時間：2023-08-25 16:54:58
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一、新、老課程“勾股定理”的比較
1.課程內容的變化
新課程相對于老教材增加了“螞蟻怎樣走最近”這一節，并在教材中增加勾股定理的歷史的相關素材，書中提供了較為豐富的歷史或現實的例子來展示勾股定理的應用。
2.教學要求的變化
老教材對勾股定理的教學要求是：（1）使學生掌握勾股定理及其逆定理；（2）能夠熟練地運用勾股定理，由已知直角三角形中的兩條邊長求出第三條邊長，會用勾股定理判斷一個三角形是不是直角三角形。
新課程下的勾股定理教學要求是：（1）經歷探索勾股定理及一個三角形是直角三角形的條件的過程，發展合情推理能力，體會數形結合的思想；（2）掌握勾股定理，了解利用拼圖驗證勾股定理的方法，并能運用勾股定理解決一些實際問題；（3）掌握判斷一個三角形是直角三角形的條件，并能運用它解決一些實際問題；（4）通過實例了解勾股定理的歷史和應用，體會勾股定理的文化價值。
由上可知，新課程下的勾股定理在已知直角三角形兩邊求第三邊中，給出的兩邊數據相對于老教材簡單得多，刪去了煩瑣的計算過程，勾股定理逆定理的理論證明，利用勾股定理的逆定理解題的數據均不會過大，通過古埃及的結繩來說明，省去了煩瑣的證明過程。新課程中加強了勾股定理的實際運用，利用勾股定理及逆定理解決實際問題成了重點，例如：“螞蟻怎樣走最近”這一節突出了勾股定理及逆定理的實用性。書中提供了較為豐富的歷史或現實的例子，來展示它們的應用，體現它們的文化價值，并且在知識發生過程中，作了較高要求。
3.課程關注點的變化
老課程比較關注運用勾股定理及逆定理的相關運算，即已知直角三角形兩邊長求第三邊和判定一個三角形是否是直角三角形。新課程則強調了勾股定理在現實生活中起著重要作用，是數形結合的典范。
二、教學中應注意的問題及建議
1.重視實際情景
新課程創設實際情景，讓學生感受到現實生活中勾股定理的應用，從實際情景抽象出勾股定理。因此，建議為學生創設豐富的實際情景，使學生經歷知識發生的過程。在證明勾股定理逆定理中，可將一根繩子打上13個結，將繩子分成12等分，讓三位同學上講臺，一位同學握住第1和第13個結，一位握住第4個結，一位握第8個結，創設此情景，讓學生自己思考、分析，從而判斷此三角形為直角三角形，最后歸納出勾股定理逆定理。
2.重視數形結合
新教材里，勾股定理的探索和驗證過程中，數形結合有較多體現，滲透了代數運算與幾何圖形之間的關系。因此，建議在教學中應注意滲透這種思想，鼓勵學生從代數表示聯想到有關的幾何圖形，由幾何圖形聯想到有關的代數表示，有助于學生認識數學的內在聯系。例如：在探索勾股定理過程中，應引導學生由正方形的面積想到a2、b2、c2，而在勾股定理的驗證過程中，教師又應引導學生由數a2、b2、c2想到正方形的面積。
3.重視實際應用
對于勾股定理，新教材不僅要求能從實際情景中抽象出勾股定理，而且要能將它用于實際問題中，從而體現出數學的應用價值。因此，建議在教學中充分利用教科書中的素材讓學生體會這種應用，如古埃及人利用結繩的方法做出直角，利用勾股定理求出螞蟻的最短路線等。
4.重視學生經歷探索勾股定理的過程
新教材中安排了探索勾股定理、驗證勾股定理、探索直角三角形的條件等活動。因此，建議在教學中不要直接給出結論，要鼓勵學生，通過觀察、實踐、推理、交流等獲得結論，發展空間觀念和推理能力。例如教科書設計了在方格紙上通過計算面積的方法探索勾股定理的活動，教師應引導學生通過由特殊到一般的探索得到結論。
5.重視自主探究與合作交流
新教材自始至終為學生提供自主探索、合作交流、積極思考的空間和機會，課堂上引導學生主動參與探究或學習，激發學生學習數學的興趣，調動學生的積極思維，督促每個學生都在這個過程中積極參與，從而培養探索與創新的精神。
6.重視愛國主義的滲透
勾股定理及逆定理在2008年重點省市中考數學試卷中的考點分布情況統計表：
由上表可以看出，勾股定理是倍受命題者青睞的知識點，考查題型多種多樣，有選擇、填空和解答題，試題內容涉及面廣、命題形式靈活、多樣的特點，所占分值在5分到10分之間。
一、夯實基礎――直接利用定理進行計算與證明
綜觀近幾年的中考試題可以發現，有關勾股定理的簡單應用主要體現在求三角形的邊長、面積題,以及判斷三角形的形狀上.
點評：勾股定理是一個數形結合定理，所以在運用勾股定理時如果沒有圖形常先畫圖，以增強解題的直觀性
例2 （2008年廣東考題)已知ABC的三邊長分別為5，13，12，則ABC的面積為（）.
A.30 B.60 C.78 D.不能確定
解析：因為52+122=132，所以ABC為直角三角形，因而其面積為 ×5×12=30，故選A.
中考題型總結與預測：在2009年的中考試題中，對勾股定理的簡單計算仍將是命題的重點，試題難度不大，主要通過求三角形邊長、面積作為考查勾股定理的掌握程度.題型以選擇、填空為主，針對這些命題趨勢，同學們在復習時應夯實基礎知識，提高計算能力，注重對勾股定理的理解和運用.
二、提升能力――定理的實際應用
勾股定理在初中數學知識體系中具有重要的應用價值，在現實生產、生活和其他學科中有著廣泛的應用，在解決這些實際應用問題時，首先要將這此實際問題轉化為數學問題，然后再利用勾股定理及逆定理來解決.在應用時要明確勾股定理的適應范圍是直角三角形，如果沒有直角三角形，常通過作高來構造直角三角形，從而創造利用勾股定理的條件.
【例題精析】
例3（2008黃岡考題）如圖2是“明清影視城”的圓弧形門，黃紅同學到影視城游玩，很想知道這扇門的相關數據，于是她從景點管理人員處打聽到：這個圓弧形門所在的圓與水平地面是相切的，AB=CD=20 cm，BD=200 cm，且AB，CD與水平地面都是垂直的．根據以上數據，請你幫助黃紅同學計算出這個圓弧形門的最高點離地面的高度是多少？
解析：如圖2，連接AC，作AC的中垂線交AC于G，交BD于N，交圓的另一點為M，由垂徑定理可知：MN為圓弧形的所在的圓與地面的切點，取MN的中點O，則O為圓心，連接OA、OC，
ABBD，CDBD， AB∥CD．
AB=CD,四邊形ABCD為矩形,
AC=BD=200cm，GN=AB=CD=20 cm,
AG=GC= AC=100 cm．
設O的圓心為R,由勾股定理得OA2=OG2+AG2,即R2=（R-20）2+1002,
解得R=260 cm,
MN=2R=520 cm.所以這個圓弧形門的最高點離地面的高度是520 cm．
點評：本題解決的關鍵是利用垂徑定理構造直角三角形，進行運用勾股定理求出圓弧形門所在圓的半徑.
中考題型總結與預測：2009年的中考試題中仍將加大勾股定理的應用力度的考查，題型以填空和解答題為主，分值在5至8分之間.
三、歸納運用――定理應用中的思想方法
數學思想是解決問題的靈魂，在勾股定理的應用中常用到的數學思想方法主要有：
1.數形結合思想：抓住“數”與“形”之間的本質聯系，以“形”直觀地表達“數”，以“數”精確地研究“形”，把抽象問題轉化為直觀的形或把復雜的形轉化為具體的數，從而避開煩瑣運算，簡捷解題.
2.方程思想：是指通過列方程（組）求解的一種思想方法，是解幾何計算的重要策略.勾股定理實質是一個等式，其表達式中有三個量，當已知其中兩個量求另一個量時，往往通過設未知數，通過構建方程來解決.
3.轉化思想：轉化思想就是把所要解決的的問題轉化為另一個較易解決的問題或已經解決的問題.例如，在解有關幾何體上的路線問題時，常將其轉化為平面上的路線問題，然后借助勾股定理來解決.
4.分類討論思想：分類討論思想就是把包含多種可能情況的問題，按照某一標準分成若干類，然后對每一類分別進行進行解決，從而達到解決整個問題的目的.例如，當題中沒有具體說明已知邊是直角邊還是斜邊的情況時，常進行分類討論.
【例題精選】
例5（2008年新疆建議兵團考題）如圖3，某市區南北走向的北京路與東西走向的喀什路相交于點O處.甲沿著喀什路以4m/s的速度由西向東走，乙沿著北京路以3m/s的速度由南向北走.當乙走到O點以北50m處時，甲恰好到點O處．若兩人繼續向前行走，求兩個人相距85m時各自的位置．
解析：設經過x秒時兩人相距85m，根據題意得：（4x）2+（50+3x）2=852 ，化簡得：x2+12x-189=0，解得：x1=9，x2=-21（不符合實際情況，舍去），當x=9時，4x=36，50+3x=77，當兩人相距85m時，甲在O點以東36m處，乙在O點以北77m處．
例6（2008青海考題）如圖4，有一圓柱體，它的高為20cm，底面半徑為7cm．在圓柱的下底面A 點處有一個蜘蛛，它想吃到上底面上與 點相對的B 點處的蒼蠅，需要爬行的最短路徑是______cm（結果用帶根號和 的式子表示）．
解析：解此題的關鍵是把側面展開，利用兩點的連線中線段最短和勾股定理作答.如果說將圓柱體的側面沿AC剪開鋪平，如圖5, 則ADBC為長方形，BD=20cm，AD=7πcm，∠D=90。，有勾股定理得AB= cm.
中考題型總結與預測：在2009年的中考試題中，將加大對數學思想方法的考查，難度有所加大，值得我們關注和重視，此類題將以計算題和圖形操作題的形式出現，分值在5分左右.
四、融會貫通――勾股定理的拓展應用
勾股定理常應用于解決圖形折疊、拼接問題以及在新情境下的探索性、開放性試題，這些試題起點低，但綜合性強，能綜合考查同學們對知識的融會貫通能力，相對較難.
【例題精選】
例7（2008年臨沂考題）如圖6，以等腰三角形AOB的斜邊為直角邊向外作第2個等腰直角三角形ABA1，再以等腰直角三角形ABA1的斜邊為直角邊向外作第3個等腰直角三角形A1BB1，……，如此作下去，若OA=OB=1，則第n個等腰直角三角形的面積Sn＝________.
點評：本題涉及等腰直角三角形的性質和勾股定理的知識，解此題的思路是：通過連續地運用勾股定理計算各個等腰直角三角形的斜邊長，進而求得直角三角形的面積，然后從中發現面積規律，再歸納出第n個等到腰直角三角形的面積，較好地考查了由特殊到一般進行規律探索的能力.
關鍵詞：勾股定理；探索；應用
一、教學目標
（1）知識與技能目標：用數格子（或割、補等）的方法體驗勾股定理的探索過程，會初步運用勾股定理進行簡單的計算和實際運用。
（2）過程與方法目標：在探索勾股定理的過程中，讓學生經歷“觀察-猜想-歸納-驗證”的數學過程，并體會數形結合和從特殊到一般的數學思想方法。
（3）情感態度與價值觀目標：在探索勾股定理的過程中，體驗獲得成功的快樂；通過介紹勾股定理的由來，激勵學生發奮學習。
二、教學重點及難點
重點：經歷探索及驗證勾股定理的過程，并能用它來解決一些簡單的實際問題。
難點：用面積法探索勾股定理。
三、教學過程
（一）創設情境，提出問題
工人師傅用長為4米的直梯將一幅宣傳橫幅掛在墻上高3.4米的位置，如果梯子的底部離墻的距離是1.2米，請問工人師傅能不能完成任務？
設計意圖：這樣的設計是以實際問題為切入點引入新課，反映了數學來源于實際生活，產生于人的需要，也體現了知識的發生過程，解決問題的過程也是一個“數學化”的過程，從而引出本節課探究的主題。
（二）分類探究，發現定理
1.探究鋪墊
觀察下圖，你知道正方形C的面積是多少嗎？說說你的方法。
設計意圖：學生通過合作交流，嘗試探索方格中不同邊長的正方形的面積求法，這樣設計有利于降低新課的探究難度，為突破難點打下基礎。
2.問題探究
例1：邊數為整數的直角三角形
類型一：等腰直角三角形。
觀察下圖，你能發現各圖中三個正方形的面積之間有何關系嗎？
學生通過觀察，歸納發現：
結論1：以等腰直角三角形兩直角邊為邊長的小正方形的面積的和，等于以斜邊為邊長的正方形的面積。
類型二：一般的直角三角形
由結論1我們自然產生聯想：一般的直角三角形是否也具有該性質呢？
觀察下圖，你能發現各圖中三個正方形的面積之間有何關系嗎？
結論2：“以直角三角形兩直角邊為邊長的小正方形的面積的和，等于以斜邊為邊長的正方形的面積。
做一做：
（1）你能用直角三角形的邊長，b，c來表示上圖中正方形的面積嗎？
（2）你能發現直角三角形三邊長度之間存在什么關系嗎？
（3）分別以3cm，4cm為直角邊作出直角三角形，并測量斜邊的長度，（2）中的規律對這個三角形仍然成立嗎？
結論3：直角三角形兩直角邊的平方和，等于以斜邊的平方。
設計意圖：由直角三角形三邊長為邊的三個正方形的面積關系，發現直角三角形三邊的平方關系，初步得到勾股定理的內容.同時，引導學生具體畫出一個直角三角形，通過計算，進一步驗證勾股定理。
例2：邊數不為整數的直角三角形
運用幾何畫板進一步驗證上面的結論，改變直角三角形的三邊的長度，學生發現結論仍然成立。
設計意圖：由于邊數為整數直角三角形的三邊的平方關系，對于一般的直角三角形是否也成立？在這里，讓學生畫圖探討較為困難，因而利用幾何畫板進一步驗證前面得到的結論，在此基A上，進一步探討出本節課的重點----勾股定理。通過邊數為整數和不為整數兩方面的分類探究，充分地讓學生經歷了探索勾股定理的過程，得出的結論也更具有一般性，較好的突出了重點，突破了難點。
例3：勾股定理：
直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果用[a，b，c]分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么[a2+b2=c2]。
數學小史：勾股定理是我國最早發現的，中國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦，“勾股定理”因此而得名。（在西方文獻中又稱為畢達哥拉斯定理）
設計意圖：通過介紹勾股定理由來的歷史，激發學生熱愛祖國，激勵學生發奮學習。
（三）回歸生活，應用新知
解決情境問題。
設計意圖：讓學生解決開頭情景中的問題，前呼后應，增強學生學數學、用數學的意識，增加學以致用的樂趣和信心。
（四）知識拓展 ，鞏固深化
1.情境題：
小明媽媽買了一部29in（74cm）的電視機，小明量了電視機的屏幕后，發現屏幕只有58cm長和46cm寬，他覺得一定是售貨員搞錯了，你同意他的想法嗎？你能解釋這是為什么嗎？
設計意圖：增加學生的生活常識，也體現了數學知識源于生活，并用于生活。
2.探索題：
做一個長，寬，高分別為50厘米，40厘米，30厘米的木箱，一根長為70厘米的木棒能否放入，為什么？試用今天學過的知識說明。
設計意圖：提升難度，學生通過交流討論的方式，拓展學生的思維、發展空間想象能力。
（五）課堂小結，概括要點
教師提問：
1.這一節課我們一起學習了哪些知識和思想方法？
2.對這些內容你有什么體會？與同伴進行交流。
在學生自由發言的基礎上，師生共同總結：
1.知識：勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果用[a，b，c]分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么[a2+b2=c2]。
2.思想：分類討論、特殊―一般―特殊、形結合思想。
設計意圖：鼓勵學生積極大膽發言，可增進師生、生生之間的交流、互動，培養學生語言表達和交流的能力。
（六）布置作業，思維延伸
1.教科書習題1.1。
2.思考：是不是任意的三角形的三邊長都滿足[a2+b2=c2]？若不是，你能探究出它們滿足什么關系嗎？和同學們交流。
設計意圖：鞏固基礎知識；引發思考，強化認識勾股定理適用的條件。對于銳角三角形和鈍角三角形，引導學生利用本節課的方法得出相應的結論，將本節課的研究方法延伸到課外。
參考文獻：
[1]陳光林.《勾股定理》學習指南[J].中學生數理化（八年級數學）（北師大版），2007（Z2）.
下面就浙教版八年級上冊第二章第六節“探索勾股定理”具體分析教學設計.
一、教學目標
1． 知識目標：通過學習，讓學生掌握勾股定理，并且能夠運用勾股定理解決實際問題.
2． 能力目標：通過探索勾股定理，讓學生學會探索的基本方法，提高學生的探索能力.
3． 情感目標：通過學習，讓學生體驗成功的喜悅，激發學生的學習積極性.
教學重點：勾股定理的探索及應用.
教學難點：勾股定理的探索及驗證.
學情分析：學生經過小學到七年級的學習已經具備一定的觀察、歸納和推理能力，同時在小學里已經學習了求簡單基本圖形的面積公式，以及圖形的簡單割補，因此對圖形面積的計算具有一定的基礎，由于在探究勾股定理的正確性時，要求學生具有較高的空間圖形概念. 因此學生的現有能力與本節學習要求還有一定的差距.
二、教學過程
（一）結合生活，引入課題
利用多媒體展示生活中直角三角形的案例，如電線桿拉線、木棒斜靠在墻上、學生用的三角板等，通過圖片激發學生的學習積極性. 在觀看圖片時教師引導學生回顧已經學過的直角三角形的相關知識，然后提出問題：“直角三角形的三邊之間是否存在某種特殊的關系？”由此引入本課題，板書“探索勾股定理”.
設計意圖 對直角三角形定義以及直角三角形的基本性質，學生已經有了一定的了解，這里讓學生通過欣賞圖片，感受數學與生活的密切聯系，吸引學生的注意力，激發學生的學習積極性. 通過這個環節讓學生經歷將生活中的事物進行數學抽象的過程，提高學生的空間概念. 在本環節中，教師引導學生回顧已學過的相關知識，同時讓學生了解本節課的主題是研究直角三角形三邊之間的關系.
（二）交流合作，探究新知
1． 探索勾股定理
給每名同學發下一張白紙，以四名同學為一個小組，同學之間進行分工合作，每個學生按要求畫三角形. 要求盡量準確地在紙上作出相應的一個直角三角形，兩直角邊長分別為：
第一名同學：3厘米和4厘米； 第二名同學：6厘米和8 厘米；
第三名同學：5厘米和12厘米；第四名同學：9厘米和12厘米.
并且測量斜邊的長度，結果保留整數，并通過計算填寫表格.
觀察表中a2 ＋ b2與c2兩列的數據，你能發現直角三角形三邊長之間的關系嗎？
小組討論，并且得出結論：a2 ＋ b2 ＝ c2.
設計意圖 通過以小組為單位合作學習，有利于加強學生的合作意識，在學習中相互合作，在合作中相互學習，取長補短. 同時通過學生動手操作，探索發現直角三角形的勾股定理，有利于提高學生的動手能力和探索發現能力. 四名同學每人作一個直角三角形，有利于在較短的教學時間內作出較多的直角三角形，從而探索出勾股定理.
2． 探究勾股定理的正確性
以小組為單位，用四塊相同的直角三角板（或者四塊相同的直角三角形紙片）拼一個大的正方形，其中間空出一個小的正方形，然后通過它們面積之間的關系來驗證上面探究出的等量關系.
課堂預設 本環節對學生來說有一定的難度，為保證在規定時間內完成教學任務，教師應當及時引導學生操作.
當小組合作差不多時，在屏幕上展示拼湊方法有兩種：圖1和圖2.
分析：運用等積法，圖1中，大正方形的面積等于四個三角形的面積加上小正方形的面積，即得：c2 ＝ 4 × ■ab ＋ （b － a）2，化簡，得c2 ＝ a2 ＋ b2.
圖2中，大正方形的面積等于四個三角形的面積加上小正方形的面積，即得（a ＋ b）2 ＝ 4 × ■ab ＋ c2，化簡，得a2 ＋ b2 ＝ c2.
設計意圖 用直角三角形來驗證勾股定理，對學生來說有一定的難度. 因此這里設計小組活動，可以發揮集體智慧的作用，避免基礎較差學生因難度太大而無所事事. 同時通過本環節讓學生樹立“任何猜想需要通過驗證后才能作為正確結論”的觀念，理解勾股定理可由等積法得到驗證.
3． 揭示勾股定理
在上兩個環節的基礎上，教師給出勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.
如果直角三角形的兩條直角邊長為a，b，斜邊長為c，則a2 ＋ b2 ＝ c2.
同時介紹數學小史：勾股定理是我國最早發現的. 中國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦，“勾股定理”因此而得名. 由于三邊都為整數的最小直角三角形的三邊長為3，4，5，因此有勾三、股四、弦五之說. （勾股定理在西方稱為畢達哥拉斯定理）
設計意圖 這個環節旨在揭示本節課的主題：勾股定理，讓學生掌握. 同時通過介紹數學小史，讓學生感受中國之偉大，激發學生的愛國熱情.
（三）應用發現，鞏固所學
1． 人人都是“小老師”
例1 已知ABC中，∠C ＝ 90°，AB ＝ c， BC ＝ a， AC ＝ b，
（1）如果a = 1,b = 2，求c；（答案：■）
（2）如果a ＝ 15，c ＝ 17 求b；（答案： 8 ）
以同桌的兩名同學為小組，在學生各自完成例題解答后，小組間相互交換批改，并且討論遇到的問題. 如有學習困難的同學，小組成員負責幫助指導.
鞏固所學：比一比誰最快.
（1）直角三角形的兩直角邊為6和8，則斜邊為 .
（答案：10 ）
（2）直角三角形的兩直角邊為2和3，則斜邊為 .
（ 答案：■）
（3）直角三角形的兩條邊為3和4，則這個直角三角形的第三邊長為 . （答案：5或■）
設計意圖 通過本例，試圖讓學生掌握勾股定理，并且能夠運用勾股定理求直角三角形的邊長，為運用勾股定理解決實際問題打下良好的基礎. 這里以二人小組進行合作學習，既方便組合，提高學習效率，又有利于同學之間的相互幫助. 通過同學之間的相互探討，可以使學習困難的學生得到及時的幫助，增強他們的學習信心，提高他們的學習積極性. 通過一組練習題，進一步鞏固勾股定理和運用勾股定理進行計算，是現炒現買，尤其是已知直角三角形的兩條邊長，求第三邊長時，有兩種情況，需進行分類討論.
2． 學以致用
例2 如圖3，從電桿離地面5米處向地面拉一條7米長的鋼纜，求地面鋼纜固定點A到電桿底部B的距離．
設計意圖 學生學習知識的目的是應用，學生學習勾股定理的目的是為了應用勾股定理解決實際問題. 因此設計本例讓學生學會將學到的知識應用于實際，認識到知識來源于生活，也必將應用于生活. 同時本例也很好地呼應引入時的問題.
例3 如圖4，是一個長方形零件，根據所給尺寸（單位：毫米），求兩孔中心A，B之間的距離.
設計意圖 本例是讓學生學習如何構造出直角三角形，并且運用所學的勾股定理加以解決. 由于學生對從實際問題中抽象出數學問題的能力不是很強，教師在實際教學過程中要及時引導. 通過本例練習可以讓學生掌握解決問題的方法，提高學生分析問題、解決問題的能力.
（四）課堂小結，學生主角
1． 通過本節課你學到了哪些知識？
2． 在本節課中你有哪些認識和收獲？
設計意圖 本小節采用了學生自主小結的方法，讓學生從知識、能力和情感等多角度進行小結. 通過知識層面的小結使學生把一堂課所學的知識系統化，有利于對所學知識的鞏固和掌握. 通過認識和收獲的小結，可以使學生再次梳理自己的情感思維，有利于提高學生的學習積極性，激勵學生的的探索精神.
三、設計反思
優秀的課堂教學的標準是通過課堂教學使各類教學目標得以圓滿達成. 而要實現這個目標，一個重要環節便是教學設計，優秀的教學設計是優秀課堂教學的前提和保證. 通過本教學設計使我深深感受到要設計合作學習、自主探究的學習方式并不難，但是要設計切實可行且具有較好學習效果的教學方案，卻有較大難度.
基于這些理由，本文選取在國內被廣泛使用的人民教育出版社、華東師范大學出版社和北京師范大學出版社出版的三套《數學》教科書，從微觀層面來考察其中“勾股定理”部分的編寫. 在研究過程中，我們發現一些由于編寫者疏落或失誤造成的問題. 這些問題有可能對學生的學習及今后的發展產生一定的負面影響. 那么我們有必要指出這些錯誤，并希望編寫者在教科書修訂時做出修正和改進.
1 引言的設計
三種教科書在這一章的開始都有引言和題圖. 比如人教社版《數學》，放置了2002年國際數學家大會會場的照片，其中會徽非常醒目；照片旁邊有三段文字作為這一章的引言. 其中第一段有這么一句話：
后來人們進一步發現并證明了直角三角形三邊之間的關系：兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方. 你能發現這個關系嗎?
筆者認為這段話存在兩個問題. 第一，在引言部分就把結論明確地告訴學生，那么其后的“觀察”、“探究”和“猜想”還有什么意義?第二，把結論告訴學生后再問學生你能發現它嗎，同樣沒有任何意義. 就好象問一個已經吃好飯的人，你想吃飯嗎?
我們認為，引言可以提出一個具體的問題情境來導入本章的學習，也可以給出本章的學習目標讓學生明確這一章要學習什么. 但不可以把需要探究和猜想的結論展現在學生面前.
圖1
人教社版《數學》還有一處類似的錯誤，18.2《勾股定理的逆定理》是用古埃及人畫直角的方法來引入的，隨后配了一幅插圖(圖1). 但是令人沮喪的是，從穿著看，畫面中的人是古希臘人，而非古埃及人. 這個小錯誤對學生的數學學習也許不會產生大的影響，但是作為國家權威教科書出版單位，犯如此低級的錯誤也是不應該的.
2 定理的發現
數學教學要培養學生數學計算、數學論證乃至數學推斷等能力，勾股定理的教學正是一個恰當的例子. 不過，在實際教學中，教師雖有探究式教學的理念，但在師生行為的設計上有兩個難解的困惑：①通過度量直角三角形三條邊的長，計算它們的平方，再歸納出a2+b2=c2，由于得到的數據不總是整數，學生很難猜想出它們的平方關系，因此教師常常把勾股定理作為一個事實告訴學生；②勾股定理的證明有難度，一般來說學生很難自行探究，尋得解決的方法.[2]教師通常是依據教科書來進行教學的，那么，我們來看一下教科書是如何設計的.
華師大版《數學》第48頁安排了“試一試”：
測量你的兩塊直角三角尺的三邊的長度，并將各邊的長度填入下表：
根據已經得到的數據，請猜想三邊的長度a、b、c之間的關系.
筆者認為，這個活動設計得非常不好. 為什么?一塊任意的三角板，它的三邊長很可能并非整數. 讓學生猜想三邊長分別為3、4、5或者5、12、13的直角三角形三邊的關系，就已經不是十分容易的事(比如，學生容易得到3+5=2×4而不易得到32+42=52；也有學生由32=4+5和52=12+13猜想a2=b+c)，更何況來猜想三個非整數之間的平方關系. 教科書這樣設計和處理，容易導致學生盲目的探究和盲目的猜想，在這“盲目”上浪費了不少時間，而且沒有多大意義和價值.
3 勾股定理是“發現”而非“發明”的
華師大版《數學》第55頁安排了“閱讀材料”：《勾股定理史話》. 其中有這樣一段話(下劃線為本文作者所加)：
人們對勾股定理的認識，經歷過一個從特殊到一般的過程，其特殊情況，在世界很多地區的現存文獻中都有記載，很難區分這個定理是誰最先發明的. 國外一般認為這個定理是畢達哥拉斯(Pythagoras)學派首先發現的，因而稱為畢達哥拉斯定理.
這里有兩處錯誤. 第一，勾股定理是“發現”還是“發明”的?我們知道，發明是創造，一種從無到有的過程；而發現是一種本來就有，從不認識到認識的過程. 那么，數學定理的證明方法，可以是一種從無到有的發明過程，而定理本身本來就存在，而后被人發現的. 教科書中一段話里對定理的產生使用了發明和發現這兩個詞語，就有一定矛盾和混亂. 第二，并不是因為畢達哥拉斯或其學派首先發現定理，而是因為在數學史上有明確記載，畢達哥拉斯或其學派首先證明該定理，才被稱為畢達哥拉斯定理的. 同樣的錯誤，我們可以在人教社版《數學》上看到，第74頁有個小標簽，上面寫著：
在西方，一般認為這個定理是畢達哥拉斯發現的，所以人們稱這個定理為畢達哥拉斯定理.
相比較而言，北師大版《數學》則相對比較準確. 第8頁有一則“讀一讀”：《勾股世界》. 最后一段話：
相傳兩千多年前，希臘的畢達哥拉斯學派首先證明了勾股定理，因此在國外人們通常稱勾股定理為畢達哥拉斯定理.
4 問題情境應避免“人為”的創設
北師大版《數學》設置問題情境，用“旗桿問題”來引入新課題. 該問題是：
強大的臺風使得一根旗桿在離地面9米處折斷倒下，旗桿頂部落在離旗桿底部12米處. 旗桿折斷之前有多高?
對于這一問題，如果考慮該題的現實性和科學性，橫向的“12米”是容易測量的，那么縱向的“9米”又是如何得到的呢?如果可以通過直接測量的話，那么折斷部分的15米應該也不難測量(唯一難測量的情況就是尺子的長度大于12米而小于15米). 所以這個問題的設計并不合理. 相對而言，教科書中的“梯子問題”在合理性上難以找到瑕疵. 比如華師大版《數學》第50頁在給出勾股定理后安排了例1：
如圖(圖略)，將長為5.41米的梯子AC斜靠在墻上，BC長為2.16米，求梯子上端A到墻的底邊的垂直距離AB. (精確到0.01米)
這里，梯子的長度是容易測量的，BC的長度也是容易測量的，而垂直距離AB確實是難測量的. 因為難以測量，我們便求助于計算，求助于數學. 這樣就體現了數學是有用的.
我們再來看北師大版《數學》第9頁例1：
我方偵察員小王在距離東西公路400米處偵察，發現一輛敵方汽車在公路上疾駛. 他趕緊拿出紅外測距儀，測得汽車與他相距400米，10秒后，汽車與他相距500米，你能幫小王計算敵方汽車的速度嗎?
從情境的合理性和科學性角度考慮，這一題應該問題不大；但我們來看另外一題：
飛機在空中水平飛行，某一時刻剛好飛到一個男孩頭頂正上方4000米處，過了20秒，飛機距離這個男孩頭頂5000米. 飛機每時飛行多少千米?
這一題出現在修訂前的北師大版《數學》中，與前一題在本質上是一模一樣的. 如果考慮一下這個4000米和5000米是小男孩或旁觀者通過什么途徑測到的，就不難明白，為什么教科書修訂時把這一題改成前一題了.
我們再來看一題，北師大版《數學》第3節《螞蟻怎樣走最近》中安排了“隨堂練習”：
甲、乙兩位探險者到沙漠進行探險. 某日早晨8：00甲先出發，他以6千米/時的速度向正東行走. 1時后乙出發，他以5千米/時的速度向正北行走. 上午10：00，甲乙二人相距多遠?”
我們在一本美國的幾何教材《發現幾何》第9.3節的練習B中看到了這道題目的原型[3]：
在火星正午時間，朗達?本德博士離開美國火星研究站，以60千米/時向東行進. 1小時后I.M.布賴特教授離開同一研究站，以50千米/時向北行進，去觀察極地冰帽. 火星時間下午3時，博士與教授相距多遠?答案精確到千米.
從這兩個問題的表述上看，《發現幾何》比北師大版《數學》更具想象和充滿冒險. 北師大版《數學》只把學生帶進沙漠，而《發現幾何》卻把學生帶到了火星. 北師大版《數學》是讓學生解決數學問題，或者說是“做數學”；而《發現幾何》不僅是“做數學”，更是“玩數學”，讓學生在一種輕松愉快的情境中解決數學問題，而這個過程是充滿樂趣的.
筆者這里舉了幾個例子，是想說明教科書編寫者在設計習題時采用不同的觀念，有的是為數學而問題，有的是為學生而問題，或者為生活而問題. 不同的觀念導致習題是“人為”還是“為人(學生)”的區別. 比如，“人為”的問題，為數學而問題，問題都是圍繞數學而編寫、杜撰的(前文那個“旗桿問題”就是為數學而數學). 從數學角度講，它也許是嚴謹的，完美的，但它也許遠離了學生的現實生活，也遠離了學生的想象世界. 事實上，教科書在編寫時，應該從學生出發，考慮問題情境的科學性和合理性，避免出現“人為”的題目.
5 趙爽的證明方法
趙爽如何利用弦圖證明勾股定理，在數學史研究中是有爭議的. 錢寶琮先生認為他采用代數方法，利用面積計算；而吳文俊、李文林先生則認為他采用幾何方法，利用出入相補原理. 事實上，代數觀點比較容易解釋趙爽的文字，但這種思維方式不太符合趙爽時代的人們的數學思維習慣.
我們看到，對這樣未形成定論的內容，教科書在處理時卻顯得有些草率.
人教社版《數學》在73頁，明確給出了趙爽利用弦圖證明勾股定理的基本思路，這是一種幾何方法，用出入相補原理來證明的.
華師大版《數學》在52頁安排了“讀一讀”，介紹了弦圖和趙爽；之前“試一試”使用拼圖和計算面積驗證(或者證明)了勾股定理. 課文中沒有明確給出趙爽的證明方法，但聯系上下文，容易讓學生認為趙爽是使用代數方法證明勾股定理.
北師大版《數學》第8頁和第9頁介紹了證明方法，將大正方形分割成四個直角三角形和一個正方形，然后通過計算面積驗證勾股定理. 雖然沒有明確指出趙爽的方法，但顯然編者認為他是采用代數方法. 其后12頁介紹了劉徽用出入相補原理證明勾股定理，但沒有從幾何方法介紹趙爽的弦圖.
我們認為，對于未有定論的內容，教科書就不應該草率地把某種觀點強加給學生，不可以對學生說，趙爽就是用這種代數方法證明勾股定理的，或者說趙爽就是用這種出入相補原理證明的. 數學教科書在涉及數學史時要特別注意一個問題，即在向學生展示史實，展示重要事件、重要人物與重要成果時，要尊重歷史. 尊重歷史就是要展現歷史的本來面目，不能歪曲歷史而誤導學生，對有爭議的以及沒有最終定論的題材應給學生必要的說明. [4]所以，比較合理的做法是，教科書先重點介紹其中一種證法，隨后簡單介紹另一種，同時聲明本書傾向于前一種觀點；而學生可以接受前一種，也可以是后一種觀點. 不過，不管是哪一種，學生都應該經過自己的思考，要有接受這一觀點的理由.
參考文獻
[1] 鮑建生，王潔，顧泠沅.聚焦課堂――課堂教學視頻案例的研究與制作[M].上海：上海教育出版社，2005.180.
[2] 顧泠沅.教學改革的行動與詮釋[M].北京：人民教育出版社，2003.444.
教學目標：
1.經歷勾股定理的探究過程，感受數學問題由“觀察――猜想――驗證――論證”的科學研究方法，體會數學問題中由特殊到一般的數學思想。
2.能用勾股定理解決一些簡單問題。
教學重點：探究勾股定理探索并證明勾股定理。
教學難點：勾股定理的探究和證明。
教學過程：
老師導入語：同學們，我們今天來玩游戲吧！我設置了一個闖關游戲，分為五關，每關都設有相應的分值，小組比賽制，最后看總分，分高組有獎哦！請看第一關：眼力大比拼。
設計意圖：重視引言教學，以游戲名義開始教學，吸引學生的興趣。
第一關：眼力大比拼――【導入】
問1：這是我家的地板，請觀察上圖中三個正方形的面積之間有什么關系？
問2：等腰直角三角形的三邊之間又有什么關系？
結論：等腰直角三角形兩直角邊的平方和_____斜邊的平方。
設計意圖：通過生活常見的地板，引出特殊的直角三角形的三邊關系，體會數學問題來源于生活，而且處處都可以發現問題。
老師：第一關你們闖關成功。通過第一關我們知道等腰直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，那你們接下來會有什么猜想呢？
第二關：大膽猜想
老師：你們會有什么猜想呢？
學生猜想：一般的直角三角形兩直角邊的平方和是否等于斜邊的平方？
猜想：一般的直角三角形兩直角邊的平方和是否等于斜邊的平方？
設計意圖：通過引導，大膽猜想，體會由特殊到一般的數學思想。
第三關：驗證猜想
【探究一】
請測量下列直角三角形的三邊長，并分別計算出兩直角邊的平方和與斜邊的平方。
老師：為節約時間，我指定第1，2小組測量圖（1）；第3，4組測量圖（2）；第5，6組測量圖（3）；測完后各小組派個代表報數，并說明實驗數據能不能證猜想。
設計意圖：通過實驗操作，來驗證猜想；通過參與驗證的過程，增強學生學習數學的自信心。
老師：我現在用幾何畫板向大家展示，任意畫一個直角三角形，并把兩直角邊及斜邊長度量出來了，算出它們的平方，你們注意觀察數據的變化，看是否是一直滿足兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。
老師：通過幾何畫板可以畫出無數個的直角三角形，這些三角形是否驗證了我們的猜想關系式？
設計意圖：體會數學是一門嚴謹的學科，實驗只能驗證猜想，還需要理論論證。
第四關：論證猜想
拼圖游戲：用相同的直角三角形拼一個特殊的圖形。
游戲規則：（1）以4個全等的任意直角三角形的邊為界，拼成一個是正方形的圖形。（2）游戲在3分鐘之內完成。
老師：小組進行比拼，看哪組拼的方法多且快。拼完的小組舉手。學生基本上會拼出兩種圖形：
老師：我們拼圖的目是想通過拼圖來論證我們的猜想，下面各組討論，我把那全等的直角三角形的兩直角邊令為a、b，斜邊令為c，怎么通過我們的拼圖來論猜想。（小組討論3分鐘后，請小組講解）
小組通過面積關系，可以推出直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。
設計意圖：展示小組合作能力；發展學生的形象思維；體會數形結合思想；提高分析問題能力和解決問題能力；通過證明的過程，增強學生學習數學的自信心。
【勾股定理】
勾股定理：直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。
（數學符號語言表達）：
在RtABC中，∠C=90°
_____
學習勾股定理后，用語音播放勾股定理的發展歷史，及我國古代的前輩們早在公元前1000多年前就發現了勾股定理。
設計意圖：了解我國古代數學家對勾股定理的發現及證明做出的貢獻，增強民族自豪感。
思考：（公式變形）
在直角三角形中，兩直角邊分別為a和b，斜邊為c：
（1）若已知a，b，則c2=_____，即c=_____。
（2）若已知c，b，則a2=_____，即a=_____。
（3）若已知c，a，則b2=_____，即b=_____。
設計意圖：學生要掌握勾股定理的變形，體會勾股定理可以用來求直角三角形的邊長。
第五關：知識應用大比拼
1.已知直角三角形的兩條直角邊分別為a和b，斜邊為c。
（1）若a=6，b=8，則c=_____。
（2）若c=3，b=2，則a=_____。
（3）若c=4，a=3，則b=_____。
2.已知一個直角三角形的兩邊長分別為3和4，則第三邊長是（ ）。
A.5 B.7 C.[7] D.5或[7]
3.判斷對錯：若a、b、c為RtABC的三邊，則a2+b2=c2。（ ）
設計意圖：考察學生能否掌握勾股定理的表達式，體驗強調直角的重要性；以及分類討論的數學思想。
4.如圖，受臺風彩虹的影響，一棵大樹在離地面9米處斷裂，樹的頂部落在離樹根底部12米處。求這棵樹原來有多高？
設計意圖：通過學生親身經歷的生活背景，來考察勾股定理在實際生活中的應用。
小結：教師和學生一起回顧本節課所學內容，總結這節課體會的從特殊到一般及數形結合的數學思想；在研究問題的過程是：觀察，猜想，驗證，論證。
設計意圖：感悟數學思想，引發學生更深層次的思考，促進學生數學思維品質的提高。
一、方程思想
方程思想是從分析問題的數量關系入手，適當設定未知數，運用定義、公式、性質、定理和已知條件、隱含條件，把所研究的數學問題中已知量和未知量之間的數量關系，轉化為方程或方程組等數學模型，從而使問題得到解決的思想方法.在勾股定理教學中，教師要注重培養學生方程思想，讓學生學會設直角三角形的一邊為x，再用x的代數式表示其他邊，然后根據“勾2+股2=弦2”列出方程，最后解決問題.
【例1】 如圖1，ABC是直角三角形，DE是AB的垂直平分線，若AC=4cm，BC=3cm，求CE的長.
解：設CE=xcm，AC=4cm，
AE=AC-CE=（4-x）cm，
通過以上設計的例題教學，一方面增強了學生探究的興趣，另一方面也訓練了學生如何將實際問題轉化為數學問題，即建模的能力.如此設計例題教學符合建構主義學習觀，符合高中階段學生的思維特征，能促進學生創造性思維能力的培養，讓例題教學的質量更高.
四、化歸思想
化歸思想是指在研究和解決有關數學問題時，采用某種手段將問題通過變換使之轉化，進而達到解決問題的一種方法.教育家波利亞曾經說過：“解數學題轉化是關鍵，就是把那些陌生的、較為困難或復雜抽象的數學問題，通過某種轉化方式轉化為某些熟悉的、已經解決的或容易解決的數學問題.”因此，教師在教學過程中要注意滲透轉化思想，從而提高學生應用勾股定理解決實際問題的能力.
【例4】 如圖4，一塊長、寬、高分別是6cm、4cm、3cm的長方體木塊，一只螞蟻要從長方體的一個頂點A處，沿著長方體的表面到長方體上和A相對的頂點B處吃食物，那么它需要爬行的最短路線的長是（ ）.
連接EF，在RtEBF中，根據勾股定理得
BE2+BF2=EF2.
∠DCE=45°，
∠2+∠4=∠4+∠3=45°，即∠DCE=∠ECF，
CDE≌CFE，
DE=EF，
關鍵詞教育改革；新課程；應用
新課程標準下的初中數學教材各章中都介紹了相關的數學史，隨著數學教學改革的逐步推進，數學史漸漸受到教師的重視，在數學教學中應用數學史的重要作用逐漸凸顯出來．在數學教學中，適當的引入數學史能讓學生了解數學在實際生活中的應用，感受數學的美，并且能夠對學生進行愛國主義教育，增強他們的民族自豪感。因此，引入了教學中引入數學史會極大的激發學生學習數學的興趣，對于數學教學大有裨益。下面結合實際教學中數學史的一些應用案例，談一談我對于這個問題的一點看法。
一、依據教材特點，讓數學是自然融入課堂教學
園是一個歷史悠久的課題，生活中到處都能見到他的身影，對于圓的認識，人類從6000多年前就開始了，講課中適當的引入有關史料，作為教材知識的補充和延伸。在講解圓的定義和性質是，我向學生介紹，2000多年前我國的墨子就給出了圓的概念“圓，一中同長也。”即：圓周上的各點到圓心的距離相等。這個概念不僅和歐幾里得所給的概念相似，并且比之早了100多年。又如圓的另一些知識，我都用了比較簡潔的幾句話想學生介紹了關與它們的數學史。隨著這一章教材的不斷展開，同學們對我國古代在相關領域的發展概貌有個初步的了解，明白我國古代就對這些內容有了比較全面、系統的認識。特別是早在戰國時期就有了論證幾何學的萌芽，幾乎與古希臘的幾何學同時產生。這樣，讓數學史自然而然的融入課堂教學，提高了學生的積極性，達到了良好的教學效果。
二、結合教材內容，選擇前擋的數學史料使之貼近教學內容
勾股定理是幾何學中的明珠，它充滿魅力，千百年來，人們對它競相證明，這也許是因為它既重要又簡單，更容易吸引人。關于勾股定理的知識在《周髀算經》、《九章算術》、《幾何原本》等書中都有記載，其中《周髀算經》中記錄了商高曾說過：“數的產生來源于對方和圓這些形體的認識。其中有一條原理：當直角三角形‘矩’得到的一條直角邊‘勾’等于3，另一條直角邊‘股’等于4的時候，那么它的斜邊‘弦’就必定是5。”從上面所引的這段對話中，我們可以清楚地看到，我國古代的人民早在幾千年以前就已經發現并應用勾股定理這一重要懂得數學原理了。講授勾股定理這一知識時，我把這段話向學生做了介紹，并與教材中的“畢達哥拉斯定理的傳說”作了對比，讓學生了解到我國對于勾股定理的認識比西方早了五百多年，調動了學生學習的積極性和增強了他們的民族自豪感。在對勾股定理進行證明時，采用了三國時期的趙爽利用他所創制的“勾股圓方圖”證明勾股定理的方法。這一恰當的數學史料不僅使得教學過程簡潔明了，而且對學生進行了愛國主義教育，可謂選材精巧，打到了一箭雙雕的效果。
三、讓數學史在課堂教學中多樣化的呈現，提高教學效果
初中學生的邏輯思維能力還不是太強，因此需要通過直觀、操作等手段幫助學生理解抽象的幾何關系與演繹邏輯．而借助中國結、紙風車等為載體抽象出來的幾何圖形，通過拼圖能直觀地驗證勾股定理，這對于數學學習基礎尤其是抽象思維能力較弱的學生而言是極為重要的，降低了思維難度，但同時又提高了學生的參與度、興趣與信心．其次，密切數學與生活的關聯．在很長一段時間里，學生學校的數學學習與其生活是相互割裂的．這樣的學習也造成了很大的教育問題，即學生的數學學習未能被正當地賦值，甚至有人還提出數學無用論．因此，在教學中需要借助學生生活中常見的素材，并由此學習這些素材中蘊含的數學元素與數學關系，這也即是“數學生活化”的教學設計邏輯．這即是指，教師首先確立的是“勾股定理”這一數學維度上的學習目標，然后尋找到如中國結、紙風車等生活中常見的素材，并使之融入到教學之中，以實現“數學生活化”．再次，為了學生文化浸潤式的學習．除了密切學生的現實生活與數學之間的關聯之外，還要讓學生體會到數學的文化厚重感．即借助富有中國傳統特色的中國結、流傳歷史悠久的紙風車來學習數學，能讓學生產生歷史厚重感．
二是在學生已經學習了勾股定理之后，向學生展現中國結和紙風車圖片，要求學生抽象出其中的數學元素，并由此探索這些數學元素之間的數學關系．與前一種將文化素材作為驗證勾股定理的載體不同，這里將其后置到定理學習之后作為拓展性的問題讓學生探索．這種用法的價值除了具有前述“密切數學與生活之間的關系”、“為了學生文化浸潤式的學習”等兩個方面之外，還有以下意義．首先，為了知識的鞏固與活化．學生在學習了勾股定理之后，除了常規的練習之外，事實上更重要的是要將知識遷移到類似的但又不那么封閉與明確的情境之中．后者不僅在于鞏固知識，同時也使知識得到活化．因為，無論是中國結還是紙風車，都需要學生作一定程度的數學化，并將不熟悉的問題化歸為剛剛學習的勾股定理相關的問題，顯然這就不僅僅是知識的鞏固了．其次，從教育目標的角度來看，這種做法還期待培養學生“生活數學化”的能力．關于數學價值，不同的人也許有著不同的理解．但顯見的是，在數學上研究越深入的人越能認識到數學的內在價值．造成這種現象的一個重要原因在于，數學的價值有時是非常內隱的，甚至很難為人所感知的．如果在教學中不去挖掘數學的內在價值，有時就會產生誤導，甚至會認為數學只是用于計算．也正因如此，我們強調這些文化素材在數學教學中加以應用，就是希望所培養的學生能逐漸擁有用數學思考問題的意識和習慣，擁有用數學更好地組織生活的能力．
就本案例而言，中國結與紙風車都是我們文化生活中所常見的，但我們更習慣于用工藝品(或藝術品)的角度來理解，而很少會從數學的角度研究這類物品．但事實是，當我們用數學的角度來理解生活中的這些事和物的時候，往往能帶來驚喜:原來我們身邊處處有數學．再次，有助于培養學生的數學學習習慣．過去我們所理解的數學學習習慣往往指的是學生伏在案頭學習數學的習慣．我們認為，數學學習習慣除了上述方面外，一個更高的層次是學生隨時而自然地會想著用數學的角度思考問題．后者當然是理想的狀態，但教學中的有意識培養也能幫助學生朝著這個方向前進．其中一個重要的培養策略就是讓學生嘗試探索也許表面上與數學風馬牛不相及的素材中的數學元素，除了中國結、紙風車，還有包括建筑物等素材．需要進一步說明的是，與前一種用法相比，這種用法對學生的數學要求也更高，當然所培養的探索能力也會更強一些．