時間：2023-05-23 17:28:12
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一、形如“？坌x∈D，a≤f（x）恒成立”型不等式
形如“a≥f（x）”或“a≤f（x）”型不等式是恒成立問題中最基本的類型，它的等價轉化方法是“a≥f（x）在x∈D上恒成立，則a≥
[f（x）]max（x∈D）；a≤f（x）在x∈D上恒成立，則a≤[f（x）]max（x∈D）”.許多復雜的恒成立問題最終都可歸結到這一類型中.
例題1（2012年陜西理科高考壓軸題）
設函數fn（x）=xn+bx+c（n∈N+，b，c∈R）.
（Ⅰ）設n≥2，b=1，c=-1，證明：fn（x）在區間 ，1內存在唯一的零點；
（Ⅱ）設n=2，若對任意x1，x2∈[-1，1]有f2（x1）-f2（x2）≤4，求b的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的條件下，設xn是fn（x）在 ，1內的零點，判斷數列x2，x3…xn…的增減性。
解：（Ⅰ）、（Ⅲ）略
（Ⅱ）當n=2時，f2（x）=x2+bx+c，
對任意x1，x2∈[-1，1]都有f2（x1）-f2（x2）≤4等價于f2（x1）-f2（x2）max≤4.
即f2（x）在[-1，1]上的最大值與最小值之差M≤4.
當- >1，即b>2時，M=f（1）-f（-1）=2b>4，與題設
矛盾.
當-1≤- ≤0，即0
當0≤- ≤1，即-2≤b≤0，M=f（-1）-f（- ）=（ -1）2≤4恒成立.
綜上所述，-2≤b≤2.
二、形如“？堝x∈D，a≤f（x）恒成立”型不等式
形如“？堝x∈D，a≤f（x）恒成立”問題可轉化為“a≤f（x）max”來
求解；
而形如“？堝x∈D，a≥f（x）恒成立”問題可轉化為“a≥f（x）min”來求解。
例題2（2013年重點中學第一次聯考）
設f（x）= +xlnx，g（x）=x3-x2-3.
若存在x1，x2∈[0，2]使得g（x1）-g（x2）≥M成立，求滿足上述條件的最大整數M.
解：由題意可知，存在x1，x2∈[0，2]使得g（x1）-g（x2）≥M成立，等價于：
[g（x1）-（x2）]max≥M，g（x）=x3-x2-3，g′（x）=3x2-2x=3x（x- ）.
由上表可知，g（x）min=g =- ，g（x）max=g（2）=1
[g（x1）-g（x2）]max=g（x）max-g（x）min= ，故滿足條件的最大整數M=4.
三、形如“？坌x1∈D，？坌x2∈M，f（x1）≤g（x2）恒成立”型不等式
該類問題可轉化為“f（x1）max-g（x2）min”來求解。
例題3（2013年重點中學聯考模擬試題）
設f（x）= +xlnx，g（x）=x3-x2-3.
如果對任意的s，t∈[ ，2]都有f（x）≥g（t）成立，求實數a的取值范圍。
解：由題意，該問題可以轉化為：在區間[ ，2]上，f（x）min≥
g（x）max，
由例題3可知，g（x）的最大值為g（2）=1，
f（x）min≥1，又f（1）=a，a≥1
下面證明當a≥1時，對任意x∈[ ，2]，f（x）≥1成立.
當a≥1時，對任意x∈[ ，2]，f（x）= +xlnx≥ +xlnx，記h（x）= +xlnx h′（x）=- +lnx+1，h′（1）=0，
可知函數h（x）在[ ，2）上遞減，在區間[1，2]上遞增，h（x）min=
h（1）=1，即h（x）≥1.
所以當a≥1時，對任意x∈[ ，2]，f（x）≥1成立，即對任意的s，t∈[ ，2]，都有f（s）≥g（t）成立.故a∈[1，+∞）所求.
四、形如“？坌x1∈D，？堝x2∈M，f（x1）≤g（x2）恒成立”型不等式
該類問題可轉化為“f（x1）max≤g（x2）min”來求解。
例題4（2013年南昌市高三文科第一次模擬題）
已知函數f（x）=ax2-blnx在點[1，f（1）]處的切線方程為y=3x-1.
（1）若f（x）在其定義域內的一個子區間（k-1，k+1）內不是單調函數，求實數k的取值范圍；
（2）若對任意x∈[0，+∞），均存在t∈[1，3]，使得 t3- t2+ct+ln2+ ≤f（x）試求實數c的取值范圍。
解：（1）略
（2）設g（t）= t3- t2+ct+ln2+ ，根據題意可知g（t）max≤
f（x）min .
由（1）知f（x）min=f（ ）= +ln2，g′（t）=t2-（c+1）t+c=（t-1）（t-c），
當c≤1時，g′（t）≥0；g（t）在t∈[1，3]上單調遞增，g（t）min=g（1）= +ln2，滿足g（t）min≤f（x）min；
當1
g（t）min=g（c）=- c3+ c2+ln2+ ，
由- c3+ c2+ln2+ ≤ +ln2得c3-3c2+2≥0，（c-1）（c2-2c-2）≥0，此時1+ ≤c
當c≥3時，g′（t）≤0；g（t）在t∈[1，3]上單調遞減，g（t）min=
g（3）=- + +ln2.
g（3）=- + +ln2≤- + +ln2= +ln2.
綜上，c的取值范圍是（-∞，1]∪[1+ ，+∞）
五、反饋訓練題
1.對于任意θ∈R，sinθ-2+sinθ-3≥a+ 恒成立，則實數a的取值范圍是__________。
2.若對任意的a∈R，不等式，x+x-1≥1+a-1-a恒成立，則實數x的取值范圍是__________。
3.（2010年山東理科14題）若對任意x>0， ≤a恒成立，則a的取值范圍是__________。
4.已知函數f（x）=x2-2x，g（x）=ax+2（a>0），對？坌x1∈[-1，2]，？堝x0∈[-1，2]，使g（x1）=f（x0），則實數a的取值范圍是（ ）
A.（0，3] B. ，3 C.[3，+∞） D.（0， ]
參考文獻：
關鍵詞：最值的性質 求解方法 函數求導
一、函數最值的性質
從函數的基本性質出發來看，一些函數存在最值，有些函數卻不存在最值，比如一次函數以及正比例函數和反比例函數等不存在最值，但是二次函數以及三次函數等存在最值。在函數最值的求解過程中，對二次函數進行一次求導，使導函數的值為零的自由變量就是函數的極值點，換言之，就是導函數的駐點對應的函數值就是函數的最大值或者是最小值。在對三次函數進行求導的過程中，導函數的根存在多種情況，對于無根的情況就是函數無最值，有重根以及異根的情況都是函數存在駐點，但是函數的駐點卻不一定是最值點，所以，就需要在教學活動中，對學生分辨極值點以及最值點的區別，并且在掌握了各種函數的基本性質之后采用正確的方法對于函數的最值進行求解。
二、常見函數的最值求解方法
1、對一元函數最值的求解
在對一元函數進行最值求解的時候，要先對其進行求導，其導函數的駐點就是函數最值點。為此，要首先對于函數的導函數的求導方法進行了解和掌握，函數如果在一點處連續，這是函數可導的前提條件，那么對函數進行求導，得到的導函數的根就是一元函數的最值點。最對一元函數進行求導過程中，首要的步驟就是要先求解函數的導函數，得出了導函數的駐點以及不可導點之后，再將駐點以及不可到店導入函數中求出對應的函數值，并且對于函數的定義域端點處的函數值也要進行求解，最后，再對于求解出駐點處對應的函數值以及定義域端點處對應的函數值進行比較，大的值就是函數的最大值，小的函數值即為函數的最小值。經典例題舉例說明：已知函數f （x）=ln（1+x）-x，求函數的最大值，首先要對f（x）求導得f'（x）=1/（1+x）-1，導函數的唯一根為x=0，則函數的最大值為f（0）=0。例2：若已知f（x）=x3-x，試求f （x）的最值，首先求出導函數的根，有-1、0、1，它們是f（x）的極點，然后得到函數的原函數的增減區間，f（x）的四個單調區間分別為減區間、增區間、減區間、增區間，比較三個極值的大小，得到最小值為-1/4+c。
2、對于二元函數的最值求解方法探討
（1）配方法
在對二元函數進行最值求解的過程中，要首先對于二元函數的結構特征以及性質進行分析，除此之外，還要結合函數的特殊性質，對于二次函數進行適當的配方，使其能夠轉化成為一元函數來進行求解，之后再利用函數的基本性質，對于函數進行相關的求解，比如函數的絕對值大于零或者是函數的平方大于等于零等處理方法進行求解。相關例題說明：已知x-y2-2y+5=0，求x的最小值，首先將函數轉化為一元函數x=y2+2y-5，然后將方程右邊進行配方，得到y2+2y-5=（y+1）2-6 ≥ - 6，則x 最小值為- 6。例：求2x2-4xy+5y2-12y+13的最小值，合并同類項得2x2-4xy+3y2-12y+13=2（x-y）2+3（y-2）2+1，當x=y=2時，原函數的最小值為1。
（2）求導法
通過二元函數的性質分析可以知道二元函數的極值在函數的不可導點以及駐點處，二元函數存在最值的充分條件為函數在連續并且存在極值，函數在抹點處取得極值的必要條件就是函數在某一點處存在二階偏導數，令函數對x的二階偏導數為A，對y的二階偏導數為B，對x、y的偏導數為C，若B2-AC小于0，并且A小于0，則該點處的函數值為極大值；若B2-AC小于0，并且A大于0，則該點處的函數值為極小值；若B2-AC小于0，則該點不是極值點，根據求出極值來得到最大值。
3、對于三角函數最值的求解方法探討
對于三角函數最值的求導是函數最值求導的重要組成部分，三角函數在高等數學中國所占的比重視比較大的，所以在三角函數最值的求解方法的教學過程中，三角函數的教學課時比重是比較大的。對于三角函數的最值進行求解，其實就是對于三角函數的復合函數進行最值的求導，這就需要學生對于三角函數的基本知識進行充分的了解和掌握之后才能夠對其進行靈活的求解。在解答三角函數的最值問題時，需要充分了解函數的定義域對值域的影響和正弦、余弦的取值范圍，同時還要應用二次函數在閉區間內的最值，像利用函數的正弦與余弦的平方和等于1等性質。在剛剛學習三角函數時，需要從基礎出發，避免計算量過大的題目，從基礎出發，加強三角工具的應用意識，重點培養學生分析問題的能力。
4、對于解析幾何中的最值求解問題
解析幾何中的最值問題是解析幾何綜合性問題的重要內容之一，常以直線與圓、圓錐曲線等內容為載體，綜合考查函數、不等式、三角等知識，涉及的知識點較多，屬偏難問題。其常見方法首先有代數法，代數法就是先建立一個“目標函數”，再根據其特點靈活運用求函數最值的方法求得最值。其次就是幾何法，幾何法是借助圖形特征利用圓或圓錐曲線的定義及幾何性質來求最值的一種方法。最值問題在數列和立體幾何應用題等知識點中也有體現，但都可以轉化為函數或解析幾何形式的最值問題來予以解決，這里不一一細述了。對于解析幾何中的最值求解問題需要學生多進行解題練習，對于多種題型的解題方法都要有很好的掌握，這樣才能夠做好解析幾何中的最值求解問題。
三、結束語
綜上所述，對于各種函數的最值求解問題是多種多樣的，教師在實際的教學活動中，要采用合理的教學方法，對于教學計劃進行詳細認真的制定，要在課堂的講課中對于函數的最值求解的多種方法要進行講解，這樣才能夠使學生更好地掌握函數的性質以及最值的求解方法。
關鍵詞：數學；應用；導數
在數學學習中，對導數的考查主要是針對“三次”函數，下面就利用導數求“三次”函數的最值問題的步驟進行分類解析。
一、利用導數求最值的一般步驟
求可導函數在閉區間[a，b]上的最值的主要步驟：（1）求y=f（x）在開區間（a，b）內的極值（極大值或極小值）；（2）將y=f（x）的各極值與f（a）、f（b）比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值。
例1：函數f（x）=2x3-3x2-12x+5在區間[-2，3]上最大值與最小值分別為（ ）
A.1，-4 B.12，-15 C.12，-4 D.-4，-15
解析：先求導數，得f ′（x）=6x2-6x-12=6（x+1）（x-2），
令f ′（x）=0，即6x2-6x-12=0，解得x1=-1，x2=2。
導數f ′（x）的正負以及f（-2）=5，f（2）=-4，如下表：
從上表可知，當x=-1時，函數有最大值12，當x=2時，函數有最小值-15，故選B。
點評：從上面的解答看，利用導數求函數的最值的過程相對較繁，是不是可以在此基礎上進行簡化呢？請同學們看下面的分析。
二、利用導數求最值的簡化步驟
根據例1的解答可以看到，利用導數求函數的最值，實際上就是將函數的導函數對應方程f ′（x）=0根對應的函數值與端點的函數值進行比較，整個過程無須判斷極值為極大值還是極小值。此時利用導數求最值的步驟：（1）求導數f ′（x）；（2）求方程f′（x）=0的全部實根；（3）求出f ′（x）=0的根對應的函數值及端點的函數值，并進行大小比較，其中最大的一個就是最大值，最小的一個就是最小值。
例2：求函數f（x）=x3-2x2+1在區間[-1，2]上的最大值與最小值。
解析：f ′（x）=3x2-4x，令f ′（x）=0，得x1=0，x2=，
則f（0）=1，f（）=-，同時f（-1）=-2，f（2）=1，
比較上述四個函數值的大小知，當x=0或2時，函數f（x）的最大值為1，當x=-1時，函數f（x）的最小值為-2。
點評：從上面兩個的解答可以看到，求導函數對應方程f′（x）=0有實數根。至此有學生會問了：如果方程f′（x）=0沒有實數根，那又如何進行解答呢？是否也有步驟可尋？請繼續往下看。
三、利用導數確定單調性求最值的步驟
如果導函數對應方程f ′（x）=0無實數，此時導函數的符號就確定了，函數在整個定義域上就具有單調性，即函數的最值就是定義域的端點處取得。其解法的一般步驟：（1）求導數f ′（x）；（2）考查f ′（x）=0根的情況，若有根，則按例2的方法求解，若無實根，則首先判斷f ′（x）的符號，進而判斷函數的單調性；（3）按單調性與函數最值的關系求最值。
例3：求函數f（x）=x3-3x2+6x-2，x∈[-1，1]的最大值和最小值。
解析：f ′（x）=3x2-6x+6，令f ′（x）=0，方程無解。
因f ′（x）=3x2-6x+6=3（x-1）2+3，所以函數f（x）在x∈[-1，1]上是增函數，
當x=-1時，函數f（x）的最小值為f（-1）=-12，
當x=1時函數f（x）的最大值為f（-1）=2。
點評：本類題型實際上表現為函數在整個定義域上具有單調性，但不具有極值，因此不必去確定極值，其解題步驟得到了簡化。從上面的三個例子可以看到，函數除含有未知數外，沒有其他的變量了，因此我們不難想到，如果對函數含有其他參數，那么又該如何操作呢？下面我們繼續分析。
四、利用導數求含有參數的函數最值的步驟
利用導數求含有參數的最值時，一般步驟：（1）求導函數f ′（x）。（2）對導函數對應方程f ′（x）=0進行討論，主要涉及三類討論：①對首項系數的討論；②對判別式的討論；③對方程根的大小的討論。（3）根據f ′（x）的符號確定函數f（x）的單調性。（4）根據函數的單調性確定函數的最值。
例4：已知a是實數，函數f（x）=x2（x-a）。求f（x）在區間[0，2]上的最大值。
解析：f ′（x）=3x2-2ax=x（3x-2a）。令f ′（x）=0，解得x1=0，x2=。
當≤0，即a≤0時，f（x）在[0，2]上單調遞增，從而f（x）max=f（2）=8-4a。
當≥2，時，即a≥3時，f（x）在[0，2]上單調遞減，從而f（x）max=f（0）=0。
當0
從而f（x）max=8-4a 0
綜上所述，f（x）max=8-4a a≤20 a>2。
點評：本題由于函數解析式中含有參數，因此方程f′（x）=0的根含有參數，對其根0與的大小進行了討論。同時還可以注意到本題解答不是通過先確定函數在區間上的極值，再比較其與區間端點值的大小來求解的，而是利用函數單調性來求函數在各單調區間上的最值，再比較這些最值大小來求解的。上面幾例都是求函數的最值情況，現在我們進行逆向思維，即如果已知函數的最值情況，而求參數問題，那該如何處理呢？
五、已知函數的最值求解參數值的步驟
已知函數的最值求參數的值是一類逆向思維問題，解答的主要步驟：（1）求導函數f ′（x）；（2）確定方程f ′（x）=0的根，可能時要注意討論；（3）確定函數的最值；（4）根據已知的最值與所求得的最值建立方程（組），由此可求得參數的值。
例5：已知函數f（x）=-x3+3x2+9x+a。若f（x）在區間[-2，2]上的最大值為20，求它在該區間上的最小值。
解析：（Ⅱ）由f ′（x）=-3x2+6x+9=0，得x=-1或x=3，則由x∈[-2，2]，得f（-2）=a+2，f（2）=a+22，f（-1）=a-5。
比較知f（2）=a+22=20，解得a=-2，
所以，函數f（x）在區間[-2，2]上的最小值為
f（-1）=-2-5=-7。
[關鍵詞]：三角函數 值域 單調區間 解析式
一、求三角函數的值域與最值問題
求三角函數的值域（最值）可分為：
（1）類型的，應利用其圖象與性質，數形結合求解；
（2）可化為以三角函數為自變量的二次函數類型，應確定三角函數的范圍，再用二次函數求解.
應用1 已知函數y=+b在x≤上的值域為[-5，1].求a，b的值.
提示：先由x的范圍確定的范圍，再根據a的符號，討論a，b的取值.
解：x∈，
2x+∈，≤.
當a>0時，解得
當a
a，b的取值分別是4，-3或-4，-1.
應用2 設a≥0，若的最大值為0，最小值為-4，試求a，b的值.
提示：通過換元化為二次函數最值問題求解.
解：原函數變形為
當0≤a≤2時，- ∈[-1，0]，
①
.②
由①②，得a=2，b=-2，舍a=-6（與0≤a≤2矛盾）.
當a>2時，- ∈（-∞，-1），
.③
.④
由③④，得a=2，不適合a>2，應舍去.
綜上可知，只有一組解
應用3已知是第三象限角，且=.
（1）化簡；
（2）已知，求的值.
解：（1）=
==.
（2）cos=，
是第三象限角，
==-=-.
二、求函數的單調區間
求函數的單調區間是高考考查的重點內容之一.此類題目應以正弦函數y=sin x的單調區間為基礎，利用整體思想求解.
應用單調遞增區間為（ ）.
A. （k∈Z）
B. （k∈Z）
C. （k∈Z）
D. （k∈Z）
解析： =-2sin
=2sin=2sin，
把2x+看成一個整體，令），
解得
即.
答案：D
三、由三角函數圖象求解析式
已知三角函數的圖象求出其解析式，解此類題目的關鍵是準確理解和把握參數對函數圖象的影響，A影響函數的最值，ω影響函數的周期，影響函數的相位.有時還要根據所給的圖象經過的特殊點，利用點的坐標適合函數解析式來求解.
應用1 已知函數的簡圖，如圖所示，那么（ ）.
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
解析：函數圖象與y軸的交點為（0，1），說明當x=0時，函數值y=1，則即.
由，知.
又曲線與x軸的一個交點是，說明當x=時，函數值y=0，
則，解得ω=2，即ω=2，.
答案：C
應用2 如圖是一彈簧振子做簡諧運動的圖象，橫軸表示振動的時間，縱軸表示振子的位移.
求：（1）該振動的函數解析式；
（2）在t=0.4 s時的位移.
解：（1）設函數解析式為，A>0，ω>0.
由圖象，得A=2，周期T=2（0.5-0.1）=0.8.
0.8=，ω=.y=2sin.
又當x=0.1時，y=2，2sin=2.
sin=1，取φ=.y=2sin.
（2）f（0.4）=2sin=2sin
我們一般求三角函數單調性的基本方法是：函數y=Asin(ωx+φ)單調區間的確定，首先要看A，ω是否為正，若ω為負，則先應用誘導公式化為正，然后將ωx+φ看作一個整體，化為最簡式，再結合A 的正負，在2kπ-■≤x≤2kπ+■和2kπ+■≤x≤2kπ+■，k∈Z兩個區間內分別確定函數的單調增減區間。這里不僅涉及到還原的數學思想，而且要用到不等式的性質，在教學中從學生掌握的情況來看，效果并不理想，那么是否有簡單的一些方法呢？筆者在思考這個問題時突然想到了求二次函數的單調性關鍵是找到對稱軸，然后結合函數圖像的開口方向來確定單調區間。那么三角函數的單調性可否用對稱軸入手解決呢？為了有個解法上的比較我們下面先用課本上的方法解決然后再用對稱軸的方法進行解決。
題目：求函數y=sin(■-■x)在區間[-2π,2π]的單調增區間。
解法一：（1）利用誘導公式把函數轉化為標準函數(y=Asin(ωx+φ)，A>0,ω>0)的形式：
y=sin■-■x=-sin■x-■。
（2）把標準函數轉化為最簡函數(y=Asinx)的形式，令z=■x-■，原函數變為y=-sinz。
（3）討論函數y=-sinz的單調性，因為y=-sinz的單調性與函數y=sinz的單調性相反，所以函數y=-sinz的單調增區間是[2kπ+■,2kπ+■]，k∈Z，所以2kπ+■
即2kπ+■
（4）計算k=0,k=±1時的單調增區間
k=0時，■≤x≤■；k=1時，■≤x≤■；k=-1時，-■≤x≤-■
（5）在要求的區間內[-2π,2π]確定函數y=sin■-■x最終的單調區間：[-2π≤x≤-■]，[■≤x≤2π]
解法二：因為y=sinx的對稱軸方程為x=kπ+■，k∈Z所以令■-■x=kπ+■，k∈Z，即解得x=-2kπ-■，k∈Z。當k=0時，x=-■;k=-1，x=■，而-■，■∈[-2π,2π]，
由對稱軸方程知， 當k=0時，函數取最大值；當k=-1時，函數取最小值。
故[-■,■]上函數是減函數，所以區間[-2π,-■]，[■,2π]是函數的增區間。
總結：解法一是教科書提供的范例，是一種基本的方法，涉及到還原的思想，不等式性質的應用。解法二是利用函數圖像對稱軸來解決問題，眾所周知二次函數的單調區間由對稱軸分界（取得最值的地方就是分界點），由此想到三角函數的最值也是在單調分界處取得，所以求三角函數的單調性，只要求出它的對稱軸，然后根據取得最值的情況寫出單調區間。
另外求函數的值域及最值問題可以由單調性來求，那么求三角函數的值域及最值問題都可以由對稱軸來快速解決，特別是在考試時解決客觀題的好方法，下面我們再看一題。
題目：已知函數f(x)=2sin(2x-■)，x∈[0,■]，求f(x)的值域。
解：令2x-■=kπ+■,k∈Z，解得x=kπ+■，當k=0時，函數取得最大值且對稱軸x=■落在區間[0,■]內，所以函數的最大值為f(■)=2sin(2×■-■)=2sin■=2，函數的最小值為f(0)=-1，所以函數f(x)的值域為[-1,2]。若將條件x∈[0,■]改為x∈[0,■]，我們該如何做呢？
關鍵詞：導數；單調性；最值；不等式；切線方程
中圖分類號：G718.5
導數是高職數學教學中的一部分內容，它是微積分學中的最基本概念。它是對函數性質研究的有力工具。在函數的單調性、最值等方面，導數都提供了快捷便利的研究方法。甚至在不等式的證明中，導數也能打開一條新的途徑。下面通過一些典型例題的解答簡單闡述導數的工具作用。
一、導數在證明函數的單調性及求函數單調區間方面的應用
利用拉格朗日中值定理，可以證明定理：設 在閉區間[a，b]上連續，在開區間（a，b）內可導，那么（1）如果在（a，b）內有 ，則 在內是單調增函數；（2）如果在（a，b）內有 ，則 在（a，b）內是單調減函數。利用這一定理，可以快速地判斷函數單調性并求出函數單調區間。
【例1】求函數 的單調區間
解：該函數的定義域為R，得一階導函數數 。令 ，得駐點 。當 時， ，因此 在區間 內單調遞減；當 時， ，因此 在區間 內單調遞增。
點評 通過傳統方法來證明單調性和求解單調區間，化簡證明過程相當的繁瑣復雜。而使用導數來解決，過程就會非常簡潔。
二、導數在證明不等式的中的應用
利用單調性證明不等式的成立的過程，首先需要構造函數 ，根據題目給定的范圍 ，求解出 在范圍 上的單調性，而后利用單調性得到不等式，從而來解決原不等式的證明。
【例2】證明：當 時，不等式 的成立
解：構造函數 ，定義域為 。對函數求導得 。因為 ，所以 。即當 時，函數 為增函數。所以 ，有 ，故可得 ，即不等式 的成立。
點評 本例在構造函數式是直接根據不等式構造的。但有些不等式的證明，需要將不等式作適當變形后才能找到構造的函數。
【例3】已知 ，且 為正整數，求證：
分析：由于 ，且 為正整數，所以
故，構造函數 ，利用其單調性可以證明
解：設 ，求導得
， 即
即 在 上單調遞減
，即不等式得證。
點評 “構造函數”是利用導數來解決不等式證明問題的主要途徑。
三、導數在解決最值問題中的應用
利用導數解決最值問題中，主要依靠函數的極值來解決。函數的極值是一個局部概念，僅與極值點左、右兩邊近旁的函數值比較。整個函數的定義域內可以有多個極值，且極小值也有可能大于極大值。所以在閉區間內的函數的最值可以定義為：
最大值=max{極大值，端點函數值} 最小值=min{極小值，端點函數值} （3.1）
利用導數求解最值問題的步驟可以歸納為：
1）令 ，在題目給定的區間內，解得駐點
2）求駐點左右的區間上函數的單調性。若左增右減，則駐點處為極大值；若左減右增，則駐點為極小值；其他情況均不為極值。此過程可以通過列表實現。
3）求解的閉區間端點出的函數值
4）根據公式（3.1）求出最值
【例4】函數 在區間 內的最值
解：令 ，得 或 ，易得 是區間 內的唯一駐點。
極小值為 ，端點值為 ， ，所以，函數最大值為max{ ， } ，最小值為min{ ， ， }= 。
點評 在本例中，步驟（2）中判斷極值點的方法可以替換為考察 的二階導數。當 時， 為極小值點；當 時， 為極大值點；當 時， 的情況不確定。因此，【例4】中判斷極值點的過程可以替換為：
，
取駐點 時，有，
所以 是函數 在給定區間內的極小值點。
此方法，在復雜度和運算量上有一定優勢。但是，由于 時， 的極值點情況不確定，所以在應用范圍上較窄，沒有原來的方法適應的函數更廣。
當在利用導數求解實際問題中的最值時，如果函數 在開區間（a，b）內只有一個駐點 ，并且從實際問題本身又可以知道在開區間內的最大值（最小值）確實存在，那么直接可得 就是所要求的最大值（或最小值）。
【例5】如圖所示，已知一正方形鐵皮邊長為90cm，將其四個角分別截去同樣大小的一個正方形，做成一個無蓋鐵箱，問截去的小正方形邊長為多少cm，才能使無蓋鐵箱的容積達到最大？最大容積為多少？
解：設截去的小正方形邊長為a cm，鐵箱容積為
由題意可知， ，求導可得
令 ，求得（0，45）內的唯一的駐點 ，此時
由于該實際問題中最大值必定存在，所以我們可以確定：當 時，鐵箱容積達到最大值。所以當截去的小正方形的邊長15cm時，鐵箱有最大容積為 。
點評 根據實際問題的條件，利用導數能快速求出最值。
四、導數對解決曲線切線問題的應用
在引入導數的過程中，我們就是從求曲線的切線問題開始的，割線轉化為切線的思想方法中抽象出了導數的概念。所以導數在解決曲線切線的問題上也起到了有力的作用。
【例6】求過原點與曲線 相切的切線方程
解：原點（0，0）不在曲線上，故設切點坐標為（ ， ），則有 ，該點處的切線斜率為 ，所以切線方程為 。由于原點（0，0）在切線上，代入切線方程可得 ，于是得到切點坐標（ ， ）回代入切線方程可得
點評 利用好切點處的導數即為曲線在該點處的斜率這一性質。
通過以上例題，可以看到，導數在高職數學中有著廣泛的且重要的應用。在解決函數單調性、函數最（極）值，不等式證明以及曲線切線問題等方面的問題中，導數都是有力的工具。其方法與傳統的常規方法相比，更具有簡潔的過程和明顯優勢。另外，導數除了在高職數學之外，在其他專業課程也有及其重要的應用，如在物理中，求解加速度等問題。
參考文獻：
應用一 利用導數研究函數的單調性
這一類題主要考查利用導數研究函數的單調性，及函數單調性的應用.通過求導將函數與方程、不等式結合起來，考查運算求解能力.
例1 已知函數φ（x）=ax+1，a為正常數.
（1）若f（x）=lnx+φ（x），且a=92，求函數f（x）的單調區間；
（2）若g（x）=|lnx|+φ（x），且對任意x1，x2∈（0，2]，x1≠x2，都有g（x2）-g（x1）x2-x1
解析：本題主要考查利用導數求函數的單調區間.第（2）問求解的關鍵是將已知不等式g（x2）-g（x1）x2-x1
（2）由g（x2）-g（x1）x2-x1
點評：該題信息給出的是不等式，不少同學在轉化時無從下手，挖掘不等式的本質可知，其實不等式對應的是函數的單調性問題.撥開云霧看問題，分析出h（x）具備的單調性后，就可以無招勝有招.
在代數中，“元”是很重要的概念，不少問題都帶有兩個“元”，即x1，x2，在解方程組時最根本的方法是消元.但是本題中的兩個元x1，x2如何轉化？從上面的分析可以得知，挖掘出隱含的函數單調性，即達到了“消”的目的，從該題中挖掘出蘊含的思想方法，詮釋其內容，回到基本概念中去，分析題目的信息，聯系基礎知識與基本思想方法，聯系已知與未知的關系，獲得解題思路.在具體運算求解過程中，需要解決含參不等式恒成立問題，這類題考查同學們分析問題、解決問題的能力，一般情況下可以分離參數，轉化為新函數的值域（最值），或直接求導，分類討論求值域.
通過導數把函數的單調性問題化為不等式問題頗受各地命題專家的青睞.雖然試題千變萬化，但是解決問題的思想方法基本相同.
在建立目標函數后，另辟蹊徑，極富成效的進行變形，問題就迎刃而解.對試題的異樣的分析與解答，拓寬我們的視野，提高思維的靈活性，加深對數學本質的認識，提升數學綜合素養.所以，在平時的學習中要善于注意一題多解，一解多用.
應用二 利用導數研究函數的極值及參數的取值范圍 用導數研究參數的取值范圍，其實質就是轉化為研究函數的單調性、極值與最值的問題，這類問題的實質就是函數的單調性與函數的極（最）值的應用.問題的難點在于如何聯系參數和所求得的函數的極（最）值，破解的方法是根據題目的要求，畫出函數的大致圖象，探求函數極（最）值，通過數形結合的思想去分析問題，可以使得問題的求解有一個清晰、直觀的整體展現.
例2 已知函數f（x）=3ax4-2（3a+1）x2+4x.
點評：（1）根據函數的單調性確定參數范圍是高考的一個熱點題型，其根據是函數在某區間上單調遞增（減）時，函數的導數在這個區間上大（小）于或者等于零恒成立，轉化為不等式恒成立問題解決.
（2）在形式上的二次函數問題中，極易忽略的就是二次項系數可能等于零的情況，這樣的問題在函數的單調性的討論中是經常遇到的，值得考生特別注意.
應用三 利用導數研究方程根的分布
研究方程的根的情況，可以通過導數研究函數的單調性、最大值、最小值、變化趨勢等，并借助函數的大致圖象判斷方程根的情況，這是導數這一工具在研究方程中的重要應用.將方程、不等式等有關知識和導數結合的綜合性問題，主要考查綜合運用有關知識分析問題、解決問題的能力.
利用導數證明不等式，就是把不等式問題轉化為函數問題，通過構造函數，轉化為利用導數求函數最值.應用這種方法的難點是如何根據不等式的結構特點或者根據題目證明目標的要求，構造出相應的函數關系式.破解的基本思路是從函數的角度分析要證明的不等式的結構特點，然后去構造函數式，或者從不等式證明的放縮方向上去構造函數式，使所構造出的函數是不等式證明所需要的最佳函數.
點評：該題的難點有兩個，一個是第（2）問中求解函數的極值要根據b的取值范圍進行分類討論；二是證明關于n的不等式，解決此類問題的一般思路是將不等式直接轉化為關于n的函數的最值問題來解決.
（集寧師范學院數學系，內蒙古 烏蘭察布 012000）
【摘 要】導數是微分學的重要組成部分，是研究函數性質、曲線性態的重要工具[1]，也是解決實際生活中某些優化問題的重要方法。探討了運用導數求解實際生活中有關用料、成本、利潤及選址方面問題的方法。
關鍵詞 微積分；導數；應用
0 引言
導數（Derivative）也叫微商，是一種特殊的極限，它反映了函數中因變量隨自變量的變化而變化的快慢程度，[2]是微積分中重要的基礎概念 是聯系初等數學與高等數學的橋梁。在研究幾何、證明不等式等方面起著重要的作用，在探究函數性質、尋求函數極值與最值以及描繪函數圖形等方面也起著重要的作用，同時，也為解決某些實際應用問題提供了重要的方法。在實際生活中經常出現的一些謀求利潤最大、耗材最少、或效率最高、位置最佳等與經濟或科學研究有關的問題，這些問題稱之為優化問題，如何找到解決該類問題的最佳方案是求解該類問題的關鍵，而利用導數就可以簡捷地解決這些問題，從而真正解決我們的實際生活問題。
1 導數的概念及幾何意義
2 運用導數求解優化問題的方法與注意事項
實際生活中的優化問題，如選址最佳、用料最省、利潤最大等問題，本質上就是最值問題，這些問題與求函數的最值問題有著密切的聯系，而這些問題可以轉化為函數問題，利用導數知識得以簡捷的解決。
2.1 解決優化問題的方法
首先對現實問題進行分析，找出各個變量之間的關系，建立相對應的函數關系式，將實際問題轉化為用函數表示的數學問題，再結合實際情況確定自變量的定義域，創造函數在閉區間上求最值的情景，通過對函數求導、確定駐點和不可導點、比較函數在區間端點、極值點和不可導點處的函數值，獲得所求函數的最大(小)值，最后將數學問題回歸到現實問題，根據數學問題的答案回答優化問題最佳方案或策略。
利用導數求解優化問題的思路如圖1所示。
2.2 導數解決實際問題的注意事項
在求解實際優化問題時，要結合實際問題的背景，求得的解要滿足現實意義，舍去不符合現實意義的值，若遇到目標函數在有限開區間、閉區間或無限區間內只存在一個駐點的情況，如果該駐點處的函數值是目標函數的極值點，則該點即為目標函數的最值點。
3 導數在實際生活中的應用
3.1 導數在材料利用問題中的應用
例1 圓柱形金屬罐裝飲料廠為節約用料降低成本，在保證所裝飲料體積一定的情況下，如何設置飲料罐的高與底半徑，才能使材料減小到最小？（假設圓柱形飲料罐的上下底厚度分別是側面厚度的2倍）
分析：該例題屬于“用料最省”的實際問題，關鍵是寫出用料函數表達式，將實際問題轉化為數學問題，運用導數知識探求目標函數的最值。
例2[4] 某零件生產車間欲將一批半徑為R 的金屬圓球切削成圓柱形零件，該批圓柱形零件的高為多少時，能使原料的利用率最高？
分析：該問題也是一個“用料最省”問題，當圓柱的體積最大時，材料利用率最高，關鍵是根據問題描述寫出圓柱體體積V與圓半徑R、圓柱高h的函數表達式，將其轉化為數學問題，利用導數求解目標函數的極值，從而解決問題。
解：設圓柱形零件的底半徑為r，高為h，則其體積為V=πr2h
材料利用問題、成本利潤問題以及選址等問題都是實際生活中最常見的問題，通過對這些問題的分析，可以確定它們都是最值問題，可以利用導數知識分析、求解。
4 結論
解決實際生活中的優化問題是導數在實際生活中的主要應用，通常的求解方法是首先根據現實問題建立相應的數學模型，列出優化問題中相關量的函數關系式，然后利用導數的相關知識去分析、求解，最后將計算結果回歸到實際問題，從而推出所研究問題的結論。
參考文獻
［1］徐映紅.駱樺.微積分中導數的應用[J].北京電力高等專科學校學報,2010(8):44-45.
［2］張選群.醫用高等數學[M].人民衛生出版社,2010.
［3］邢建平.例談導數在經濟活動中的應用[J].管理觀察,2010(22):240.
【關鍵詞】導數；應用；高中數學
一、導數的概述
“新課標”在教程的目標、觀念上的一個發展就是在數學教學和數學學習中更加強調對數學本質的認識和理解.在“導數的應用”教學中，通過導數對函數的性質進行研究來認識函數的本質.高中數學由必修和選修組成，在所學課程中多處涉及導數方面的問題，足以看到導數在高中數學中占有很高的地位.
在高中學習過程中，學生通過學習函數的定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性等來理解函數的性質.而這些性質都可以通過畫出函數圖像表示出來.基本初等函數可用描點法畫函數圖像，而一些比較難的非基本初等函數無法用描點法繪制函數圖像.在這種情況下，我們可以用所掌握的導數知識來求一階導數，并利用其判定函數的單調區間、極值點、最值點，利用二階導數來判定函數的凹凸區間、拐點，然后利用極限的思想來找出水平漸近線和垂直漸近線，最后再利用描點法來畫出較為準確的函數圖像.這不僅僅能使學生更好地掌握所學的基本知識，同時擴展了數學思維.
讓學生們體會研究導數所用到的思想方法：先研究函數在某一點處的導數，再進一步過渡到一個區間上；在應用導數解決實際問題時，利用函數在某個區間上的性質來研究曲線在某一點處的性質.這種從局部到整體，再由整體回到局部的思想方法是非常值得學生學習的.
二、導數在解題過程中的應用
1.函數的單調性
函數的單調性是函數最基本的性質之一，是我們研究函數所要掌握的最基本的知識.它在中學數學中的用處是非常廣泛的.其思維方法有：（1）利用增（減）函數的定義判斷單調性.（2）導數法.利用在（a，b）內可導的函數f（x）在（a，b）上遞增（或遞減）的充要條件是f′（x）≥0（或f′（x）≤0），x∈（a，b）恒成立（但f′（x）在（a，b）的任意子區間內都不恒等于0）.方法（1）中的化簡較為煩瑣，比較適合解決抽象函數的單調性問題，而利用導數知識來判斷函數的單調性既快捷又容易掌握，特別是對于具體函數更加適用.
2.利用導數求極值和最值
最值和極值問題是高中數學的重點，也是一個難點.它涉及了高中數學知識的很多方面，要解決這類問題往往需要各種能力，同時需要選擇合理的解題途徑和策略.用導數解決這類問題可以使解題過程簡單化，步驟清晰，學生也更容易掌握.應注意函數的極值與最值的區別與聯系，極值是一個局部性概念，而最值是某個區間的整體性概念.
一般地，函數f（x）在閉區間[a，b]上可導，則f（x）在[a，b]上的最值求法：
（1）求函數f（x）在（a，b）上的極值點；
（2）計算f（x）在端點和極值點的函數值；
（3）比較f（x）在端點和極值點的函數值，最大的就是最大值，最小的就是最小值.
3.切線問題
在某一點的切線方程為y-f（x0）=f′（x0）（x-x0），但應注意點P（x0，f（x0））在曲線y=f（x）上，否則易錯.利用導數求切線問題一般可以分為兩類：過一點的切線方程和兩曲線切線方程.第一種題型分為點在曲線上和點在曲線外兩種情況，f′（x0）的幾何意義就是曲線在點P（x0，f（x0））處切線的斜率；而第二類用常規方法求解，運算量大，過程特別煩瑣，而利用導數知識就為解決這類問題提供了簡潔的方法，即先分別求出兩曲線的切線，利用它們是同一直線來建立關系求解.
4.證明不等式
縱觀這幾年高考，凡涉及不等式證明的問題，其思維量大、綜合性強，因此歷來是高考的難點.利用導數去證明不等式，就是利用不等式與函數之間的聯系，直接或者間接等價轉化后，結合不等式的結構特征，構造相應的函數.通過導數運算判斷出函數的單調性，將不等式的證明問題轉化為函數問題.
5.討論方程解的個數
在討論方程的根的存在性及個數問題上，導數是一個很好的工具，在這一類的問題上關鍵是將方程的問題轉化成函數的零點或者函數圖像交點問題，利用導數討論函數的性質并結合根的存在性定理及函數圖像來解決問題.
三、利用導數解決實際應用問題
導數不僅可以解決函數、切線、不等式問題，還可以解決一些實際應用問題.近年來，高考越來越關注對實際問題的考查.
生活中經常遇到求利潤最大、效率最高、費用最省等問題，這些問題通常稱為最優化問題，我們可以通過導數求函數最值的方法來解決這類問題.導數描述了一個函數的因變量相對于自變量變化的快慢程度，即因變量關于自變量的變化率.
利用導數解決生活中的優化問題的一般步驟：
（1）分析實際問題中各量之間的關系，列出實際問題的數學模型，寫出實際問題中變量之間的函數關系y=f（x），要注意x的范圍.
（2）利用導數求函數f（x）的極值和函數的最值，給出數學問題的解答.