時間：2022-04-13 04:41:03
導語：在數學理論論文的撰寫旅程中，學習并吸收他人佳作的精髓是一條寶貴的路徑，好期刊匯集了九篇優秀范文，愿這些內容能夠啟發您的創作靈感，引領您探索更多的創作可能。
摘 要：數學源于生活又服務生活，數學貫穿于我們生活的方方面面。華羅庚說過：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，日用之繁，無處不用數學。所以，提高數學老師的素養至關重要。
關鍵詞：數學教師 數學素養
數學素養是指在個人的先天素質的基礎上，受后天教育與環境的影響，通過個體自身的學習、認識和實踐活動等所獲得的數學知識、數學能力和數學思想觀念等的一種綜合修養。我們也稱之為數學品質。數學素養當然也包括與數學有關的人文修養。
一、加強數學教師數學素養培養的重要性和必要性
目前教師的數學素養欠缺，到底欠缺在哪里？我認為，主要還是欠缺在數學本身，即數學的現代修養上。我國著名數學家陳景潤之所以能取得舉世矚目研究成果，至今仍沒有人超過他，用國外數學家和同行的話來說，“他是移動了群山才達到這一研究水平的”。這個群山就是現代數學的眾多基礎知識和思想觀念。當然，對絕大多數數學教師來說不可能也不必要具有專職數學家那樣的數學水平和研究能力。但是從《課標》中所列出的那些數學內容與模塊看來，尤其是要開設的那些選修課，有許多都涉及到了近現代的數學分支，如果教師本身不具備這些必要的功底，如何能適應新的教學任務？數學的知識、能力和品質，知識是基礎，沒有知識，能力何在？更何談創新與發明？
二、數學教師數學素養的構成
數學素養主要包括數學的認識、數學思想方法的理解與掌握、數學的意識、數學語言的運用等四個要素。
（一）數學的認識
完整準確地認識數學的本質，對數學教師來說具有十分重要的作用。事實上，如果一名教師注重數學的學科結構，他就會自覺地把數學視為模式的科學；如果一名教師注重過程，他就會認為數學是直覺和邏輯的產物；如果一名教師注重社會價值，他又會把數學理解為是一種工具等等。新課程標準更加關注人的發展，更加注重對學生創新意識和創新能力的培養，因此，數學教師對數學的認識要注重由絕對主義的靜態觀向可誤主義的動態觀轉變，這是新形勢下數學教師建構專業理念的一個基本條件。
（二）數學的意識
數學意識指的是人們通過數學的學習與訓練形成的運用數學思維方式的習慣，一般說來，主要包括推理意識、抽象意識、整體意識與化歸意識。推理意識就是養成數學推理的習慣，既包括在數學理論思考中由一個或一些判斷導致另一判斷，也包括由經驗事實引出的數學概念與數學判斷。抽象意識指的是在數學問題的分析和解決過程中，把適當的問題化為數學問題，進行抽象概括。整體意識是指全面地、從全局上考慮問題的習慣。化歸意識則指的是在解決數學問題的過程中，用聯系的、發展的、運動變化的眼光觀察問題，認識問題，有意識的對數學問題進行轉化，變為易解或已解的問題。數學的意識，還集中表現在用數學去描述、理解和解決現實問題，借助于數學方法使問題獲得解決。
（三）數學語言的運用
數學語言，又叫符號語言，它是一種改進了的自然語言，通過使用字詞、符號、圖形體現數學思想，反映數學本質，具有精煉、準確、清晰等特點。將文字語言、符號語言、圖像語言互相轉換是數學語言表述的最基本的要求。
數學語言是教師在數學教學過程中充分發揮個人的創造性，正確處理教學中各種矛盾，正確有效地把數學知識傳遞給學生，最大限度地調動學生學習主動性的一種具有審美體驗的語言技能活動。是師生互動的媒介，是師生交流思想的工具，是思維的外在表現形式，是教師使用最廣泛、最基本、最有效的知識信息載體。沒有準確、規范、簡約的數學語言作為媒介，很難想象一節數學課是優質的，或是成功的。因此，熟練掌握和運用數學語言也是我們數學教師做好未來數學教學工作的基礎。
除了上述所列三類數學素養，還有諸如對數學史的明了、數學美的悟性、數學論文寫作、數學信息檢索等方面的能力素養也是數學教師數學素養的重要組織部分。
三、數學教師數學素養的培養
培養和提高數學教師的數學素養，重在抓內因，沒有個人認識上的到位，外因起不了多大作用。為此，筆者建議做好以下幾點：
（一）提高數學教師對數學素養重要性的認識
當今教師的專業化發展對教師的從教素質提出了越來越高的要求，無論在教學技能、還是在專業知識上。《數學課程標準》在課程目標中明確指出：“強調學生的數學活動，發展學生的數感、符號感、空間觀念、統計觀念，以及應用意識與推理等基本能力”。“從數學的角度提出問題、理解問題，并能綜合所學的知識和技能解決問題，發展應用意識”。這些雖是對學生數學能力的培養目標，同時也是對數學教師數學能力的要求。作為數學教師應當具有比學生數學能力培養目標更高的能力水平。
（二）要積極倡導數學課外閱讀
數學教師具有了較豐富的數學專業知識，對一般的數學課外讀物都能嘗試加以閱讀。諸如，張景中院士的《新概念幾何》、《數學家的眼光》，李毓佩教授著《奇妙的數王國》，談祥伯教授等的《數學與文史》、《數學與建筑》、《數學與金融》等。在數學教師中廣泛倡導閱讀這些數學科普讀物，不但可以提高數學學習的興趣以及閱讀理解能力，而且可以讓學生加深對數學本質的認識，進一步明了數學的曲折發展歷程，從中感悟數學的無窮魅力。
（三）要強化數學教師的解題訓練
論文摘要：經濟數學模型是研究經濟學的重要工具，在經濟應用中占有重要的地位。文章從經濟數學模型的內涵、構建經濟數學模型的方法、遵循的基本原則以及所要注意的問題進行了簡要分析和論述。
數學與經濟學息息相關，可以說每一項經濟學的研究、決策，都離不開數學的應用。特別是自從諾貝爾經濟學獎創設以來，利用數學工具來分析經濟問題得到的理論成果層出不窮，經濟學中使用數學方法的趨勢越來越明顯。當代西方經濟學認為，經濟學的基本方法是分析經濟變量之間的函數關系，建立經濟模型，從中引申出經濟原則和理論，進行預測、決策和監控。在經濟領域，數學的運用首要的問題是實用性和實踐性問題，即能否用所建立的模型去概括某一經濟現象或說明某一經濟問題。因而，數學模型分析已成為現代經濟學研究的基本趨向，經濟數學模型在研究許多特定的經濟問題時具有重要的不可替代的作用，在經濟學日益計量化、定量分析的今天，數學模型方法顯得愈來愈重要。
一、經濟數學模型的基本內涵
數學模型是數學思想精華的具體體現，是對客觀實際對象的數學表述，它是在一定的合理假設前提下，對實際問題進行抽象和簡化，基于數學理論和方法，用數學符號、數學命題、圖形、圖表等來刻畫客觀事物的本質屬性及其內在聯系。當數學模型與經濟問題有機地結合在一起時，經濟數學模型也就產生了。所謂經濟數學模型，就是把實際經濟現象內部各因素之間的關系以及人們的實踐經驗，歸結成一套反映數量關系的數學公式和一系列的具體算法，用來描述經濟對象的運行規律。所以，經濟數學模型是對客觀經濟數量關系的簡化反映，是經濟現象和經濟過程中客觀存在的量的依從關系的數學描述，是經濟分析中科學抽象和高度綜合的一種重要形式。
經濟數學模型是研究分析經濟數量關系的重要工具，它是經濟理論和經濟現實的中間環節。它在經濟理論的指導下對經濟現實進行簡化，但在主要的本質方面又近似地反映了經濟現實，所以是經濟現實的抽象。經濟數學模型能起明確思路、加工信息、驗證理論、計算求解、分析和解決經濟問題的作用，特別是對量大面廣、相互聯系、錯綜復雜的數量關系進行分析研究，更離不開經濟數學模型的幫助。運用經濟數學建模來分析經濟問題，預測經濟走向，提出經濟對策已是大勢所趨。
在經濟數學模型中，用到的數學非常廣泛，有些還相當精深。其中包括線性規劃、幾何規劃、非線性規劃、不動點定理、變分發、控制理論、動態規劃、凸集理論、概率論、數理統計、隨機過程、矩陣論、微分方程、對策論、多值函數、機智測度等等，它們應用于經濟學的許多部門，特別是數理經濟學和計量經濟學。
二、建立經濟數學模型的基本步驟
1.模型準備。首先要深入了解實際經濟問題以及與問題有關的背景知識，對現實經濟現象及原始背景進行細致觀察和周密調查，以獲取大量的數據資料，并對數據進行加工分析、分組整理。
2.模型假設。通過假設把實際經濟問題簡化，明確模型中諸多的影響因素，并從中抽象最本質的東西。即抓住主要因素，忽略次要因素，從而得到原始問題的一個簡化了的理想化的自然模型。
3.模型建立。在假設的基礎上，根據已經掌握的經濟信息，利用適當的數學工具來刻畫變量之間的數學關系，把理想化的自然模型表述成為一個數學研究的題材——經濟數學模型。
4.模型求解。使用已知的數學知識和觀測數據，利用相關數學原理和方法，求出所建模型中各參數的估計值。
5.模型分析。求出模型的解后，對解的意義進行分析、討論，即這個解說明了什么問題？是否達到了建模的目的？根據實際經濟問題的原始背景，用理想化的自然模型的術語對所得到的解進行解釋和說明。
6.模型檢驗。把模型的分析結果與經濟問題的實際情況進行比較，以考察模型是否符合問題實際，以此來驗證模型的準確性、合理性和實用性。如果模型與問題實際偏差較大，則須調整修改。
三、建立經濟數學模型應遵從的主要原則
1.假設原則。假設是某一理論所適用的條件，任何理論都是有條件的、相對的。經濟問題向來錯綜復雜，假設正是從復雜多變因素中尋求主要因素，把次要因素排除在外，提出接近實際情況的假設，從假設中推出初步結論，然后再逐步放寬假設條件，逐步加進復雜因素，使高度簡化的模型更接近經濟運行實際。作假設時，可以從以下幾方面來考慮：關于是否包含某些因素的假設；關于條件相對強弱及各因素影響相對大小的假設；關于變量間關系的假設；關于模型適用范圍的假設等等。
2.最優原則。最優原則可以從兩方面來考慮：其一是各經濟變量和體系上達到一種相對平衡，使之運行的效率最佳；其次是無約束條件極值存在而達到效率的最優、資源配置的最佳、消費效用或利潤的最大化。由于經濟運行機制是為了實現上述目標的最優可能性，我們在建立經濟數學模型時必須緊緊圍繞這一目標函數進行。
3.均衡原則。即經濟體系中變動的各種力量處于相對穩定，基本上趨于某一種平衡狀態。在數學中所表述的觀點是幾個函數關系共同確定的變量值，它不單純是一個函數的變動去向，而是整個模型所共有的特殊結合點，在該點上整個體系變動是一致的，即達到一種經濟聯系的平衡。如需求函數和供給函數形成的均衡價格和數量，使市場處于一種相對平衡狀態，從而達到市場配置的最優。
4.數、形、式結合原則。數表示量的大小，形表示量的集合，式反映了經濟變量的聯系及規律，三者之間形成了邏輯的統一。數學中圖形是點的軌跡，點是函數的特殊值，因而也是函數和曲線的統一。可以認為經濟問題是復雜經濟現象中的一個點，函數則是經濟變量之間的相互依存、相互作用關系，圖形就是經濟運行的規律和機制。所以，數、形、式是建模的主要工具和手段，是解決客觀經濟問題的三個要素。
5.抽象與概括的原則。抽象是思維的延伸，概括是思維的總結，抽象原則揭示了善于從紛繁復雜的經濟現象延伸到經濟本質，挖掘其本質的反映，概括是經濟問題的縱橫比較與分析，以便把握其本質屬性，揭示其規律。
四、構建和運用經濟數學模型應注意的問題
經濟數學模型是對客觀經濟現象的把握，是相對的、有條件的。經濟研究中應用數學方法時，必須以客觀經濟活動的實際為基礎，以最初的基本假設為條件，一旦突破了最初的基本假設，就需要研究探索使用新的數學方法；一旦脫離客觀經濟實際，數學的應用就失去了意義。因此，在構建和運用經濟數學模型時須注意到：
1.首先對所研究的經濟問題要有明確的了解，細致周密的調查。分析經濟問題運行的規律，獲取相關的信息和數據，明確各經濟變量之間的數量關系。如果條件不太明確，則要通過假設來逐漸明確，從而簡化問題。
2.明確建模的目的。出于不同的目的，所建模型可能會有很大的差異。建模目的可能是為了描述或解釋某一經濟現象；可能是預報某一經濟事件是否發生，或者發展趨勢如何；還可能是為了優化管理、決策或控制等。總之，建立經濟數學模型是為了解決實際經濟問題，所以建模過程中不僅要建立經濟變量之間的數學關系表達式，還必須清楚這些表達式在整個模型中的地位和作用。
3.在經濟實際中只能對可量化的經濟問題進行數學分析和構建數學模型，對不可量化的事物只能建造模型概念，而模型概念是不能進行數量分析的。盡管經濟模型是反映事物的數量關系的，但必須從定性開始，離開具體理論所界定的概念，就無從對事物的數量進行分析和討論。
4.不同數學模型的求解一般涉及不同的數學分支的專門知識，所以建模時應盡可能利用自己熟悉的數學分支知識。同時，也應征對問題學習了解一些新的知識，特別是計算機科學的發展為建模提供了強有力的輔助工具，熟練掌握一些數學或經濟軟件如Matlab、Mathematic、Lindo也是必不可少的。
5.根據調查或搜集的數據建立的模型，只能算作一個“經驗公式”，只能對經濟現象做出粗略大致的描述，據此公式計算出來的數據只能是個估計值。同時，模型相對于客觀實際不可避免的產生一定誤差，一方面要根據模型的目的確定誤差允許的范圍；另一方面，要分析誤差來源，若誤差過大，須尋找補救方案。
6.用所建經濟數學模型去說明或解釋處于動態中的經濟現象時，必須注意時空條件的變化，必須考慮不可量化因素的影響作用以及在一定條件下次要因素轉變為主要因素的可能性。
參考文獻:
1.姜啟源.數學模型[M].高等教育出版社,1993
2.張麗娟.高等數學在經濟分析中的應用[J].集團經濟研究,2007（2）
文化結構由物質文化和精神文化組成。由于一定的社會制度是一定的物質基礎上產生的，要受到一定的精神文化制約，因而可將文化結構分成三個層面：“這就是物質文化，制度文化和精神文化”①。數學在建立發展過程中，受到了物質文化、制度文化、精神文化的影響及制約。
東方中國的古代文化的經濟基礎基本上是農業經濟。這種情況決定古代中國的物質文化是農業文化。中國古代數學也與農業經濟有著密切的關系。《九章算術》是中國最古老的經典著作，書有九章，包含246個問題。都和農業生產有關，九章分別是方田（土地測量）、粟米（百分法和比例）、衰分（比例分配）、少廣（減少寬度）、商功（工程審議）、均輸（征稅）、盈不足（過剩與不足）、方程（列表計算的方法）、勾股（直角三角形）。這些問題都是用來解決農田的測量、粟米的稱量，農業水利工程的測算等。《五曹算經》是一部為地方行政人員所寫的應用算術，全書五卷，有田曹、兵曹、集曹、倉曹、金曹五個部分。田曹卷的主題是田地面積的量法；兵曹算術大都是軍隊的給養問題；集曹問題和《九章算術》粟米章問題相仿；倉曹解決糧食的征收、運輸和儲藏問題；金曹問題以絲絹、錢幣等物資為對象，是簡單的比例問題。我國古代大數學家劉徽到祖沖之、祖沖之研究圓周率和圓面積的輝煌成就中，都深深地打著農業經濟的印記。農業的交通工具主要是車，車輪是否圓，不僅和車輛行駛中的平穩狀況有關，而且還和省力有關，因而農業經濟的需要使得我國圓周率的研究在世界數學中占有相當的地位。過去，農業的顯著特點是靠天吃飯，天文、節氣的測算是農業生產的需要，在中國，古代天文測算的成果是相當輝煌的，“東漢末年天文學家劉洪造乾象歷法（公元206年），創立了推算定朔、定望時刻的公式”。“隋朝天文學家劉焯在他的杰作《皇極歷》（公元600年）中創立了一個推算日、月、五星行度的比以前更加精密的公式”②。天文學的發展推動了數學的發展。解一次同余式就是由天文測算開始的。天文數學的發展除了物質文化的需要，還受到制度文化的要求，中國數學的重要性在于它與歷法有關，“在《疇人傳》中很難找到一個數學家不受詔參與或幫助他那個時代的歷法革新工作。”③除了中國，古代埃及數學的建立基礎也是農業的需要。埃及幾何學的起源被史學家們歸因于泥羅河泛濫后土地的重新測量；巴比倫的數學起源也是如此，尤其是巴比倫數學的60進位制來自于天文學；印度數學和占星術有關，而占星術又和農業及宗教有關。
東方數學的建立比西方要早，但東方的數學在理論化的道路上行動遲緩。原因何在呢？自給自足的自然經濟的生產力狀況決定的生產力關系是以家族為中心、以血緣關系為紐帶的宗法等級關系，社會制度是宗法等級制度。自給自足的自然經濟中分散的家族和農民需要有高高在上、君臨一切的中央集權的君主專制制度的統治。在這種社會制度的影響和作用下，形成中國古代穩定的上下尊卑等級秩序的文化心理。主要特點是靜態的、和解的、自然的、消極的心理特點。造成安于現狀的生活方式、工作方式、管理方式。思想僵化、調和持中，這種文化心理使得數學只停留在實用上。沒有就數學而數學，使數學自身的規律沒有得到完善。“在古代東方的全部數學中甚至找不到一個我們今天稱之為‘證明’的例子，代替論證的只有程序的描述，所講授的內容只是‘如此這般地做’，而且也不是以一般規則的形式提出來，只不過是在一系列特殊情況下的應用方法。”④這段話雖有失偏頗，但也道出中國古代數學的特征。在中國數學的發展史上曾出現了劉徽、墨子、惠施等天才的數學家，但他們的數學研究和成就不能和西方的阿基米得、歐幾里德相比較。這主要是我國古代數學的理論研究不受重視所致。漢王朝建立以后的“重農抑商”政策使數學研究受不到貿易的誘惑。農業經濟的財富有限和填飽肚子的生活狀況，不允許人們的思想向實用以外的地方延伸；隋朝開始的科舉制度也扼殺了大批在數學研究上具有不凡才華的人。在科舉制度中數學不是要考的課程，為“學而優則仕”而奮斗的人們，自然不會將數學當作主修課程來學習。另外，農業經濟的貧困使得沒有多少人來學文化，學數學的人自然更少。在這種情況下，中國古代數學的許多成就只處在應用和描述過程階段，沒有提高到抽象的、系統的理論階段，從而使數學的發展和升華受到限制，象“勾股定理”、“圓周率”這些值得中國人驕傲的數學成就，沒有造成相應的數學的轟動效應。“勾股定理”在我國商高的時代就應用比西方的畢達哥拉斯發現早600年，但由于我們沒有給出嚴格的數學證明，這個定理在現在還認為是畢氏的成果，稱為“畢氏定理”。墨子的極限理論也沒有引起足夠的重視，后來西方數學傳入我國時才知西方極限思想和黑子的思想是一致的。“重農抑商”的文化傳統的價值觀具有明顯的倫理性。小農經濟的自給自足的環境不需進行商品交換（至少不需要太多的貨幣介入）。生產中占支配地位的是使用價值，人們關心的是使用價值而不是價值，以不言利為榮，“重義輕利”的思想滲透到人們的思想深處。數學的應用只局限于分配環節中。而在復雜的流通和交換領域中數學沒有機會“施展才華”。多農少商沒有足夠的財富供人們享受，財產的有限性限制了人們的探險精神和“想入非非”，從而限制了數學向理性的發展。
在西方，小亞西亞海岸新興的商業城市、希臘本土、西西里島和意大利海濱，由于海上貿易和戰爭的刺激使得人們的思想活躍，商品貿易發達，對計算要求的提高，財富的增加使人們有更多的時間從事“非實用”的理論研究。古代東方靜態的觀點和西方動態的觀點不一樣，表現在數學上唯理論的氣氛濃厚起來。人們不但要知其“然”，而且要知其“所以然”。不但要問“什么”，而且要問“為什么”，要解決“所以然”和“為什么”。古代東方的以實踐和經驗為根據的方法就顯得“無能為力”和“后勁不足”。為了知道“所以然”和“為什么”，就得在數學的證明方法上作一定的努力，在這樣的文化氛圍中現代意義上的數學產生了。東方的幾何學只為測量提供方法，而證明的幾何學是由公元6世紀前半期米利都的泰勒斯開創的。泰勒斯不是農業經濟中的“耕夫”，而是一個商人，他在經商過程中積累了足夠的財富后，在后半生從事研究和旅行。他在幾何學中的主要成果有“圓被任一直徑二等分”，“等腰三角形的兩底角相等”、“兩條直線相交對頂角相等”，“兩個三角形，有兩個角和一條邊對應相等，則全等”、“內接與半圓的角必為直角”等⑤。這些成果的意義不在于斷言的本身，而是提供了一些邏輯推理（象他的第五個問題巴比倫比他早知道近1400年，但沒有形成嚴格的證明）。使得數學被推向抽象、系統化軌道的還有畢達哥拉斯、柏拉圖以及他們的繼承者形成的畢氏學派和柏氏學派。由于商業的發達、財富的增長，使得人們旅行的欲望越來越高，而旅行和游動的生活方式給數學的發展提供了機遇。前面提到的泰勒斯的后半生就是在旅行和數學研究中渡過的，“他有一段時間住在埃及”⑥。畢達哥拉斯也有旅行和流動生活的經歷。“他曾在埃及居住了22年，從埃及神廟的祭司那里了解了古埃及有關數學、天文方面的知識……回國后，又前往希臘的移民地阿佩寧半島的克羅托納城定居”⑦。從這兩位數學大師的經歷看，不能不說旅游這種文化活動給數學的發展提供了條件。商業貿易的發展，可誘導戰爭的爆發，戰爭不僅給侵略者掠奪來物質財富，而且也帶來了許多精神財富，其中就有數學成就。公元前334年，馬其頓國王亞歷山大領兵進入埃及，不久揮師東進，橫掃了波斯帝國的軍隊，到了印度河西岸，建立起龐大的亞歷山大帝國和亞歷山大城，這個城市的建設主要著眼于文化科學設施的建設，吸引了大量的人才，不久就成為當時世界科學文化的名城，歐幾里德就是在這個環境中熏陶和成熟起來的偉大的數學家。他對數學寶庫的貢獻是《幾何原本》。他的幾何和東方幾何的不同之處是，不僅從應用的角度來談，而是就幾何而幾何的角度加以研究，運用邏輯推理來證明命題的真偽。而且用幾何的方法來解決代數方程。他的著作中的許多公理、定理和定義除了適應當時的經驗外，還具有普遍的意義。阿基米得也是當時偉大的數學家，他采用窮竭法來求圓的周長和直徑的比值，其指導思想和我國劉徽的計算圓周率的思想是一致的，但不同之點是“劉徽是從圓內接正多邊形著手，而阿基米得不僅從圓內接正多邊形著手、還從外切正多邊形這個角度進行計算”⑧。這就體現出西方數學家多方位的思維方式。另外，阿基米得在研究圓的同時，還研究了球和圓柱的問題，他在《論錐形體和球形體》中使用了近似于現代數學的方法。他的工作不僅涉及到具有很大應用價值的數學問題，而且提出了許多明確的數學概念，在這一點上要比東方數學先進。商業貿易具有一定的風險性、尤其是遠航貿易。這種背景下產生了保除業。而保險的興起又促使了概率論的產生和發展。雖然刺激概率論的是賭博，但起源是商業文化。即使是賭博也是產生于發達的商業文化城。可見，東西方傳統文化不僅影響到不同的數學分支和范圍，而且在同一數學問題上所體現的解決問題的方法也不同，表述的形式、研究的動機也存在差異。再來看一個事實，《周易》及先天圖二分法與菜布尼茲的二進制，兩者一個講對分，一個講進位。但都“用兩個符號表示無限的事物或數學其客觀存在的排列法則，決定了先天圖與二進制算術的一致”⑧。二進制和先天圖沒有關系，這是不同時代的東西方數學家，在完全不同的社會背景下的產物，其一致性是令人吃驚的，但思想方法卻完全不同。二進制是在西方傳統文化中歐洲科學發展的基礎上產生的，是有意識地運用十進制知識而創造的一種計數方法。二分圖是《周易》眾多象數體系中的一個，其中有合理的因素。但其動機不免有些封建意識的糟粕，因為它不是依靠科學的依據推出來的。
總之，東西方傳統文化的不同，造成了東西方數學上的差異。東方是數學原始的發祥地，但其發展和科學化、理性化的功勞基本上歸于西方。
參考文獻：
①張立文等《傳統文化與現代化》，中國人民大學出版社。
②錢寶琮《中國數學史》，科學出版社。
③（英）李約瑟《中國科學技術史》，科學出版社。
④⑤⑥（美）H·伊夫斯《數學史概論》，山西人民出版社。
由于學生的智力差異，每道例題教學后，總有部分學生對例題所講的思考方法、解題思路掌握得不牢固，因此，在例題教學后回顧和總結解題思路則顯得十分必要。在反思中，學生對例題進行再認識、再理解、再提高，既加深了學生對題中數量關系的理解，又訓練了學生思維的深刻性。
例如：一個服裝廠計劃做660套衣服，已經做了5天，平均每天做75套。剩下的要3天做完，平均每天要做多少套？
教完例題后，首先引導學生回顧例1的解題思路。根據“已經做了5天”和“平均每天做75套”這兩個條件可以求出已經做了的套數；已知計劃做660套衣服，又求出了已經做了的套數，就能求出剩下的套數；知道剩下的套數和要求完成的天數，就能求出后3天平均每天要做的套數（即由因導果綜合法）。再讓學生說出解題步驟：第一步求“已經做了多少套”，第二步求“還剩下多少套”，第三步求“后三天平均每天要做多少套才能完成任務”。最后，教師再根據綜合算式提問：①“75×5”表示什么？②“660－75×5”表示什么？③“（660－75×5）÷3”又表示什么？通過這樣的反思，進一步幫助學生理順和掌握該應用題的結構和解題思路，加深學生思維的深度。
二、反思解題方法，訓練思維的靈活性
教完每道例題，通過引導學生反思本題是否還有其它解法，比較哪種解法較為簡捷，進一步拓寬學生解題思路，培養思維的靈活性。例如，在第十一冊54頁的例4教學之后，教師可問學生：這道題還可以怎樣解答？在教師的啟發下得出如下幾種解法：
解法一
以九月份生產玻璃的箱數作單位“1”，得解法：20000÷（1＋1/3）。
解法二
以十月份生產玻璃的箱數作單位“1”，解法為：20000×（1－1/4）。
解法三
用歸一法解：20000÷（3＋1）×3解法四用方程解：設九月份生產玻璃x箱。得方程（20000－x）÷x＝13。
這樣引導學生從同一例題中探求不同的解法，有利于克服思維定勢，促進學生思維能力的發展。
三、反思題目變式，訓練思維的廣闊性
某些例題在教學后，還可引導學生多角度、多方位地改變題中的條件與問題，進行變式教學。這樣，不僅加深學生對某類應用題結構和特征的理解，而且有利于培養學生理解問題和解決問題的能力。
例如，第十一冊49頁的例2，在教學后可進行如下變式訓練
1.變換條件。將題中“六月份比五月份多捕了1/4”變換為：
（1）六月份比五月份少捕了1/4；
（2）六月份捕魚是五月份的(1+1/4)倍；
（3）相當于六月份捕魚噸數的4/5；
（4）六月份比五月份的4/5多100噸。
2.變換問題。將題中“六月份捕魚多少噸”變換為：
（1）五月份和六月份一共捕魚多少噸？
（2）六月份比五月份多捕魚多少噸？
（3）五月份捕魚噸數是六月份的幾分之幾？這樣，通過一題多變和一題多問，增大了題目的知識容量，訓練了學生靈活應用知識解決問題的能力，收到了事半功倍的效果。
四、反思引申推廣，訓練思維的變通性
有些應用題的數量關系、解題方法很相似，如在教學中不失時機地將某些例題作適當的引申，不僅有助于學生進一步理解題目的數量關系，掌握解題規律，而且有利于訓練學生思維的變通性。
例如，在教學第十一冊58頁的例5這道工程應用題之后，引導學生根據工程應用題的結構特征及解題規律進行反思，學生容易發現工程、相遇、注水等問題有著相似的數量關系及解法。
如相遇問題：“客車從甲地開往乙地需20分鐘，貨車從乙地開往甲地需30分鐘。現兩車同時分別從甲、乙兩地相對開出，幾分鐘相遇？”算式是：1÷（1/20＋1/30）＝12（分）。
做衣問題：“一匹布，全部用來做上衣可以做20件，全部用來做褲子可以做30件。如要求做套裝，這匹布可以做多少套衣服？”算式是：1÷（1/20＋1/30）＝12（套）。
一、對聯是從漢語文的特性中生長出來的
關于對聯的起源，我國古代有許多傳說。據《山海經》、《風俗通》等古書記載，上古時期，東海渡朔山上有一株巨大的桃樹，枝葉覆蓋三千里，在桃樹的東北方向，枝椏短矮，形成一個大缺口，像個門戶，于是百鬼就從這里出入，名曰：“鬼門”。門戶兩邊，站著兩個武士，一個名叫“神荼”（讀升書），一個名叫“郁壘”（讀玉立），是專門站崗放哨，捉拿惡鬼的，以保護老百姓過平安生活。這兩位武士，就是人們心目中最早的“門神”。當時人們為了平安過好春節，就用桃樹枝條，仿照神荼、郁壘的形象，扎飾桃人，立于門旁。后來為了簡便，人們改用兩塊桃木板，在上面分別畫上神荼、郁壘的圖像，再后來，人們直接在兩塊桃木板上分別寫上“神荼、郁壘”的名字，掛在門旁，用以鎮邪。這兩塊桃木板叫做“桃符”，每年農歷除夕到春節期間，更換一次。桃符傳至五代時期，有些文人不再在桃木板上書寫門神的名字，而是寫上兩句對偶聯句。據《宋史•蜀世家》記載：五代時后蜀皇帝孟昶，每逢春節都命令翰林學士作詞，書寫在“桃符”上。后蜀歸宋的前一年（964年）除夕，孟昶叫翰林學士辛寅遜題書“桃符板”。辛寅遜寫的他不滿意，便親自在“桃符”板上題寫一聯：“新年納余慶，嘉節號長春。”這便是我國歷史上較早見之于文獻記載的春聯，迄今已有一千多年的歷史。(1)在此之前是否有更早的對聯，許多學者作過考證。有人認為應該把發現四聲作為出現最早對聯的上限。因為，如果承認對聯是格律文學，是講究平仄對仗的，就不可能出現在發現四聲之前。這應該是很有道理的。但在嚴格的對聯出現之前，應該存在較寬泛的對聯，即不講平仄的對聯，而這些寬泛的對聯肯定是嚴格意義上的對聯的前身，后者正是在前者的基礎上發展起來的。這些寬泛的對聯一直可以追溯到很遠年代的詩中出現的對偶句，例如：《周易•乾傳》中的“同聲相應，同氣相求”、《詩經•采薇》中的“昔我往矣，楊柳依依；今我來思，雨雪霏霏”、老子《道德經》中的“道可道，非常道；名可名，非常名”等等。
其實，對聯的起源，還應該追溯到漢語文的出現和漢語文特點的形成。漢語的語素以單音節為主，這些語素是非常自由的，組合能力很強，每一個這樣的語素都可以單獨構成一個詞，或與別的詞結合構成另一個詞，這為整齊句式的出現準備了條件。漢語是聲調語言，每個音節的主要元音都有一個聲調，也就是說，一個單音節語素都有一個聲調，這就為四聲出現、平仄押韻奠定了基礎。漢語還是一種非形態語言，它不靠詞的形態變化表示語法關系，不靠形態變化作為將詞組合成更大的語言片斷的手段，而是靠語序和輔助詞，這就使不同的
句式通過變換語序添加輔助詞而變得對稱整齊。基于這樣的特點，漢語文非常容易形成一連串整齊的（即音節數相等）結構，也非常容易押韻，對聯的基本特點如上下聯字數相等、句法相似、詞性相同、詞意相關、平仄相對、一一對稱等的內在生成必須依賴于漢語文的這些獨特的本性。而世界上其他民族的拼音連寫文字，就無法構成對聯。因此，我們可以說，對聯是從漢語文的特性中生長出來的。對聯與漢語文的特性具有如此密不可分的關系，我們的先人很早就發現了漢語文的這一的優點，并在語言表達實踐中逐漸地發展與提煉，于是就使對聯得到了廣泛的運用，在社會各階層、各行業直至千家萬戶的各種活動中人們要表達思想傳遞情感，首先想到的就是對聯，因此對聯之風在中華大地長盛不衰。
對聯的形成，為古代語文教育尋求最佳言語形式提供了豐厚的土壤。人們在日常生活中普遍地使用對聯，就促使人們去學對聯、教對聯，這樣，對聯教學就自然走進了語文教育的視野，一種以學對聯為教學內容的基礎課程——屬對教學就應運而生。這里需要說明的是，屬對教學的出現，一方面是由于學對聯的需要，另一方面也是由于學詩歌的需要，我國古代詩歌之風也很盛行，詩歌發展到格律的近體詩，特別是律詩，四聯的中間兩聯必須用對仗的形式，而對仗與對聯是一母所生，律詩的中間兩聯實際上就是兩副對聯。所以學對聯也好，學對仗也好，二者名稱不同，其實質卻是一樣的，都是要求學習上下聯（句）如何做到兩兩相對，二者共同催生了漢語文教育中的屬對教學。
二、對對子教學的本質是言語實踐
對對子訓練是為寫對聯、駢文和近體詩做準備的。我國古代對聯、駢文和近體詩非常發達，古人在長期的語言運用過程中逐漸形成了寫駢文、寫韻文的風氣，社會各界以“吟詩作對”相提倡。為了寫好駢文、韻文，就得加以訓練，使初學者能通過訓練逐步掌握其寫作技巧，寫出符合規范的能夠表情達意的駢文和韻文。而這些駢文、韻文寫作的最基本的技巧就是對對子。正如有的學者所指出的：“在中國文學各種有韻之文的體裁中，如駢文、詩詞、銘賦，都要以對聯為基礎。所以過去的讀書人，無不以對對子為基本功。這門基本功練好了，才能進入各種體裁的領域中。”（2）于是對對子（屬對）訓練就自然成為了古代語文教學最基礎的內容，成為了中小學生的必修課。
古人的對對子教學一開始就不是很注重知識的灌輸和語法分析，走的是注重知識的運用和言語實踐這一路。通俗地講，就是“在對對子中學習對對子，通過對對子學會對對子”。它不講語法理論，但實際上卻有相當完備的語法訓練；它不講名詞術語，卻能讓學生寫出符合名詞術語內涵的規范語句；它不過多地分析拆解寫作技巧，卻能讓學生對出的對子里蘊涵了高妙的訣竅。它注重的是言語操作和言語實踐，通過提供具體的情境和語境，讓學生在這些情境之中自主地運用語言組織語言，在“運用”和“組織”的過程中把握對對子的技法，建構言語能力，體悟漢語文的精妙。可以說，對對子教學體現的是一種言語實踐觀，其核心是體悟與實踐，其靈魂是學生的主體性。我們只要翻開古代的屬對教材，就可以清楚地看到這一點。古代流行較廣的屬對教材有《詩腋》、《詞林典腋》、《笠翁對韻》、《聲律啟蒙》、《對語四種》等，這些教材都沒有屬對方法和屬對技巧的論述，通篇只是一對一對的對語，這些對語主要是供學生查考、背誦和揣摩的。我們仔細研究一下這些教材中的對語，可以發現其中很有講究。這些對語都是規范工穩的對子，從一字對到十字對，各種形式俱備；從天文地理到為人處世，內容樣樣齊全。它們以成品的形式展現在學生面前，給學生提供了模仿的樣本。同時這些對語中隱含著對對子的規范和技巧，它們整體上都是按韻部排列，每一副對子都體現出對對子所要求做到的詞性、平仄、押韻。如《笠翁對韻》是這樣編排的：“天對地，雨對風，大陸對長空，山花對海樹，赤日對蒼穹……”，《聲律啟蒙》是這樣開頭的：“云對雨，雪對風，晚照對晴空，來鴻對去雁，宿鳥對鳴蟲……”。在這里，“天”與“地”，名詞對名詞，平對仄，既是詞性相對，平仄也相對；“大陸”與“長空”，偏正詞組對偏正詞組，仄仄對平平。所有這些要領，教材都沒有作繁瑣的分析與闡述，所有的技法都濃縮在一個動詞“對”上。通過一個“對”字，引導學生主動去揣摩、主動去模仿、主動去實踐。在這里，我們不能不佩服教材編寫者的高明，也不能不佩服古人在屬對教學中形成的言語實踐觀。
三、對對子的教學價值在于可以有效提高學生的實際言語能力
對對子教學的最初目標是訓練學生的言語組合能力，以寫出工整的對聯、駢文和韻文。在后來的教學實踐中，人們逐漸認識到對對子的訓練價值遠遠超出了當初的設想，人們發現對對子的訓練，不僅能讓學生寫出工巧的對子，而且使學生駕馭和組合語言的能力得到了提高。也就是說，人們通過對對子這一言語實踐，不僅實現了對對子自身的功能，而且發掘出了粘附在對對子上面的更廣泛的言語訓練功能。于是古代對對子教學的目標也在教學實踐中實現了轉型，由最初注重寫出單純具體的對聯、駢文和韻文為目標，轉到了以訓練學生識字、組詞、造句、為文等言語能力為主的目標上來。元人程端禮在《讀書分年日程》中有一段話：
但令習字演文之日，將已說《小學》書作口義，以學演文，每句先逐字訓
之，然后通解一句之意，又通解一章之意，相接續作去。明理，演文，一舉兩
得。更令記《對類》單字，使知虛實死活字，更記類首“天、長、永、日”字，
但臨放學時，面屬一對即行，使略知輕重虛實足矣。(3)
程端禮這段話已明顯地把屬對訓練當作了識字、用詞、演文訓練的一個基礎環節，他已經認識到了粘附在對對子訓練上面的言語訓練價值，他不再是為對對子而對對子，他已將對對子教學提升到了言語訓練的層面，把對對子教學作為了言語基礎訓練的一種手段。這是對古代對對子教學功能的實踐拓展和理性審視，為后代對對子訓練指明了方向。
今人張志公先生曾對粘附在對對子上面的言語訓練功能作過系統而深入的研究，他認為屬對是一種實際的語音、語匯的訓練和語法訓練，同時包含修辭訓練和邏輯訓練的因素。學屬對首先要正音，同時學會陰陽上去（或平上去入）四聲，這是基本的語言訓練；特別值得重視的是屬對的語法訓練的作用，用實字、虛字兩個兩個地組織起來，可以組成好幾種結構，如：風吹、云騰……名詞＋動詞，主謂結構；微云，細雨……形容詞＋名詞，偏正結構；鑿井，耕田……動詞＋名詞，動賓結構。要學生練字對，也就是訓練學生運用主謂、動賓、偏正、聯合這幾種基本的造句格式。經過反復練習，能夠敏捷地對上二字對，那就意味著已經熟練地掌握了基本的句法規律。進一步作“三字對”和“四字對”，這時就可以把助字加進去。三字和四字的結構，在文言里，已經可以表現絕大部分造句格式，包括復句在內。如：推窗邀月，出戶乘風……“邀月”是“推窗”的目的，“乘風”是“出戶”的目的，這是一種復雜單句的格式；月缺月圓，花開花落……“月缺”“月圓”，“花開”“花落”，都是兩個主謂結構并列，這是一種聯合復句的格式。除了語言訓練、語匯訓練、語法訓練的作用之外，屬對還有修辭訓練和邏輯訓練的作用。“星光燦燦”對“水勢滔滔”，“如煙”對“似火”，“一川楊柳如絲裊”對“十里荷花似錦鋪”，這些顯然都能訓練學生運用形容、比喻等修辭方法。總起來看，屬對練習是一種不講語法理論而實際上相當嚴密的語法訓練，經過多次的練習之后，學生可以純熟地掌握了詞類和造句的規律，并且用之于說話和寫作。我們往往以為學對對子只是為了學作詩，這種看法應當改變。屬對練習能夠通過實踐靈活地把語法、修辭、邏輯幾種訓練綜合在一起，并且跟作文密切結合起來，這一點很值得作進一步的研究。(4)
張志公先生的深入剖析使我們更清楚地看到了對對子訓練所蘊含的言語訓練功能，也正是因為對對子訓練可以有效提高學生的基本言語能力，古人才把它列為語文教學的基礎課，成為所有學生的必修課。清代教育家崔學古認為“自一字可增至數字”的對對子訓練是“通文理捷徑”。(5)近代教育家說“對課與現在的造句法相近，大約由一字到四字，先生出上聯，學生想出下聯來。……這一種功課，不僅是作文的開始，也是作詩的基礎。”(6)這都是充分認識到了對對子真正的言語訓練價值。
四、對對子教學中內含的認知心理學原理
人們常常看到古人擬寫的絕妙好對或古人脫口成句對對子的故事，以為對對子主要靠天才的思維和敏捷的文思。其實這是一種片面的理解，只看到了冰山一角，未觸到冰山隱在水下的主體部分。古人流傳下來的絕妙好對和出口成對的故事自然是對對子的最高境界，我們可以把它看作了冰山的峰頂部分，它代表了對對子教學的最高成就。但人們同時也要看到，這只是對對子教學成就的一部分，對對子教學成就的更大部分（主體部分）則未被常人發現，它就如巨大的冰山主體隱在了水下。我們只要翻開各類古籍看一看，先看看古人所寫的絕妙好文、絕妙好詩和絕妙好詞，再看看史書的文詞及史書所記載的古人的一言一行，就會發現在字里行間隱藏的冰山主體，讀一讀這些文字，我們不能不驚嘆古人語句之工，我們不能不驚嘆古人對語之巧。從這些文字的字里行間我們可以隱隱尋出對對子訓練的蛛絲馬跡，這些都是對對子自身及其粘附的言語功能所創造的成就。
由此，我們也可以看到，對對子教學不僅訓練出了“絕妙好對”，而且訓練出了人人具備的良好的言語表達能力。這些言語表達能力的形成當然不是一蹴而就的，它經歷了一個艱苦的訓練過程，經歷了一個由一字對、二字對逐漸加到多字對的實踐過程。如前文所述，對對子的訓練過程主要是一個言語實踐過程，在這個過程中，學生的辨音、識字、組詞、造句、修辭和邏輯思維能力得到綜合訓練，得以逐步增強。對對子教學走的是言語實踐之路，而不是語言分析和術語灌輸之路。在這里，我們還想對其中的一個問題作進一步的闡述，那就是對對子教學實踐中知識是如何呈現、如何教學的，對對子能力及其粘附的言語能力的形成顯然離不開知識，因為能力要靠知識來建構的，離開了知識，能力就成了無源之水，無本之木。那么，對對子訓練中到底是如何處理知識與能力的關系呢？光用一句話“對對子的知識是在對對子的實踐中學習的，對對子能力是在知識的運用中形成的”來概括，的確抓住了二者關系的實質，但無法對知識轉化成能力的過程作出深刻的揭示。下面我們試著用認知心理學的廣義知識觀來作更深入的闡釋。自古以來人們對知識的認識一般可以分為廣義與狹義兩種知識觀，按狹義的知識觀，知識僅包括它的貯存和提取；按廣義的知識觀，知識不僅包括它的貯存與提取，而且包括它的應用，即人們常說的“真知”。廣義的知識觀不僅納入了知識（狹窄的），而且還將技能、策略納入了知識范疇，將知識（狹義的）、技能與策略融為一體了。它將知識分為三大類：陳述性知識（直接靠記憶陳述的知識，相當于狹義的知識）、程序性知識（對外辦事的操作技能）、策略性知識（對自身行為的內在調控的技能）。三類知識在學習過程中是這樣一種關系，陳述性知識的學習是形成程序性知識的基礎，程序性知識的學習可以實現陳述性知識的運用與轉化，陳述性知識與程序性知識的學習需要策略性知識進行內在調控。三類知識的協同作用，才能使學習者獲得“真知”（即習得知識的貯存、提取與應用），獲得能力（7）。在這里，陳述性知識是基礎，程序性知識是關鍵，策略性知識是靈魂。程序性知識的學習之所以是關鍵，是因為它涉及到知識向能力轉化的內在機制，程序性知識學習可分為兩個階段，第一階段是程序性知識的陳述性學習，在這一階段，程序性知識是以陳述性知識出現的，也就是說他們必須以命令的形式編入命題網絡，然后才能轉化為以產生式表征的程序性知識；第二階段是通過一套程序規則的操作，使陳述性知識轉化為程序性知識，習得運用知識的能力。例如，學習對對子的過程中，教師出上聯“半溪流水綠”，要求學生對出下聯。這個程序性知識的學習分為兩個階段，第一階段是陳述性學習階段，學生需要提取認知結構的命題網絡中的陳述性知識，知道“半溪”、“流水”、“綠”的含義及結構方式，然后提取出這個上聯的平仄結構；這些知識如果學習者認知結構中沒有，則無法繼續學習；如果認知結構中有了這些知識則可以繼續進入轉化階段；第二階段是陳述性學習向程序性學習轉化，學生開始運用對聯的規則（詞性相同、結構相同、平仄相對），在認知結構中努力搜尋與“半溪”“流水”“綠”的詞性、結構、平仄相對的詞或詞組，這是第一次轉化；接著是程序性規則的進一步運用，古人在屬對教材中提供了相應的下聯“千樹落花紅”作為范例，詞性、結構與平仄都對得非常工整，這是要求學生記憶的陳述性知識，學生已經通過背誦貯存在認知結構中，此時只需提取出來，反復比照這樣配對的妙處：
半溪流水綠
千樹落花紅
通過比較，學生開始尋找與“千樹落花紅”相仿的句子，在不斷的監控與調整中對出最符合屬對規則要求的下聯。比如，可以對“千里浮云白”，也可以對“一地落花紅”，只要從詞性、結構、顏色、平仄這幾方面對上了，就可以認定學生已經掌握并能運用屬對規則來對對子，實現了陳述性知識向程序性知識的第二次轉化，學生的屬對能力得以形成。
從上面的分析，我們可以清楚看到，古代的屬對教學顯然符合學生的心理發展規律，與現代認知心理學的發展理論暗合，它將知識與能力合理地融合在同一個對對子教學實踐中，“知”與“行”合一，使學生通過屬對知識與規則的學習，運用知識逐步建構起屬對能力，并獲得粘附在對對子能力上的言語表達能力。這也正是對對子教學取得成功并盛行幾千年的內在原因。而我們現在的語文教學，知識學習與能力實際上是相互脫離，知識是單純的學習，能力是單純的訓練，能力訓練缺乏有效的知識支撐，只剩下一些被抽干了知識內涵的標簽式的術語，這也就是導致說不清知識怎樣轉化為能力的重要原因。連知識如何轉化為能力的原因都解釋不清，那么通過有效的知識來建構語文能力的教學就更是無從談起。因此，我們今天的語文教學改革需要的是扎扎實實的分析與總結，現在的語文不是訓練太多了，而是形式主義的訓練太多了，真正與知識緊密結合的有效率的訓練太少了；不是知識教學太多了，而是稀奇古怪的知識、形式化標簽化的知識太多了，真正有效的符合能力訓練的陳述性知識太少了。我們迫切需要加強對語文知識與語文能力之間的關系研究，迫切需要加強對語文能力的內在構成因素以及訓練內容與形式的研究。這就是筆者大力提倡傳統對對子教學的真正意圖。
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注釋：
(1)孫保龍編《古今對聯叢談》，江蘇古籍出版社，1984年3月第一版，第2—4頁。
(2)轉引自毛力群《對中國傳統屬對教學的認識》，《課程•教材•教法》2004年第3期。
(3)《歷代教育論著選評（上）》第1117—1118頁，湖北教育出版社1994年7月第一版。
概率論與數理統計案例教學方法的應用中，案例的正確選擇非常重要，選擇合適的案例可以讓學生能更好的進入數學知識點的學習中，身臨其境的體會概率論與數理統計帶來的學習樂趣，使課堂氣氛變得活躍，從而提高教學質量，同時也增強了學生學習的主動性。例如：選擇概率和彩票的案例進行教學，教師可以適當對彩票的相關知識進行拓展；然后將概率和彩票的中獎率聯系起來，提出概率的運算思路，在其中添加統計的知識點，讓學生大膽的提出問題；最后，對概率和統計進行歸納，對概率和彩票中獎率的關系進行解答，增強學生的學習興趣，培養學生的獨立思考能力，從而達到案例教學的目的，促進教學質量的不斷提高。因此，正確選擇案例，活躍課堂氣氛，在教師的帶動作用下，數學教學可以變得很輕松愉悅，概率論與數理統計的教學質量可以得到快速提高，從而促進學生綜合素質能力的全面發展。
二、開放學生思維，明確教學目的
在數學教學過程中，學生是是教學的主體，每個人都有自己的思維能力，所以教師必須明確教學目的，使學生的思維得到盡可能的開放，促進學生探索創新能力的不斷提高。因此，教師在選擇案例時，要綜合評估學生的學習能力，對概率的概念、公式進行仔細講解，將統計知識點貫穿到整個課堂教學，使案例突出教學重點，達到知識點融匯教學的教學目的。開放課堂教學，不僅可以使學生掌熟練握更多的概率論與數理統計知識點，更能拉近學生與作者、學生與自己的師生距離，使師生之間的感情更加融洽，從而大大提高教學質量的目的。
三、有效組織教學，提高綜合能力
在數學學習是整個過程中，打好基礎是非重要的，因此，在概率論與數理統計的教學中運用案例教學，教師要有效組織教學，促進學生綜合能力的提高。針對概率論與數理統計的難點和易點，循序漸進的提升難度，讓學生熟練掌握每個知識點，培養學生敏捷的數學思維能力，不斷開闊學生的視野，使學生的概率論與數理統計分析能力變得更強，從而達到提高教學質量的目的。例如：針對籃球投籃問題，根據球隊人數的變化來計算投籃的概率，從最簡單的計算開始，隨著人數的變化，計算復雜程度也變得越來越高。這就是一個概率論與數理統計知識點逐漸加深的案例，通過這個案例教學，學生的思維能力可以不斷增強，綜合能力也會得到不斷提高。
四、課后教學總結，不斷改革創新
概率論與數理統計的教學中，案例教學方法應用的課后總結，是教師對課堂教學不足的完善，可以有效保證案例教學的教學質量，不斷創新教學方法和模式，同時促進教師自我的不斷提升。課后總結，分為學生的總結和教師的總結，學生通過總結，可以對案例教學進行仔細的分析，培養學生處理問題和解決問題的思路，提升學生實踐動手能力；教師總結時，對重點知識進行再度印象加深，促進學生不斷探索和創新，從而促進教師教學的不斷創新。
五、結束語
一、要確立素質教育的觀念
數學教學要提高學生的數學素質。要使學生有清晰的數學觀念，有全面的、牢固的，結成網絡的數學知識，有運用數學知識解決實際問題的能力。教學必須面對全體學生，必須嚴格按規定授完全部教材內容（不管是否考這些內容）。而且教學時概念必須交待準確，數理必須交待清楚，做到每個判斷都有依據，每個推理都有道理。要在此基礎上談算法。
例如，不能說“一塊厚紙板是一個長方形”，應該說這塊厚紙板的正面是一個長方形。學到長方體之后還應該說這塊厚紙板是一個長方體，它的正面，反面都是長方形，還有4個長方形的面仔細看才看得到。教學“3.5米等于多少厘米”要使學生知道：1米是100厘米，3.5米是3.5個100厘米，即100×3.5厘米。按乘法的意義，列式時進率100要寫在乘號的前面。教應用題就要教學生分析數量關系，制定解答方案，然后計算結果。要讓學生獨立思考，獨立解答。
教學要緊緊依據教材，注意不要增加名詞述語及提出不科學的提法如說“最小的數是0”、“被減數一定大于減數”等。要依據運算意義確定算法，不要提死辦法，如“飛走是減”、“一共是加”、“照這樣計算就是要求單一量”……。
二、要指導學生進行初步的邏輯思維
小學生的思維方式正處在從具體形象思維向抽象邏輯思維的過渡階段。他們的思維一般要借助實物、圖形或者頭腦中的表象來進行。應當肯定，形象思維是一種很好的思維方法，可以終生受用。但是，僅有具體形象思維是不夠的，還必須掌握抽象邏輯思維的方法，以提高思維能力。教學中可以滲透一些抽象邏輯思維的因素。
如教一位數加法，就不必每題都擺弄教具，可指導學生進行算理的推敲（其實很多教師都做了）。例如教8+7，可以指導學生這樣算，8只需補上2就得10，從7里面拿出2與8相加之后余下5，所以8+7
（附圖{圖}）
象地演示教具：①擺8和7；②將8放入鐵筒；③問還要放幾個就夠10個；④把7分成2和5，把2放入鐵筒；⑤問筒里有幾個，筒外有幾；⑥確定8+7=15。
又如解答兩次歸一問題“4匹馬5天飼料100千克。照這樣計算，6匹馬7天飼料多少千克？”如果畫圖表示題意尋求解題方法就很難，而且畫出的圖太繁反而失直觀作用。可以引導學生冷靜而深入地思考：要求“6匹馬7天吃多少千克”需要知道“1匹馬1天吃多少千克”。從“4匹馬5天吃100千克”可以求出“1匹馬1天吃多少千克”。題目說明“照這樣計算”表明這個標準不改變，可以用來求“6匹馬7天吃多少千克”。思考到這里可以肯定分兩大步解答：①求4匹馬1天吃多少，再求1匹馬1天吃多少；②求1匹馬7天吃多少，再求6匹馬7天吃多少。本題的解法是：100÷5÷4×7×6=210（千克）或者100÷4÷5×6×7＝210……
再如解盈虧問題（作為提高題來研究）“一組小朋友分一籃李果。每人3個余下4個，每人5個不足8個。這組小朋友有多少人？這籃李果有多少個？”可以這樣想：從每人多分一些李果造成總需求量增加，由此可以算出人數，進而求出李果數。具體來說，由于每人多分5-3=2（個），結果由余4個變成不足8個，需要李果的總數就多了4+8=12（個），這12個是每人多分2個造成的，可知人數是12÷2=6（人）；李果數是3×6+4=22（個），驗算：5×6-8=22（個）。
三、適當作一些論證
小學數學教學只要求教師通過實驗得出結果就可以作出結論，至于結論成立與否并不作論證。久而久之，學生就會認為實驗就是證明，這種觀念對學習數學非常不利。教師可以在適宜的問題抓住時機作一些論證，使學生確信所得結論的必然性，更重要的是使學生知道數學的嚴密性。
例如，教學時可以使用不完全歸納法。如15×20=300,20×15=300，所以15×20=20×15;18×125=2250,125×18=2250，所以18×125=125×18，……經過多次實驗都得到交換因數位置積不變的結果，從而歸納出乘法交換律，切忌一例立論。
有些地方可以作相當正式的證明。如找圖中相
（附圖{圖}）
∠2＝∠4，還可以測量證實。但是，只經過實驗就作結論不夠嚴謹，可以作如下證明：∠1＋∠2＝180°，∠3＋∠2＝180°，∠1＝180°－∠2，∠3＝180°－∠2，所以∠1＝∠3。簡單的證明可使學生領略數學的嚴密性。
四、適時培養初步的空間想象力
數學教學要培養學生初步的空間觀念，使學生對物體的形狀、大小、位置、方向、距離等有明確的認識，對學過的形體以及接觸過的物體、場地、河山等能夠在頭腦中形成表象。教師要引導學生借助表象進行思考，并以此為起點培養學生初步的空間想象力。
如解答籃球場鋪混凝土多少立方米的應用問題，應引導學生想象出這些混凝土鋪在球場上將形成一個長方體，混凝土的厚度就是這個長方體的高。又如解答長方體形狀的糞池四壁和池底涂抹水泥問題，應引導學生想象出這個池無蓋，涂抹面只有5個。
解答復合應用題也應幫助學生想象出應用題的情境以至數量關系。如解答相遇問題應幫助學生想象出：一條路的兩頭各有一輛車，它們同時相向行駛，越來越靠近，單位時間靠近一段路程，全路程包括多少個這段路程就在多少個單位時間后相遇。
五、教好簡易方程和幾何初步知識
教好小學教材中的簡易方程，不要人為拔高，不要引進中學的定理、方法。例如，列方程解應用題不急于計算結果，首先把各數的位置擺好，然后找出數量之間的相等關系，根據數量關系建立方程，用等式表達未知數和已知數之間的關系，然后解方程求答數。列方程解應用題能解答復雜疑難的問題，是中學的主要解題方法，小學應該認真做好孕伏。
小學要教好幾何初步知識，為中學作準備。教學中應認真進行操作性練習。如①過直線外的一點作直線的垂線和斜線，量該點到直線之間的各條線段，找出其中最短的。②過角內的一點作兩邊的垂線和平行線，看哪種畫法得到平行四邊形。③過線段兩端各作一條垂線；過線段的一端作一個直角，另一端同側作一個45°的角；過線段的一端作30°的角，另一端同側作60°的角；過線段兩端同側各作一個75°的角；過線段兩端同側分別作30°和45°的角，看哪種作法得到三角形，得到怎樣的三角形。
六、認真滲透現代數學思想
教材里隱含有函數、對應、集合等內容，教學時應挖掘出來進行滲透，但不給概念，不出名詞。
函數的例子隨處可見。如“桃樹棵數比李樹的2倍多5棵”，用關系式表示是：
桃樹棵數＝李樹棵數×2+5其中“李樹棵數”是自變量，“桃樹棵數”是自變量的函數。“李樹棵數”變化，“桃樹棵數”也隨之變化。
對應思想在小學數學教材里隨處可見，把求相差轉化為求剩余就是其中一例。如：有紅花6朵，黃花
（附圖{圖}）
通過一一對應發現紅花里有4朵和黃花一樣多，另外還剩下2朵，即紅花比黃花多2朵。
集合在數的整除里有過廣泛的運用，有些思考題也應用集合來解答。
現代數學思想融匯在教材之中，要注意挖掘，進行滲透，使學生及早接觸并初步領略它。
七、加強思維品質的培養
在數學教學中，應有意識地培養學生良好的思維品質。
思維要有方向，有根據，不能胡思亂想。如用分析法分析數量關系，尋找解題方案，是從問題出發進行分析推理，形成解題思路，方向很明確。研究其他問題也可以這樣進行。
思維應有靈活性。要提倡學生從多角度去考慮同一問題，用多種方法去解決，不應強求統一，但要注意鼓勵學生采用最佳的方法。
有思維的靈活性才會有思維的創造性。思維靈活的學生能找出老師未講過的、一般人想不到、有時似乎異想的解決問題的方法。如表達“鹽的重量占海水的3%”，可能想出多種方法：
①鹽的重量＝海水重量×3%
②鹽的重量＝海水重量÷100×3
鹽的重量
③────＝3%
海水重量
（附圖{圖}）
思維的創造性還有賴于思維的深刻性。能運用所學知識深入鉆研才能解決較難的問題。如要發現圖中陰影的兩個部分面積相等，就要深入鉆研。通過鉆研就能發現圖中有兩個同底等高的三角形，它們各自減去同一個三角形，得出的兩個差相等。
思維的敏捷性反映思維的效率，提高思維的敏捷性需要講究思維方法，還要加強訓練。
總之，良好的思維品質不能給予，但可以培養，要給學生鍛煉的機會，并堅持不懈。
八、加強學習品質的培養
學生良好的學習品質要教師去培養，教師要讓學生對學習有興趣和愛好，有責任心和主動性，有鉆研精神和毅力，有合理的學習方法和良好的學習習慣。這里有幾點認識：
1.僅靠興趣支持學習還不行。要教育學生產生理想和期望，讓他們用理想來支持學習，這樣，責任心和鉆研精神才能保持長久。
關鍵詞：信息技術創設情境
數學是一門與生活聯系比較緊密的學科，它具有較高的抽象性，要使學生理解性地接受、消化，僅憑目前課堂上教師的傳授是不可能的。這就迫使教師改變教學觀念，探索教學技巧。我們運用現代信息技術從以下幾方面創設小學數學教學情境，供同仁們參考。
一、創設問題情境，激發學生學習數學的興趣與好奇心
創設問題情境，就是在教學內容和學生求知心理之間設障立疑，將學生引入一種與問題有關的情境。而信息技術正好是創設問題情境的最有效工具，教師利用多媒體技術與網絡技術為核心的現代教育技術盡可能創設生動、有趣的問題情境,引導學生多角度、多方位地對情境內容進行分析、比較、綜合，學生不斷地完成“同化”和“順應”，建構新的認知結構。
例如:在教學“乘法分配率”時，一位教師為學生創設了這樣一個良好的問題情境，充分調動學生的學習的積極性和主動性，讓問題去激發思維的火花。例：一群猴子在山上玩，無意發現了一棵大樹上掛著一個奇特的仙桃，令他們垂簾欲滴，搶著上樹摘。正好猴王走過來，看見他們，就一聲令下：“不準摘！誰想摘，必須先過我猴王關！”猴王便出了兩道計算題26×25+25×14=？25×（26+14）=？考他們。結果，有個伶俐的小猴子搶先答出兩道題的答案都是1000，猴王聽后，很高興，親自摘下桃子給猴子。其他猴子都很奇怪：“這兩題的算式不同，結果怎會一樣呢？”此時學生躍躍欲試，欲言而不能，教師趁勢而入，因勢利導、展示課題。這樣就達到了“一石激起千層浪”的效果，將學生帶入了情境之中。喚起了學生的求知欲望，點燃了學生思維的火花，在這生動有趣的情境吸引下學生們都積極的投入到學習中。
這種從創設問題情境入手激發學生學習興趣的做法，不僅能使學生產生心理效應，而且可以較好地調動學生的學習積極性。另外，創設一定的問題情境可以開拓學生的思維，給學生發展的空間。
二、創設“親歷”情境，化解知識難點
新課標強調：要大力開發并向學生提供更為豐富的學習資源，把現代信息技術作為學生學習數學和解決問題的強有力的工具。而網絡技術以其資源的豐富性、交互性等優勢給數學教學注入了新的活力。在教學中，如果教師在教學中創設一種使兒童仿佛“身臨其境”的活動，讓他們在活動中掌握知識的要點，化解知識難點，能使教學收到事半功倍的效果。
網絡進入課堂，能將多姿多彩的生活情景帶入課堂，創設虛擬的真實情境，體現生活數學的教學理念。如，一位教師開展數學實踐活動“節約用水”的過程中，學生們不僅學會了測量、繪制等知識，還從網上了解到了有關我國水資源的概況等，真正體會到一滴水的價值，受到了良好的養成習慣教育和國情教育，可謂受益匪淺。
又如：在教學《直角的初步認識》時，當學生認識了直角，學會了畫直角后，我們設計了一個拓展題：經過個屏幕上一點引出兩條射線（射線可以在屏幕上任意旋轉），要求學生用鼠標拖動、旋轉兩條射線，利用電子直角三角板工具，能畫出多少個直角（無數個）？學生可以在電腦上直接操作，也可以通過網絡控制平臺與教師直接交流，教師也可以在網上監看每一個學生的學習進度，同時與學生進行個別交流，這樣，每一個學生都能夠得到老師的輔導，因材施教也就落到了實處，有力地促進了學生創新精神的發展。
有了網絡技術學生可以選擇自己喜歡的小課題進行探索：自己上網查資料，上網求解、討論等，從而多方面、多角度地理解問題，增強了學生主動探索知識、主動實踐的意識和能力，促進了可持續發展。
三、創設激勵情境，促進學生敏捷思維
實踐證明：學生在緊張、激烈的比賽中，他們個個、躍躍欲試，挖空心思去爭取勝利。在教學中，教師利用信息技術具有運載信息量大、反應速度快、綜合表現力強和容易控制的特點，恰到好處的創設一些激勵情境，有利于學生敏捷性思維的發展。
例如：學生學習20以內口算加減法時，傳統的方法是教師出示口算卡片，學生看算式回答。這樣，教師很難以照顧到每一學生，大多數學生都是在教師的直接刺激下做出一定的反應。而教師利用多媒體網絡教室，設計一個交互游戲型CAI課件，讓學生在游戲的情境中學習。當學生提前或在規定的時間里正確的完成任務，把關的“將”才會讓其進入下一關學習，否則仍然返回這一關，而且每一關都有不同的難度，越到最后，難度就越高，要求學生的反應速度更快。學生在這種人機挑戰、激烈競爭的氛圍中漸漸養成不服輸，敢于向困難挑戰的好習慣，促使學生積極主動學習，學生思維得到了很好的鍛煉，同時體現了教師是組織者、引導者和幫助者的地位，克服了傳統教學中整齊劃一的缺陷，照顧到了不同學生之間的水平差異，每一個學生都能有成功的體驗。而且，有利于培養學生競爭意識和學習毅力。
四、創設“對比”情境，培養學生辯異能力
形近而實異的數學知識，常常困繞著小學生的思維，使他們不能用正確的方法去解決那些看似相同，實際屬于兩個不同的概念的數學問題。在教學中，教師抓住學生理解上的迷茫處，通過有針對性的觀察、對比辨析，能使學生的思維沿著正確的方向發展。
如：在教學“面積和周長的對比”時，我利用課件創設了一個貼近學生生活的故事情境：（電腦動畫出示后教師敘述）在一個小山村里，橋西住著李伯伯一家，橋東住著王伯伯一家。這一年李伯伯家養了5只養，王伯伯家在自家門前開墾了一塊長20米，寬6米的長方形麥地，（動畫顯示麥地）望著綠油油的麥田王伯伯非常高興。（動畫顯示羊要吃麥田的樣子）為了保障麥子豐收，請大家給麥田想個辦法？
生1：把羊牽走就行。
師：可是羊還是會跑過來的。
生2：給麥田的四周圍上籬笆。
師：這是一個好辦法。（動畫顯示紅色的籬笆）
師：請同學觀察這幅圖你能提出什么數學問題？
生1：王伯伯需要筑多長的籬笆？
生2：王伯伯種了多大面積的麥子？……（搶著提出問題）。
師：同學們太棒了，提出了這么多問題，那我們就幫王伯伯算算好嗎？
教學中教師先幫助學生明確面積和周長的本質屬性：面積是指物體平面的大小，周長是指物體四周的長度。并讓學生說一說、指一指黑板的面積和周長的具體含義。
在教學中，幫助學生理解概念的本質特征后進行比較異同點，有利于學生對概念的深刻認識和準確理解，同時能提高學生分析問題的能力。
五、創設應用情境培養學生創造思維
數學來源于生活，生活中處處有數學。創設與學生緊密聯系的生活情境，讓學生親自體驗情境中的數學問題，這樣有利于學生理解情境中的數學問題，有利于使學生體驗生活中數學無處不在，同時培養了學生的觀察能力．創造能力和初步解決實際問題的能力，而多媒體計算機卻有模擬性強的功能，能很好的創設一個虛擬應用情境。
教學是師生的雙邊活動，教師的責任不僅在于自己把課講好，還要組織學生學好。上課伊始，環顧全班，示意學生坐正。目光向老師和黑板聚集，作好聽課準備。這樣，雖然講課慢了幾秒鐘，但營造了全班良好的學習氣氛。學生們集中的注意、與老師合拍的思維，其收益絕非搶先幾秒鐘講課可得。相反，如果上課鈴聲剛停，老師就急乎乎講新課，置學生的松散狀況于不顧。教學效果可想而知。所以，上課開始的幾秒鐘的安排是值得認真考慮的。汽車駕駛員把“寧停三分，不爭一秒”作為座右銘。我們數學教師也可借鑒。
二、新知引入，要慢些。
一般地說，數學知識是環環緊扣、節節相聯的，新知識是舊知識的延續和發展，新知識又是后續知識的基矗因此，新知的引人要慢些。引入新知時應留出時間讓學生找到新舊知識的連接點，并運用己有的知識嘗試構建新的知識結構。這樣可以使學生積極主動地獲取知識。
三、語言節奏，要慢些。
小學數學知識具有一定的抽象性。運用生動、形象的語言，把抽象的數學知識轉化為具體的、為學生易于理解接受的知識，是堤高課堂教學效率的一個重要方面。為了使課本知識變得淺顯通俗，使學生易懂易學，數學教師講課時語言要慢些。發問要慢，敘述概念要咬文嚼字，講授難點要注意停頓。同時，還要講究語調、節奏和情感。應根據不同需要賦予數學語言以不同的情感色彩。
四、課堂提問，要慢些。
在數學課堂教學中，特別是在公開課教學中，有的教師剛提問就讓學生舉手發言，或同時連續提好幾個問題，以致學生無言對答，或回答不到點子上，顛三倒四。究其原因，癥結是提問后，學生缺少分析、思考的時間。如果教師的提問慢些，提問后，有意識地圖出時間給學生思考，就能取得較理想的教學效果。例如：有位教師提出這樣一個問題：“給的分子加上4后，要使分數的大小不變，分母應加上幾？”問題提出后，有的學生立刻舉手，這位熟師沒有急于讓學生回答，而是勸他們再認真思考。當時，教室里寂靜無聲，但學生都在積極思索，等大部分學生舉手后，這位教師才讓他們回答。結果學生都能說出正確答案。試想，如果提問后不留出充裕的時間，而讓學生匆匆發言，多數學生一時能回答出來嗎？