時間：2023-06-14 16:36:14
導語：在數學公式和定理的撰寫旅程中，學習并吸收他人佳作的精髓是一條寶貴的路徑，好期刊匯集了九篇優秀范文，愿這些內容能夠啟發您的創作靈感，引領您探索更多的創作可能。
關鍵詞： 數形結合 凹凸性 求導公式 積分公式
在數學教學中，常常遇到的一個問題就是學生記不住一些常用的數學公式，或者是隨著時間的推移，將一些數學公式記錯、記混，從而影響學生的學習積極性和后續知識的學習.有一些學生因記不住數學公式而厭惡數學，進而認為數學就是套公式，他們學不好數學往往是因為記不住數學公式.這些認識雖說具有很強的片面性，但從一個方面說明數學公式的掌握在數學學習過程中的重要性.
高等數學是建立在中學數學的基礎之上的，一般來說，中學的數學基礎差，高等數學的學習相對來說就比較吃力.但是，高等數學相較于中學數學又有一定的獨立性.中學數學涉及的知識面較窄，因此很注重技巧，而高職的高等數學相對來說涉及的知識面較廣，對技巧的要求少了許多，可以說是在反反復復地使用基本初等函數的求導公式.因而記住這些公式就顯得尤為重要.下面我就教學中遇到的幾個難于記憶的定理、公式提出了形象化的記憶方法，希望有助于學生的學習.
一、凹凸性和極值的記憶
在極值和凹凸性的章節中有以下定理：
定理2：設在[a，b]上連續，在（a，b）內具有一階和二階導數，那么
這兩個定理涉及二階導數的應用，我在教學中發現，許多學生往往會用錯這兩個定理.為此，我們提出了用一個蹺蹺板的圖形幫助學生記憶這兩個定理.解釋如下：圖中的水平線代表0，支點位置為一階導數，蹺蹺板的兩端，一端是函數f（x），一端是二階導數f″（x），很明顯，當f″（x）>0時，蹺蹺板一端高于水平面，另一端比低于水平面，可以想象為極小和凹.類似地，當f″（x）
二、三角函數的求導和積分公式
三角函數的積分和求導公式比較多，記憶難度較大，因此是學習的難點所在.即使剛開始記住了，時間長了也容易混淆.為了幫助學生記憶，我們引入如下圖形（注意第二個圖形中的負號）：
（2）積分：如果被積函數是兩個頂點的乘積，則結果是另外一個頂點：
教學實踐表明，簡單的圖形在幫助學生學習方面起到了很好的作用.本文僅是拋磚引玉，希望今后能看到更多更好的相關文章.
參考文獻：
關鍵詞：公式；定理；知識的發生；知識的發展
中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1671-0568（2013）36-0157-03
公式和定理揭示了數學知識的基本規律，具有一定的形式符號化的抽象性和概括性的特征，是學生數學認知發展水平發展的重要學習載體，是中學數學知識體系的重要組成部分，是數學推理論證的重要依據。因此，公式和定理的教學是基礎知識教學的重要組成部分。按照課程標準的定位，高中數學公式和定理大部分是需要達到掌握的層次，即必須明了知識的來龍去脈，領會知識的本質，能從本質上把握內容、形式的變化，對其中蘊含的數學思想方法也要加以掌握。
長期以來，由于中學數學教學的基礎知識源遠流長，不可能再有什么創新，更不太可能要求學生發明創造新的初等數學的結論。同時，基于高考升學的壓力，數學教師普遍對定理、公式課的教學重視不夠，數學公式和定理教學容易產生“一背二套、公式加例題”的形式，在數學課堂中更多地重視“解題訓練”，習慣了“滿堂灌”的模式，這種形式的教學往往使學生的頭腦里只留下公式、定理的外殼，而忽視他們的來龍去脈，不明確它們運用的條件和范圍，代之以更多地靠背誦數學的結論和公式，盲目、機械地去進行模仿，在茫茫的題海中漫游，學生不知不覺地成了知識的容器。在這樣的課堂上，學生思維的時間和空間無情地失去了，長此下去，學生很用功，書本知識很純熟，但動手能力差，學生對數學問題根本不可能進行深入的思考和探究，更不可能有創新思維和創新精神。
如何在新課改下的數學公式和定理的教學中，充分發揮學生在學習中的主體地位，提高教學效率，并大面積提高教學質量呢？通過教學實踐，筆者認為，在教學過程中，教師應做好以下幾方面的工作，從而提高定理教學的質量。
一、知識的發生階段
在公式定理的教學中，如何一開始就把學生的興趣調動起來，把學生吸引住，激發他們的求知欲，是發展學生思維、培養學生探索能力的關鍵。在教學實踐中，筆者主要采取了如下幾種比較有效的引入方式：
1.注重與生活實際相結合。建構主義強調，學生并不是空著腦袋走進教室的。在日常生活中，在以往的學習中，他們已經形成了豐富的經驗，小到身邊的衣食住行，大到宇宙、星體的運行，從自然現象到社會生活，他們幾乎都有一些自己的看法。而且，有些問題即使他們還沒有接觸過，沒有現成的經驗，但當問題一旦呈現在面前時，他們往往也可以基于相關的經驗，依靠自身的認知能力，形成對問題的某種解釋。而且，這種解釋并不都是胡亂猜測，而是從他們的經驗背景出發而推出的合乎邏輯的假設。因此，在教學中，教師不能無視學生的這些經驗，另起爐灶，從外部裝進新知識，而是要把學生現有的知識經驗作為新知識的生長點，引導他們從原有的知識經驗中“生長”出新的知識經驗。
例如，在等差數列通項公式的教學中，通過如下問題引入：1682年，英國天文學家哈雷發現一顆大彗星描繪的曲線和1531年、1607年的彗星驚人的相似，便大膽斷定，這是同一天體的三次出現，并預言它將于76年后再度回歸。這就是著名的哈雷彗星。它的回歸周期大約是76年，請你查找資料，列出哈雷彗星的回歸時間表，并預測它在本世紀回歸的時間。學生通過審題分析可以很快得出結論，這個時候再提出等差數列的通項公式就水到渠成，相當自然。
2.學會從實驗去歸納猜想。著名數學教育家G?波利亞曾指出：“數學有兩個側面，一方面它是歐幾里得式的嚴謹的科學，從這個方面看，數學像是一門系統的演繹科學；但另一方面，創造過程中的數學，看起來卻像一門實驗性的歸納科學，在定理教學時，教師也可以設置實驗引入，引導學生通過實驗結果發現定理。
以二項式定理的教學為例，二項式定理是兩個計數原理的典型應用，為了引導學生追本溯源，把二項式定理的研究還原到應用計數原理的思考上來，在本節課教學時，筆者進行了精心設計，下面是其中的部分教學設計：
問題1：兩個粉筆盒，每個盒里各有一紅一白兩支粉筆，現連續抽取兩次，每個粉筆盒各抽一支粉筆，問：有多少種不同的抽取結果？
（學生小組合作討論，得出可能結果。教師板書學生陳述的結果于黑板右側，并引導學生分別用分步和分類兩個原理加以說明。）
（1）分步乘法計數原理：2×2=4。
（2）分類加法計數原理：抽取結果分為三大類。
①兩白？邛白1白2？邛1？邛C
②一白一紅？邛白1紅2？邛1
白2紅1？邛12？邛C
③兩紅？邛紅1紅2？邛1？邛C
問題1設計意圖：從粉筆盒取粉筆生動形象，學生比較熟悉，解決起來得心應手。
問題2：你能夠得出（a+b）2的展開式嗎？（教師板書于黑板中間）
問題3：對比取粉筆的過程，思考（a+b）2與它有什么共同之處？描述這些共同之處。（教師引導學生從項數、項的次數、各項的項數對（a+b）2進行分析。）
學生小組合作，得出如下結論：
項數：2+1
項次數： 展開項的各項均為二次，a降冪b升冪，每一項可記為a2-kbk，k∈{0，1，2}
各項的項數：a2？邛a2b0？邛C
ab？邛a1b1？邛C
b2？邛a0b2？邛C
問題2設計意圖：把新問題回歸到已掌握的知識上，體會知識之間的聯系與問題的解決；體會展開式中系數的由來。
探究活動一：學生獨立探究（a+b）3的展開式，并請學生展示探究過程：（學生依舊選擇了取粉筆的過程，改為三個粉筆盒）
（a+b）3=C a3+C a2b+C ab2+C b3
=a3+3a2b+3ab2+b3
活動一設計意圖：再次理解取粉筆問題和展開式的聯系，特別是展開式各項的系數與取粉筆過程中分類計數原理的聯系。
探究活動二：請大家思考（a+b）n=？
（a+b）n=C an+C an-1b+C an-2b2+……+C bn n∈N*
活動二設計意圖：發現規律，猜想。
活動三：請哪位同學能對比剛剛的（a+b）2的分析過程，分析（a+b）n的展開式。
項數：n+1
項次數：展開項的各項均為二次，a降冪b升冪，每一項可記為an-kbk
活動三設計意圖：由特殊到一般，再次用計數原理歸納并證明的過程。
在這一設計中，學生經過從粉筆盒抽粉筆的實踐操作，發現了（a+b）2的各項展開式系數與計數原理應用下的抽粉筆的結果之間的聯系，然后經過類似實驗得到 （a+b）3中類似的結論，由此猜想（a+b）n的展開式，從而輕松得到二項展開式定理。
3.注重知識類比引入。數學知識不是孤立存在的，學生可以應用已經掌握的公式、定理推導新的公式定理，也可以通過對知識點的相同、相通之處分析，采取類似的方法。
例如，在正弦定理的教學中，部分引入的教學設計為：
問題1：初中時，在三角形中，邊和角有什么樣的關系？
學生答：大邊對大角，小邊對小角。
問題2：已知RtABC中，∠C是最大角，所對的斜邊c是最大的邊，邊和角有什么關系？
學生思考后，作圖分析，得出結論：根據正弦函數的定義，■=sinA，■=sinB，所以■=■=c，又sinC=1，所以■=■=■
問題2設計意圖：直角三角形是學生已經掌握的三角形，學生入手比較快，解答比較容易。
問題3：已知ABC中，A角對a邊，B角對b邊，C角對c邊，邊和角有什么關系？
學生類比問題2的解答，作圖，分類討論得出結論：■=■=■
問題3設計意圖：類比特殊三角形進行推廣。
學生對直角三角形的邊角關系很熟悉，當在直角三角形中得出結論后，再次提出新問題，即其他三角形中是否也有類似關系？學生就很容易類比直角三角形進行推導，得出結論。
二、知識發展階段
1.重視推導和證明。掌握數學知識的過程是一個建構和再建構的過程，而理解把原有知識變成更容易記和提取的知識，提高新知識的記憶程度。在傳統的定理教學中，學生因為不清楚定理的來龍去脈，對數學結論性的定理和公式只能生硬地記憶和套用，經常出現書本例題和練習都會做，但稍有變式便無從下手的情況，這是因為學生沒有理解定理。沒有理解，知識就是孤立存在，各種知識分別占用記憶單位，記憶量大，學生在學習的過程中苦不堪言。因此，在定理教學中，恰當地引入，發現定理后，學生的興趣被激發，對證明、推導有迫切感，此時，教師要緊緊抓住這一理想狀態，充分調動學生的積極性，發揮學生的主導作用，能由學生自己解決的推導過程堅決不插手。同時，還要注意引導對學生推導進行完善處理，注重分析推導方式的原因，思考有沒有別的方法，以擴充學生的思維。學生經過自己動手推導的思考和理解，漸漸地體會到數學是一個緊密的內部聯系的整體，知識網絡之間非常有條理地聯系在一起，這些聯系是學習者通過努力去探索和嘗試而建立起來的，同時就建立了比較正確的數學觀、數學學習觀和數學信念等。就在學生對數學概念的本質及關聯有了理解，對數學方法的運用有體會時，學生對數學及其應用就會產生興趣，并產生學習更新、更深知識的欲望。
2.注重靈活應用，提高學生的學習能力。知識的學習是為了能運用定理公式進行思維解決問題，在應用訓練中關注兩點：
（1）強調特例和成立條件。公式定理的成立是有一定條件的，學生學習公式定理的最大弱點是把公式作為萬能公式亂用亂套。因此，在教學中要強調公式成立的條件。例如，在a+■≥2應用中，a是有范圍限定的，如果a的取值改變，會導致結果改變。
（2）注重練習。依據認識論的觀點，一個完整的教學過程必須經過“由感性的具體上升到抽象的規定”和“再由抽象的規定發展到思維中的具體”這樣兩個科學、抽象的階段，因此，定理公式的應用訓練不可或缺。但練習的目的在于鞏固、深化概念，形成技能，培養分析問題、解決問題的能力。因此，選題要典型、靈活多樣，對題目的探討、挖掘要深入，切忌盲目的進行題海戰術。
本文從機械領域專利的權利要求包含數學公式的保護范圍如何理解入手，針對包含了數學公式的權利要求，重點探討了機械領域技術人員應如何更加準確、客觀地做出新穎性/創造性的判斷結論。
1.權利要求包含數學公式的保護范圍的理解
《專利法》第五十九條第一款的規定：發明或者實用新型專利權的保護范圍以其權利要求的內容為準，說明書及附圖可以用于解釋權利要求的內容。《專利審查指南》中又進一步規定：通常情況下，在確定權利要求的保護范圍時，權利要求中的所有特征均應當予以考慮，而每一個特征的實際限定作用應當最終體現在該權利要求所要求保護的主題上。在此基礎上，筆者認為“采用數學公式限定的技術特征最終體現在權利要求所要求保護的主題上”應當包含了兩個方面的含義：
1.1第一層含義：以數學公式限定的技術特征，其實質上是限定了一組數值范圍。
1.2第二層含義：數學公式本身就代表著一種“數學規律”，反映到權利要求所要求保護的主題上即為“請求保護的產品/方法涉及到公式中的各個參數所必須遵循一種規律”。
2.包含數學公式的權利要求的新穎性/創造性的判斷
在進行新穎性/創造性的判斷之前，筆者建議，應當首先根據權利要求中所采用的數學公式是否是“本領域技術人員的公知常識”，分為以下兩種情況并分別加以考慮：
2.1數學公式是本領域技術人員的公知常識
如果權利要求包含的數學公式經過判斷屬于本領域技術人員的公知常識，例如果該數學公式是教科書、工具書或技術手冊等現有技術明確記載的或者是本領域的慣用手段，則只要檢索到任意一組符合該數學公式的具體數值點即可以認為公開了以數學公式進行限定的技術特征，進而得出權利要求不具備新穎性/創造性的結論。之所以沒有進一步分析該數學公式的第二層含義的原因僅僅在于“該數學公式所代表的規律早已經是本領域技術人員的公知常識”。因此，不需要再判斷現有技術是否給出第二層含義的技術啟示。下面，筆者結合案例進行說明：
【案例】
權利要求：一種四聯桿傳動機構，所述傳動機構由活動絞接的四個傳動桿組成且共同構成四邊形傳動機構，其中所述四邊形的對角線的距離z滿足下述公式：Z2=X2+Y2-2XYcosA，其中x代表與對角線相鄰的長桿的長度，Y代表與對角線相鄰的短桿的長度，A代表長桿和短桿之間的夾角。
同時，權利要求中還分別限定了參數X，Y，A三個參數的數值范圍。
【案例分析】
其利用兩個桿的長度和兩個桿之間的夾角計算四邊形對角線的長度所采用的數學公式，實際上就是教科書早有記載的三角形計算邊長的“余弦定理”。因此，該數學公式是本領域技術人員所熟知的公知常識。在此前提條件下，本領域技術人員只需要檢索得到任意一個長桿和短桿的長度以及二者之間的夾角能符合該數學公式的四邊形傳動機構即可，而不需要進一步分析該數學公式的第二層含義是否已經被現有技術公開。
2.2數學公式并非是本領域技術人員的公知常識，如果權利要求包含的數學公式并非是本領域技術人員的公知常識，則現有技術不僅應當能證明公開了上述第一層含義，還應當同樣能夠證明其公開了上述第二層含義或者能證明其給出了相關技術啟示，不能僅僅根據一個或幾個具體數值點就認定公開了該數學公式進而否定其新穎性/創造性。下面，筆者還是結合案例并進行一些改進后再加以分析說明：
【案例】
權利要求：一種四聯桿傳動機構，傳動機構由活動絞接的四個傳動桿組成且共同構成四邊形傳動機構，其中構成四邊形的兩個相鄰桿之間長度滿足下述公式：X=aY+b，其中X，Y各自代表桿的長度，a，b為常數。
【案例分析】
四邊形傳動機構中各個桿之間的長度關系需要滿足的上述公式并不是本領域技術人員的公知常識。在此基礎上，如何判斷該權利要求的新穎性/創造性，建議可從以下幾個方面考慮
2.2.1如果某一份現有技術中明確公開了上述數學公式，且其公開的桿的長度也滿足落入權利要求的數值范圍或部分重疊等條件，則可得出權利要求不具備新穎性/創造性的結論。
然而，實際情況中，本領域技術人員能夠獲得明確公開了上述數學公式的現有技術的可能性很小，所以這種理想情況并不多見。
2.2.2如果某份現有技術中明確公開了多組完全吻合該公式的具體的數值點，并且對于本領域技術人員來說，根據現有技術中公開的該多組具體的數值點，即可以很容易地推導得出上述公式，則可以認為該權利要求相對于現有技術不具備創造性。然而，實際情況中，現有技術要“分毫不差”地公開完全吻合上述數學公式的具體的數值點，并且一個重要的前提條件還需要給出足夠多的點，該可能性也很小。
2.2.3如果某份現有技術中明確公開的多組具體的數值點并不完全吻合上述數學公式，但每一組具體數值點都無限逼近上述數學公式，則也應視為與上述第（2）情況相同的情形處理。
這是因為實際情況中，很多數學公式所對應的直線或曲線等圖形都是通過大量實驗得到具體數值點后再擬合得出的。由于實驗中存在著不可避免的誤差，因此，最終數學公式所對應的直線或曲線等圖形是采用無限逼近點值的方式獲得，即不可能使所有的實際數值完全符合數學公式或完全落入擬合的曲線上。因此，如果某份現有技術中明確公開的多組具體的數值點雖然并不完全吻合上述公式，但每組具體數值點都無限逼近上述數學公式或對應的曲線或直線等圖形，并且對于本領域技術人員來說，根據該現有技術中公開的多組具體的數值，采用同樣類似擬合的方式即可以推導得出上述數值公式，則可以認為該權利要求不具備創造性。
[關鍵詞]：中學數學 觀察法 有效教學
科學始于好奇，發現始于觀察。觀察是一種有計劃、有目的、持久的知覺活動，是孩子們科學探究的起點，是人們認識世界的開始。數學教學過程離不開觀察，通過觀察認識數學的本質、揭示數學的規律、探求數學方法。在教學中，恰當地運用觀察來收集材料、發現新事物、探求解題方法與途徑，對于培養學生的觀察能力，提高教學效果有很大作用。
一、創設情境，在觀察中理解數學概念
數學概念是客觀事物或現象的數學關系、空間形式的基本屬性在人們頭腦中的反映。教材中有許多數學概念，在實際生活中都可以發現它的現實原型。所以，在教學過程中，密切聯系現實原型，從學生接觸過或認識過的事物去創設教學情境，引導學生細心觀察，就能夠使學生比較容易地理解、接受數學概念，理解數學概念。
例如，在引入正、負數概念之前，我有意識地讓學生觀察“零上2℃，零下1℃”、“高于1.5米，低于0.5米”、“前進1步，后退2步”等具有相反意義的量，從而使學生了解引進新的數來表示這種實際問題的必要性，易于接受正、負數的概念：像2，1.5，1…這樣的數叫做正數，它們都比0大，在正數前面加上“－”號的數叫做負數，如-1，-0.5，-2…。
在數學教學中也常常通過觀察數學對象的“形”，來認識數學對象的性質。如為了研究一些函數的性質（單調性、周期性、奇偶性等），就可觀察這些函數的圖象。
二、自主探究，在觀察中推導計算公式
數學公式是數學知識的重要組成部分，數學公式的形成，既離不開細致的觀察，也離不開合情的推理。因此，在教學中，我們在善于引導學生去觀察、善于讓學生體驗觀察帶來快樂的基礎上，注意引導學生去自主探究、去推導計算公式，往往會有意想不到的收獲。
例如，在教學“圓錐的側面積”時，我先讓學生制作一個圓錐形紙帽，再讓學生將制作好的圓錐形紙帽的側面展開，接著讓學生觀察圖形前后的變化。通過觀察，學生發現了圓錐的側面展開后的形狀是一個扇形，并且發現了該扇形半徑的長度等于展開前圓錐母線的長度，扇形的弧長相當于圓錐底面圓的周長，圓錐的側面積就是展開后扇形的面積。聯系扇形面積計算公式：S扇形=12×扇形弧長×扇形半徑。這樣，學生很自然就推導出圓錐的側面積計算公式：S圓錐側=12×圓錐底面圓周長×圓錐母線長，若圓錐底面圓半徑為R，母線長為l，該公式記為S圓錐側=12×2πR×l=πRl。由此一來，學生對公式的理解以及運用就水到渠成，不僅會計算圓錐的側面積，而且對與圓錐有關的計算問題也能償試著將圓錐展開后通過觀察后得到解決。
這樣，通過學生的做一做、看一看、想一想，讓學生自主探究，體驗成功的快樂，讓不好懂、不易懂、不好記、不易記的知識變成易懂易記的知識。
三、設計問題，在觀察中發現數學定理
數學中的定理，是數學對象之間的關系的一種反映或描述，而數學對象之間的許多關系是從對數學對象的直接觀察中得來的。在數學定理的教學中，我們不妨精心設計一些問題，讓學生在觀察中發現定理，當一回“科學家”。
例如，在“角平分線的性質定理”的教學中，我是這樣引導學生觀察并發現該定理的：
1.老師：同學們，大家知道，許多定理都是用發現它的人的姓氏來命名的，如勾股定理，外國人稱之為畢達哥拉斯定理。你們想發現定理，想用自己的姓氏來命名定理嗎？（這段引言的目的是激發學生的探索欲望。）
2.幻燈片顯示∠AOB及其平分線OC。
3.提問與練習。
①角平分線的定義是什么？
②在練習本上任意畫∠AOB，再畫出這個角的平分線OC；
③點到直線的距離定義是什么？
④在∠AOB的平分線OC上任取一點P，畫出點P到∠AOB的兩邊的距離PD、PE，再在OC上任取另一點Q，畫出點Q到∠AOB的兩邊的距離QM、QN。
4.指導學生觀察并實驗。
①分別觀察點P、Q到∠AOB兩邊的距離的大小關系，并測量驗證；
②再在∠AOB的平分線OC上任取一些不同的點，觀察并測量驗證這些點到∠AOB兩邊的距離的大小關系；
③將∠AOB沿OC對折，線段PD、PE能重合嗎？線段QM、QN呢？
5.引導學生猜想：在角平分線上的點到角的兩邊的距離相等。
6.引導學生論證，并指出這是角平分線的性質定理。
學生通過觀察實驗猜想論證，充分調動了學習積極性，激發了學習興趣，很好地體驗了成功的喜悅，嘗試了當一回“科學家”的快樂。
此外，對于線段的垂直平分線定理、垂徑定理、圓周角定理等，都可以在觀察中發現，讓學生在觀察中不知不覺地接受定理，理解定理，愉快地完成學習任務。
四、合作交流，在觀察中尋找解題突破口
數學解題需要透過觀察去認識本質，找出問題的內在聯系和規律。教學習題時，開展小組合作，讓學生邊觀察邊交流，有助于尋找解題的突破口，培養學生思維的靈活性和開拓性，從而開闊學生的解題視野。
例如,計算(1-122)(1-132)(1-142)…(1-120072)(1-120082)
對于這道題，很多同學不善于觀察，難于找到突破口，盲目地先算括號里面的算式，使問題復雜化，運算量增大，無法算出結果。在學生冥思苦想之際,我引導學生開展小組合作，去觀察算式中的規律，并交流觀察結果，學生通過細心觀察，發現了每個小括號里的算式都是1與一個分數的平方的差，分數的分母依次為2，3，4，…2007，2008，且細心的同學發現1=12，因此，該算式每個括號里都隱藏著一個平方差公式。這樣，就可將每個括號里的多項式運用平方差公式進行因式分解，于是原式= (1-12)×(1+12)×(1-13)×(1+13)…×(1-12007)×(1+12007)×(1-12008)×(1+12008) =12×32×23×43×34…20062007×20082007×20072008×20092008。
再觀察上式，又可發現第2個分數與第3個分數互為倒數，它們的乘積為1，第4個分數與第5個分數互為倒數…，由此可得原式=12×1×1…×20092008=20094016。
一、巧用方法，激發閱讀欲望
閱讀是學生學習的前提與基礎，但要想讓學生自主閱讀，則需要讓學生產生閱讀的興趣與欲望。因此，在初中數學教學中，教師要采取有效策略，培養學生的閱讀興趣，從而激發學生自主閱讀欲望。
首先，巧設問題情境，誘發閱讀的動力。在數學教學過程中，問題情境是喚起學生主動學習的有效手段，也是激發學生閱讀興趣的重要途徑。在初中數學教學中，教師需要圍繞教學內容，充分考慮學生的年齡與心理特點，選取適宜的材料（如數學史料、數學故事等），設置豐富多樣、有趣生動的問題情境（如認知沖突情境、矛盾情境、懸念情境、選擇情境、復習情境等），引發學生認知沖突，使學生進入思維興奮狀態，產生閱讀欲望，主動閱讀，探究問題，解決問題。如教學“黃金分割”時，教師利用多媒體展示和“黃金分割”有關的視頻或圖片，如東方明珠塔的視頻、芭蕾舞演員圖片，并提出問題：①東方明珠塔是世界第三高塔，有兩個球體，假設你是設計師，會將球體安放于哪一位置呢？②芭蕾舞演員為何要踮起腳？這些為何會給人以平衡、和諧、美的感覺呢？這些都與“黃金分割”有關，那么什么是“黃金分割”呢？“黃金分割”在日常生活中還有哪些應用呢？若要解決上述問題，學生需要閱讀教材，提煉信息。這樣，利用問題情境，誘發學生閱讀的積極性，學會通過自主閱讀獲取知識。
其次，組織閱讀交流活動，增強學生的閱讀興趣。在初中數學教學中，由于學生能力不同、基礎不同，他們的閱讀能力與自制程度有所不同，閱讀效果也不盡相同。在集體學習的過程中，學生之間會相互影響，如果學生處于濃厚的閱讀氛圍中，自然而然地會進行閱讀。因此，為了進一步提高學生的閱讀熱情，教師可以不定期地組織閱讀交流會，讓同學們交流討論，相互分享自己的閱讀體會與經驗。這樣，既可以提高學生閱讀的積極性，又可以在相互啟發與促進中提高閱讀的興趣與能力。另外，教師還可以引導學生撰寫數學小論文、讀書筆記。讀寫結合，既可以強化閱讀的效果，也有助于學生形成良好的閱讀習慣。
二、指導方法，提高閱讀能力
在初中階段，雖然學生有了一定的自學能力，能夠進行自主閱讀，但有些學生由于閱讀的方法不正確，費時耗力，導致閱讀效率不高，而影響閱讀興趣。因此，在初中數學教學中，教師要在日常活動中巧妙地滲透對學生的方法指導，以提高學生的閱讀能力。
第一，指導預習，使學生形成正確的閱讀習慣。在初中數學教學中，教師可利用課前幾分鐘，要求學生自主預習，并指導預習方法，從而促進學生閱讀能力的提升。對于一些內容較為簡單的學習材料，教師可預留預習時間，引導學生自主閱讀。當然，為了提高閱讀效率，教師應盡量根據知識要點、重點與難點制定相應的預習提綱或思考題，讓學生明確閱讀目標，有方向地進行閱讀與思考，初步感知數概念、數學公式等，并提出自己的疑惑。如教學負數時，教師可留出一定的預習時間。要求學生閱讀課本內容，初步了解正、負數的概念，并說說生活中還有哪些相反意義的量。另外，教師還可以先要求學生閱讀材料，然后提問，檢測學生閱讀效果，從而更有針對性地指導學生閱讀方法。
第二，在知識教學中，滲透對學生閱讀方法的指導。數學知識包括概念、定理、數學應用題、幾何知識等，對于不同知識的閱讀，其方法也有所不同。因此，在教學過程中，教師要將閱讀指導貫穿于不同的知識中。如在教學數學概念、數學公式等基礎知識時，教師要指導學生進行有效閱讀的技巧與方法：理解定義、公式中的相關符號、數學術語，并了解其邏輯關系，把握語言文字、數學符號與相應圖形的轉化，透徹地理解數學定義、公式等知識。如勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊長為a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2.即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。再如教師可以以圖形直觀地呈現各類特殊四邊形之間的關系，加深學生對定義的理解。同時，還要注意知識點之間的內在聯系，完善學生的認知結構。
一、重視在概念、定義教學中培養學生的逆向思維
數學中的定義是通過揭示其本質而來的，定義都是充要條件，均為可逆的。所以，其命逆題也是成立的。因此，定義即是某一個數學概念的判定方法，也是這一概念的性質。在教學中應充分利用這一特征，尤為注意定義的逆用解決問題。在定義的教學中，除了讓學生理解定義本身及其應用外，還要善于引導啟發學生逆向思考，從而加深對定義的理解與拓展。
如絕對值是這樣定義的：“正數的絕對值是它的本身，負數的絕對值是它的相反數，零的絕對值是零”除了從正向去理解計算，還要教學生逆向去理解，如“計算︱5︱=？︱-5︱=？”，這是從正向去理解計算，“一個數的絕對值等于5，這個數是多少？”這是逆向去理解計算。
二、重視數學公式、法則、性質的可逆性教學
數學公式本身是雙向的，由左至右和由右至左同等重要，但習慣上講究由左至右或化繁為簡的順序。為了防止學生只能單向運用公式，教師應通過對公式的推導、公式的形成過程與公式的形式進行對比，探索公式能否逆向運用，從而培養學生逆向思維能力和逆用公式，鼓勵他們別出心裁地去解決問題，在“活”字上下工夫。
公式從左到右及從右到左，這樣的轉換正是由順向思維轉到逆向思維的能力的體現。因此，當講授完一個公式及其應用后，緊接著舉一些公式的逆應用的例子，可以開闊學生的思維空間。
三、重視引導學生探討命題（定理）的逆命題
每個定理都有它的逆命題，但逆命題不一定成立，經過證明后成立即為逆定理。在平面幾何中，許多的性質與判定都有逆定理。因此教學時應重視定理和逆定理，強調其可逆性與相互性，對培養學生推理證明的能力很有幫助。例如：“互為余角”的定義教學中，可采用以下形式：∠A+∠B=90°，∠A、∠B互為余角（順向思維），∠A、∠B互為余角。∠A+∠B=90°（逆向思維）。
當然，在平常的教學中，教師本身應明確哪些定理的逆命題是真命題，才能適時給學生以訓練。如：平行線的性質與判定，線段的垂直平分線的性質與判定，平行四邊形的性質與判定等，注意它的條件與結論的關系，加深對定理的理解和應用，重視逆定理的教學對開闊學生思維視野，活躍思維大有益處。
四、注意逆向思維能力的培養
1.在解題中進行逆向思維能力的培養
我們知道，解數學題最重要的是尋求解題思路，這就需要我們解題之前，綜合運用分析和綜合或先順推，后逆推；或者先逆推，后順推；或者邊順推邊逆推，以求在某個環節達到統一，從而找到解題途徑。由此可見，探求解題思路的過程也存在著思維的可逆性，它們相輔相成，互相補充，以達到此路不通彼路通的效果。中學數學課本中的逆運算、否命題、反證法、分析法、充要條件等都涉及到思維的逆向性，在數學解題中，通常是從已知到結論的思維方式，然而有些數學總是按照這種思維方式則比較困難，而且常常伴隨有較大的運算量，有時甚至無法解決，在這種情況下，只要我們多注意定理、公式、規律性例題的逆用，正難則反，往往可以使 問題簡化，經常性地注意這方面的訓練可以培養學生思維的敏捷性。
2.教學設計中進行逆向思維教學的運用
教學設計是中不僅注意反映教材的重點、難點，還要注意到對學生思維能力的培養，特別要注意逆向思維的運用。因此經常逆向設問，以培養學生的逆向思維意識。
同時教師應經常地、有意識地從正反兩反面探索數學問題，引導學生從對立統一中去把握數學對象，解決數學問題。
教師在總結思維過程時應告訴學生有的問題從“正面”不易解答時，從其“反面”思考往往有突破性效果。通過分析啟發很容易掌握，既激發了學生解題興趣，又培養了學生正確思維方法和良好的思維習慣，思維能力逐步提高。因式分解一章教材本身就明確提出了“因式分解與整式乘法的互逆關系”，教學中抓住“互逆”、“反過來”這條主線，就能讓學生真正理解因式分解的意義，并得到逆向思維的訓練從而提高思維能力。
3.鞏固對逆向思維的理解和掌握
一、初中數學教學中滲透數學文化的重要作用
初中數學文化的學習對于學生數學學習有很重要的意義，所以數學文化的學習應該在數學教學中得到應有的重視。通過學習數學文化，能夠了解到數學家的奮斗歷程，在數學上杰出的貢獻和數學家在科研上刻苦鉆研的精神。數學家在數學研究上認真嚴謹的精神，以及刻苦鉆研的態度，能夠調動學生學習數學的積極性，讓學生在潛意識中愿意向這些數學家學習，從而使自己在數學上也能取得優異的成績。學習數學文化可以提升學生理解數學問題的能力，幫助學生記憶數學內容。在中國的歷史上也有很多著名的數學家，如祖沖之、華羅庚、陳景潤等，他們為數學做出了很多貢獻。例如，祖沖之曾將圓周率π確定到小數點后七位，當時處于世界上的領先水平，是我國數學歷史上的杰出成就。教師通過講解這些數學文化，可以豐富課堂上的數學教學內容，激發學生學習數學的積極性，培養學生自主學習的意識。
二、初中數學教學中滲透數學文化的現狀分析
新課程背景下，數學文化正逐漸走進數學課堂，但是教師對于數學文化的重視程度不夠，弱化了對數學文化的教學。而對于學生而言，由于在數學學習上對于數學文化的應用比較少，久而久之也就忽視了這部分內容的學習。兩方面原因導致數學文化在數學教學中的滲透非常有限，學生對數學文化的了解程度也就少之又少。課堂教學中只注重學生數學能力的培養而弱化對數學文化的滲透。教師在數學課堂，對于數學的教學主要是數學技能的培養，教學目的主要圍繞提升學生的解題能力，提高學生的學習效率。數學文化在課本上的體現也在次于理論知識的位置，所以，數學文化不能得到足夠的重視，導致學生在學習數學知識時忽視數學文化的學習。
三、初中數學教學中滲透數學文化的實踐途徑
1.從課堂抓起，滲透數學文化
要提高初中生的數學文化儲備，不能只停留在口頭上，要在實踐中不斷提高學生對數學文化的學習能力，就要求教師在教學中，采取科學合理的途徑幫助學生進行提高，通過對數學文化進行不斷的滲透，使學生在潛移默化中受到影響。要讓學生了解更多的數學文化，就要挖掘教材中可用的材料，將數學文化與教材內容結合，通過數學文化來引導學生學習數學知識。例如，在學習幾何“三角形”這部分內容時，教師可以在課程開始之前，給學生講解勾股定理的由來，以及勾股定理在中國的發展史等內容，從而激發學生的學習興趣，促進學生對數學文化的學習。
2.講解數學名家故事，鍛煉學生意志
教師在講解每一部分數學內容之前，都可以用一段簡短的時間為學生講解一個著名的數學家刻苦鉆研的事例或者一些數學家的名人軼事。通過這些內容的講解，可以增加學生對數學家的了解，鍛煉學生的數學意志。并且講解這些內容也使數學課堂變得更加豐富多彩，可以有效地調動學生學習數學的積極性。例如，我國著名數學家陳景潤在數學上有很多偉大的成就。他在青年求學的過程中非常刻苦，他熱愛學習，經常是書不離手。曾經有一次，因為他還書的日期到了，但是書還差一點沒有讀完，他就在還書的路上一邊走，一邊讀，他讀書非常專注，以至于下雨了都渾然不知。這樣專注的學習態度是值得所有學生學習的，他的故事對于學生學習也會有很大的啟發，激勵學生努力學習，提高自己。
3.開展數學文化角，進行課外延伸
最好的滲透數學文化的實踐途徑，就是以學生為主體，教師可以通過開展數學文化角的方式，進行課外延伸，這樣可以培養閱讀習慣，增加學生對數學文化的理解。例如，可以將班級文化墻的一部分作為數學文化板塊，讓同學們制作關于自己最喜歡的數學家的故事，或者名人軼事、數學公式來源等。再如，可以在課堂上帶領學生探訪一些歷史名題。如高斯也是一位偉大的數學家，他曾經用技巧的算法快速算出從一到一百的和就是很好的例子，對于學生進行數字規律的學習有很大的啟發作用。
四、結語
數學文化是數學的重要組成部分，與數學有不可分割的關系。通過數學文化的學習，學生可以更加了解數學的發展史，以及數學公式的由來。現在學生學習的系統的數學內容，是歷代數學工作者努力的結晶，是數學的靈魂所在，是需要學生在學習過程中了解的內容。通過數學文化的滲透，可以加深學生的學習印象，幫助學生對所學的數學內容進行理解和記憶，對學生數學能力的提高有重要的意義。教師在教學中應該注意對學生數學素質的培養，在數學課堂中更多地滲透數學文化，使學生不僅學到數學技能，更認識到數學精神。
參考文獻：
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2.宋勝吉.談數學文化在課堂教學中的滲透[J].延邊教學學院學報，2010（11）.
一、經歷數學概念的形成過程
新課標指出：抽象數學概念的教學要關注概念實際背景與形成過程。教師在概念教學時，切忌直截了當地就定義講定義，應更多地從概念的產生和發展過程中為學生提供思維情景，讓他們通過觀察、比較、概括，由特殊到一般，由具體到抽象，這樣才能保證學生理解和掌握新概念，而且也能使他們的抽象思維得到發展。
如數軸概念的教學，由于該概念涉及數形結合的思想，初一的學生要掌握這個概念有些難度，教師先出示下列問題：小張家向東走20米是書店，向西走30米是少年宮。若規定向東走為正，向西走為負，那么，小張從家出發，走到書店應記作什么？走到少年宮記作什么？溫度計顯示零上20℃，零下3℃，你如何用有理數表示？
教師接著要求學生將上述兩個問題分別用簡單形象的圖示方法來描述它們，并進一步引導學生提煉出它們的共同屬性：
①能用圖線表示事物的數量特征（可用同一直線上的線段來刻劃），②度量的起點（0℃和小張家），③度量的單位（溫度計每格表示1℃），④有表示相反意義的方向（向東為正，向西為負；零上為正，零下為負）。
這樣就啟發學生用直線上的點表示數，對于“表示相反意義的方向”用箭頭“”表示正方向，從而引進“數軸”的概念。這樣做既符合學生的認識規律，給學生留下深刻持久的印象，同時也有助于激發學生的學習興趣，促使他們積極參與教學活動，有利于學生思維能力的培養和素質的提高。
二、感受數學公式、定理、法則的發現過程
數學公式、定理、法則是從現實世界的空間形式或數量關系中抽象出來的。教師在向學生講授某個定理、公式，一般不要一開始便直接把定理、公式“塞給”學生，而應盡量通過創設一定的情景引導學生對具體的事物（數學現實模型）進行觀察、測量、計算等實踐活動，來猜測定理、公式的具體內容。如“積的乘方”法則的教學可設計為：先計算(2×3)2與22×32，比較它們的結果是否相等？再計算(－2×3)2與(－2)2×32，比較它們的結果是否相等？根據上面的算式，猜想(ab)2與a2b2是否相等？并給出說明。類似地提出：計算(2×3)3與23×33，比較它們的結果是否相等？再計算(－2×3)3與(－2)3×33，比較它們的結果是否相等？然后要求學生寫出類似問題并加以計算，根據上面的算式，猜想(ab)3與a3b3是否相等？并給出說明。有了上述問題引導學生猜想(ab)n的結果（n是正整數）。這樣，通過回憶復習舊知識，了解新舊知識之間的聯系，親身體驗到知識的產生和發展過程，加深了學生對定理本質的理解，也促進了學生認知結構的優化與發展。
三、體驗數學問題解法及拓廣的探索過程
著名數學教育家玻利亞的解題表強調解題的四個步驟，其中解題方法的探索和解題后的反思這兩個步驟往往為我們的教師所忽略，很多教師缺乏解題方法的探索過程，使學生對題目的解法感到突然，覺得老師的方法妙，但就是不知道是如何想出來的？因此，教師要重視引導學生探索、發現問題及拓廣問題的方法，切忌“掐頭去尾，燒中段”的解題教學模式。同時由于很多數學問題的解法具有多樣性，因此，教師要留給學生思考的空間，鼓勵學生發表自己的看法，從多角度、多側面思考問題。
例如，在講二元一次方程組的解的時候，我是這樣引入的：現有足夠的2元和1元的錢，要將1張10元的錢換成2元和1元的零鈔，問有多少種換法？同學們一下子興奮起來，通過討論，提出了這樣的方案：設換二元的x張，換1元的y張，列方程2x+y=10，解這個方程的非負整數解有6種換法。這樣學生對二元一次方程的解有了進一步的認識，也培養了學生數學建模的思想。當我們學了“數據的收集”后，讓每個學習小組寫一份調查報告，學生興趣很濃，有的調查“班級同學每月零花錢的使用情況”，有的調查“每個家庭每月塑料袋的使用情況”，有的調查“每個同學的疊被情況”。然后專門用一課時在多媒體教室展示成果，學生熱情很高，學生再也不認為數學是高深莫測的東西了。
這樣通過將課本例題的改造，引導學生發現結論并從多個角度解決問題，又通過類比、引申、推廣提出新的問題并加以解決，既能有效地掌握數學基本知識，又能培養學生探究問題的方法和策略。
四、重視過程教學應注意的問題
教師加強過程教學時必須力求把數學知識蘊含的最重要的思想方法揭示出來，將這些深層知識由潛形態轉變為顯形態，使學生對數學思想方法的朦朧感受轉變為明晰、理解和掌握，并領悟數學思想方法的運用。
關 鍵 詞：高中數學 教學質量 有效途徑
中學數學教學，一方面要傳授數學知識，使學生具備數學基礎知識的素養；另一方面，要通過數學知識的傳授，培養學生能力，發展智力，這是數學教學中一個非常重要的方面，引起高度重視，在諸多能力中，思維能力是核心。
提高學生的數學思維能力，這是數學教育的基本目標之一。人們在學習數學和運用數學解決問題時，不斷地經歷直觀感知、觀察發現、歸納類比、空間想像、抽象概括、符號表示、運算求解、數據處理、演繹證明、反思與建構等思維過程。這些過程是數學思維能力的具體體現，有助于學生對客觀事物中蘊涵的數學模式進行思考和做出判斷。數學思維能力在形成理性思維中發揮著獨特的作用。
說到考試能力，根本點就是要把學生在能力上的這種個體差異，通過試卷中的試題組合這種間接的測量方式，以分數的量化形式體現出來。考試能力，就是要考查學生運用所學知識解決問題的能力。
那么如何通過培養學生的數學思維能力從而提高教學質量昵？
一、培養邏輯思維能力、推理論證能力
數學思維的敏捷性，主要反映了正確前提下的速度問題。因此，數學教學中，一方面可以考慮訓練學生的運算速度，另一方面要盡量使學生掌握數學概念、原理的本質，提高所掌握的數學知識的抽象程度。因為所掌握的知識越本質、抽象程度越高，其適應的范圍就越廣泛，檢索的速度也就越快。另外，運算速度不僅僅是對數學知識理解程度的差異，而且還有運算習慣以及思維概括能力的差異。
因此，數學教學中，應當時刻向學生提出速度方面的要求，另外還要使學生掌握速算的要領。例如，每次上課時都可以選擇一些數學習題，讓學生計時演算；結合教學內容教給學生一定的速算要領和方法；常用的數字，如20以內自然數的平方數、10以內自然數的立方數、特殊角的三角函數值、n、lg2、lg3的近似值都要做到“一口清”；常用的數學公式如平方和、平方差、立方和、立方差、一元二次方程的有關公式、對數和指數的有關公式、三角函數的有關公式、各種面積、體積公式、基本不等式、排列數和組合數公式、二項式定理、復數的有關公式、斜率公式、直線、二次曲線的標準方程等等，都要做到應用自如。實際上，速算要領的掌握和熟記一些數據、公式等，在思維活動中是一個概括的過程，同時也訓練了學生的數學技能，而數學技能的泛化就成為能力。
數學思維功能僵化現象在學生中是大量存在的，這與學生平時所受的思維訓練有很大關系。教師在教學過程中過分強調程式化和模式化；例題教學中給學生歸納了各種類型，并要求學生按部就班地解題，不許越雷池一步；要求學生解答大量重復性練習題，減少了學生自己思考和探索的機會，導致學生只會模仿、套用模式解題。灌輸式的教學使學生的思維缺乏應變能力。因此，為了培養學生的思維靈活性，應當增強數學教學的變化性，為學生提供思維的廣泛聯想空間，使學生在面臨問題時能夠從多種角度進行考慮，并迅速地建立起自己的思路，真正做到“舉一反三”。教學實踐表明，變式教學對于培養學生思維的靈活性有很大作用，在概念教學中，使學生用等值語言敘述概念，數學公式教學中，要求學生掌握公式的各種變形，都有利于培養思維的靈活性。
二、培養抽象概括能力和選擇判斷能力
數學教學中，應當強調數學的“過程”與“結果”的平衡，要讓學生經歷數學結論的獲得過程，而不是只注意數學活動的結果。這里，“經歷數學結論的獲得過程”的含義是什么呢？我們認為，其實質是要讓學生有機會通過自己的概括活動，去探究和發現數學的規律。
必須指出的是，抽象概括能力的培養，不論采取何種教學方法，關鍵是要有正確的教學思想，使學生真正成為學習的主體，把教學真正建立在學生自己的獨立探索、思考、理解的基礎上，真正給學生以獨立探索的機會，使他們在學習過程中有充分的自由思想空間，使學生有機會經歷數學概括的全過程。但是，在教學實踐中，要做到這些并不容易，教師對學生的學習能力往往并不完全信任，他們總怕學生出錯，總怕學生會浪費時間，總想攙扶著學生，甚至不惜去代替學生思維。而這些做法與培養學生的數學概括能力的要求是背道而馳的，也是與數學學習的本來面目不相符合的。因此，在數學教學中，我們應當從數學概括的自身特點出發，在使用抽象的數學語言和符號表述數學定義、定理或原理之前，通過可觀察的（實物、圖形、圖表等等）、描述性的、可親身體驗的形式來傳播新的思想，從而引起學生的學習興趣，促使他們自己去試驗、構造，用他們自己的語言去闡述和解釋，通過自己的獨立思維活動來學習知識。要為學生創造一種環境，使他們在其中扮演自主活動的角色，有發揮自己的聰明才智進行創造性學習的機會，能自己去尋找需要的證據，獲得能夠反映自身特點的
對數學原理的解釋，在他們自己的水平上完成對數學原理的概括過程。我們應當把數學當作一種科學探索的過程（當然，它是在教師的指導下進行的），而不要把它當成是一種語言、一種高度抽象的理論。應當努力促使學生形成自己對數學的理解，并能用自己的語言來表達這種理解，而不要只是追求所謂的精確性。因為在學生的數學學習中，精確而沒有理解，理解但不精確的現象都不少見。通過死記硬背而一字不差地重述一個定理，在任何時候都不能與理解一個定理劃上等號。
因此，在課堂教學中，只有以培養學生的數學思維能力為重點，才能實際提高數學課的教學質量。
參考文獻：
[1]鄒湘梅：《培養學生數學創新能力的探索》[J]安徽教育2003；