物理及生命工程等，如雨后春筍般地涌現出來，一場規模宏大、影響深遠的新技術革命改變了世界。與此相適應的數學也得到了前所未有的大發展，形成了許許多多的數學分支，特別是20世紀初希爾伯特公理化方式和形式主義幾乎給20世紀的每一門數學學科打上了烙印。20世紀代數的許多新概念最后幾乎是以公理化方式給出的。
對伽羅瓦開創的群論，1921年德國著名的女數學家E•諾特給出了環論，標志著抽象代數現代化的開端，因而被譽為“現代數學代數化的偉大先行者”，“抽象代數之母”。諾特是一位卓越的學者，外表很是敦厚，但思路敏捷。通過諾特的成就，說明婦女在數學的成就（天才）不應輸于男人，但為什么女數學家很少，數學月刊上有這樣結論：一、在中小學生中男女學生對數學的喜愛程度是一樣的；二、教師和家長的態度是不鼓勵女孩子學數學的；三、數學仍然是排擠婦女的篩子；四、在長期聘用的大學數學教授中，婦女只占1.6%（8：490）。外部環境造成婦女通往數學的道路是艱難曲折的，但就數學天份而言應該說是“巾幗不讓須眉”。美國的伯克霍夫創立了格論，所有這些如群、環、域、格等都是一個或若干個給定的非空集合，在賦予了若干個代數運算并加上若干個公理體系之后而成為某種代數系統，從而具備了某種代數結構。像這樣的代數系統，全世界目前有200多種，它們不考慮具體的研究對象是什么，只要對象滿足公理組或定義的要求就行（有些在物理空間結構能找出其應用的范圍）。
計算機科學的發展，帶來了應用計算機解決代數問題的可能。如：隨著計算機性能迅速提高，許多過去被專業數學工作者認為望塵莫及之事，像數值解數千個甚至數萬個未知數線性方程組，現在甚至可以請不太懂高深數學理論的人使用現成軟件而計算出來，從而產生了主要探討代數學中利用計算機可計算問題的全新學科――計算機代數學。可以說，20世紀的代數，特別是最近十幾年，已經產生許多新的分支，包括了代數自身的分支以及與數學其它學科的交叉分支，無論研究對象、研究方法及手段都已不是過去世紀所能比擬的。
20世紀初期，人們對代數的研究主要是在各自代數系統中進行，以研究代數結構及某性質為中心任務。到了20世紀中葉，人們發現這些代數系統有許多“共性”，如集合論研究集合與映射，群論研究群和群同態等，就想用某種通用的方法加以統一，將所述的對象及對象之間的關系構成一個總體，這就是范疇的思想。這種方法，對解決帶有共性的問題時起到了重要作用，同時反過來又促進了代數學的向前發展。但范疇方法并不能解決代數系統中的所有問題，只能是一種研究方法而已。20世紀末，人類進了信息技術時代。這個時代由于廣泛應用計算機，使高新工程技術，如納米技術、基因工程不斷涌現。計算機技術是高新技術工程的核心領域，而計算機軟件理論基礎則完全是數學，應該說數學是應用計算機的橋梁和媒介。同時，這些新技術都要建立在相應的數學基礎上，因此數學是發展高新技術所需要的一門關鍵學科。由于數學把抽象空間形式、數量關系和結構關系作為自己的研究對象，因此它的理論和方法必然伸入到其他學科理論的核心，成為表達各種自然界和人類社會發展定量化規律性的關鍵工具，從而數學正從自然科學中分離出來，而成為與自然科學并列的一門科學或技術。相互交流、共同合作更加適合新時期的數學研究，對代數研究也同樣包括。
二、從代數發展看數學的教育價值
1.代數發展特點
代數發展是從言辭代數逐漸發展成符號代數，使得數學表達簡潔明了，這一進步極大促進數學向前發展。有人認為中國傳統數學之所以未能發揚光大，在近現代不能跟上世界的發展潮流，過多使用文字敘述是其原因之一。如清代中國用天地人物表示未知數x、y、z、w，對方程的表示：
例： = ，求天之同數，與 = ，求x，相對較而言極為復雜，從而極大地妨礙了中國代數學發展。
繼承和發展前人工作是代數發展的一條普遍規律，如解決高次方程的求解問題從而產生了深刻的現代數學方法，為20世紀代數研究帶來了全新面貌。
公理化方法在促進抽象代數的發展起到巨大的作用。形式化公理方法不僅推動了數學基礎研究，還促進了現代算法論研究，從而為數學的應用特別是應用于電子計算機等現代科學技術開辟了新的前景。
數學與大眾的距離似乎越來越遠，但數學與現代科學的聯系卻越來越緊密，這種反差現象，也同樣反映在代數學科中。人們實際上都在使用著數學，但卻輕視數學，特別因代數的“抽象”而敬而遠之。
2.數學教育的價值及經驗教訓
代數教育是數學教育的一部分，從代數教育的目的看，除了培養學生代數研究能力及代數知識積累外，更應注意促進數學思想方法的形成。從數學發展角度看，代數發展是一條非常清晰的脈絡，從中可以揭示出主要的數學思想方法，從而使學生經過訓練掌握數學思想方法，并獲得數學文化素養。
數學哺育學生科學的思維方法及現代文化素養具體表現在：①數學的基礎知識和基本方法成為其它科學文化知識的基礎。②通過培養人們的科學思維方法，引發人的直覺思維、抽象思維、形象思維以及培養嚴格的邏輯推理和精確計算能力。③對培養人們語言表達的準確性和邏輯性有重大意義，數學語言可以說是最簡單明了又是最嚴格的語言。④大大有助于培養人認識和理解哲學，數學理論和方法充滿著唯物論和辯證法的思維，數學還像音樂、美術一樣是自然界和諧美的高度體現。
教育要面向未來，面向現代化。因此，我們要吸取上世紀50、60年代“新數”運動和70年代矯枉過正的“回到基礎”教育的經驗與教訓，提出素質教育和大眾數學，使現代數學教育內容趨向于按“廣而淺”來安排，擯棄過去片面追求解題技巧和形式完整的弊病，使數學本質思想容易被大部分人接受，使各級各類人才均有良好的數學素質，對數學的需要程度有所區別，使我國具有高素質的數學理論修養和現代技術相結合的技術人員，從而在經濟和科技的全球競爭中立于不敗之地。
參考文獻：
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［2］張奠宙主編.數學史選講.上海科學技術出版社，1998.
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［5］張奠宙等.數學教育學.江西教育出版社，1997.
［6］鄭毓信.數學方法論.廣西教育出版社，1999.
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