時間：2023-04-06 18:34:10
導(dǎo)語：在初中初中數(shù)學(xué)論文的撰寫旅程中，學(xué)習(xí)并吸收他人佳作的精髓是一條寶貴的路徑，好期刊匯集了九篇優(yōu)秀范文，愿這些內(nèi)容能夠啟發(fā)您的創(chuàng)作靈感，引領(lǐng)您探索更多的創(chuàng)作可能。
在課堂上展開合作學(xué)習(xí)，可以在課堂的任何一個環(huán)節(jié)展開。其中，在開堂之后立即讓學(xué)生進(jìn)行合作探討，有利于學(xué)生明確課堂學(xué)習(xí)方向，能幫助學(xué)生找準(zhǔn)學(xué)習(xí)的要點。因此，開堂合作是較為重要的一環(huán)，也是合作教學(xué)的起點。
1.合作探討，激發(fā)興趣在“有理數(shù)”第一節(jié)“正數(shù)和負(fù)數(shù)”的教學(xué)課堂上，作者在簡要介紹了本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容之后，將班級分成八個小組，每一個小組選出一名小組長，以小組為單位探討本課的主要內(nèi)容。作者提出問題：生活中有哪些例子可以體現(xiàn)出正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念？每一個小組可以自由討論五分鐘。五分鐘后，每一個小組派出組員來舉例說明生活中正數(shù)和負(fù)數(shù)的例子。隨后，班級內(nèi)各小組展開了討論，在討論的過程中，作者發(fā)現(xiàn)有些小組通過課本來找例子，有些小組依靠生活經(jīng)驗來找例子，還有些小組直接在班級內(nèi)進(jìn)行了演示，課堂合作探討的氛圍很濃。五分鐘后，開始由每一個小組派組員來舉例子。A小組舉出了溫度計的例子，B小組舉出了汽車前進(jìn)和倒車的例子，C小組舉出了人向前行走和向后倒著走的例子，該組組員還在班級即興進(jìn)行演示說明：人前進(jìn)的距離可以看作正數(shù)，人后退的距離可以看作是負(fù)數(shù)……幾乎每一個小組都會有自己的看法和例子，開堂合作學(xué)習(xí)探討的效果很好。
2.重視點評，恰當(dāng)導(dǎo)入幾個小組的舉例完畢之后，作者抓住時機(jī)，趁著學(xué)生對正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念有了一定的了解和認(rèn)識之后，及時地引入第一節(jié)“正數(shù)和負(fù)數(shù)”的課本內(nèi)容。作者首先總結(jié)了八個小組的舉例，挑選了幾個比較容易分析的例子作為教學(xué)的素材來展開教學(xué)。通過開堂的合作探討學(xué)習(xí)方式，課堂教學(xué)的導(dǎo)入不再是教師一味地灌輸，而是由學(xué)生自由探討來發(fā)現(xiàn)新知識，這就更加有利于激發(fā)學(xué)生的求知欲，提高學(xué)習(xí)興趣，可以收到較好的學(xué)習(xí)效果。
二、課中合作，突破課程核心
初中數(shù)學(xué)教師必須要采取合理的教學(xué)方法來幫助學(xué)生有效地掌握每一章的知識要點，突破知識的難點，將每一章節(jié)的知識理解透、學(xué)習(xí)好。在課堂進(jìn)行的過程中，合理地插入一些課堂合作學(xué)習(xí)的教學(xué)活動就顯得非常必要。
1.合作設(shè)計，突出重點在學(xué)習(xí)“有理數(shù)”的課堂教學(xué)過程中，通過前半堂課的學(xué)習(xí)，作者首先通過情境導(dǎo)入的方式，向?qū)W生導(dǎo)入本節(jié)的主要內(nèi)容是歸納目前我們接觸的不同形式的數(shù)，學(xué)生在明確了本節(jié)課的內(nèi)容之后，按照作者的提問，初步歸結(jié)出目前所學(xué)過的數(shù)的種類有整數(shù)、分?jǐn)?shù)、負(fù)整數(shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)等。為了幫助學(xué)生進(jìn)一步明確本節(jié)課的重點知識，鞏固重點知識的內(nèi)容，明確重點知識的框架，作者開展了課中的合作學(xué)習(xí)活動。把全班學(xué)生分成八個小組，每一個小組選出一名小組長。作者在黑板上列出以下十個數(shù)：127，3.1416，0，2004，-85，-0.23456，10%，10.1，0.67，-89，并在這十個數(shù)的下方畫出四個圓圈，里面分別寫著正數(shù)集合、負(fù)數(shù)集合、整數(shù)集合和分?jǐn)?shù)集合，要求每一組的學(xué)生將這十個數(shù)進(jìn)行分類，然后挑選四個小組的同學(xué)上講臺將十個數(shù)對號入座地填入四個集合圓圈中。
2.恰當(dāng)講解，突破難點在學(xué)生進(jìn)行討論的過程中，作者在班級內(nèi)走動觀察，發(fā)現(xiàn)很多小組的同學(xué)開始展開了討論，并在草稿本上畫出了圓圈，試著將黑板上的十個數(shù)填入四個集合圓圈中。五分鐘之后，作者隨機(jī)挑選了四個小組的同學(xué)到講臺上，將小組內(nèi)的討論結(jié)果填入到集合圓圈內(nèi)。很快，四個小組均填寫完畢，通過檢查，四個小組的同學(xué)都正確地將這十個數(shù)進(jìn)行了分類。隨后，作者又在PPT展示出一個小組合作的題目：按照剛才對十個數(shù)的分類，你認(rèn)為有理數(shù)應(yīng)該如何進(jìn)行分類呢？畫出你認(rèn)為合理的分類框架。經(jīng)過五分鐘的合作討論后，作者隨機(jī)選出四個小組的組員在黑板寫出小組合作討論的結(jié)果，根據(jù)以上四個小組合作討論的結(jié)果，作者展開了本課重點知識的講解和歸結(jié)，其中，A小組和B小組的分類是正確的，C小組和D小組的分類是錯誤的，作者分別分析了A小組和B小組分類正確的原因，同時，也深入剖析了C小組和D小組分類錯誤的原因。在對合作題目進(jìn)行分析講解的過程中，其實就是對本節(jié)重點知識進(jìn)行深入分析和總結(jié)的過程。在課堂的后半段時間中，通過這樣的合作探討學(xué)習(xí)，絕大部分學(xué)生都掌握了有理數(shù)的概念、有理數(shù)的分類、有理數(shù)的基本框架等重點知識。因此，課中合作討論也是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中不可或缺的一種教學(xué)方式，依靠學(xué)生的自主探究和小組的討論合作學(xué)習(xí)，更有利于學(xué)生把握每一堂課的重點知識。與此同時，教師只要做好引導(dǎo)、總結(jié)工作，數(shù)學(xué)知識就可以很好地教授給學(xué)生們了。
三、課尾合作，加強(qiáng)成果鞏固
幾何畫板在幾何知識的教學(xué)中同樣有著非常好的應(yīng)用．幾何畫板不僅能夠清晰地呈現(xiàn)各種幾何圖形，而且應(yīng)用起來十分靈活，教師可以隨時改變圖象以及圖形中幾何體的位置關(guān)系，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步進(jìn)行思考．幾何畫板和常規(guī)的多媒體教具有著一些本質(zhì)差異．多媒體課件一般設(shè)計完成后就不能再變更，幾何畫板則不一樣，教師可以依據(jù)具體的教學(xué)情況、學(xué)生的思維以及知識的發(fā)散等靈活地進(jìn)行圖形的變換．這不僅能夠豐富課堂教學(xué)，也能夠促進(jìn)學(xué)生對于幾何知識有更為深入的理解與更加靈活的應(yīng)用實踐．例如，在講“勾股定理”時，教學(xué)的難點就在于證明勾股定理．教師可以應(yīng)用幾何畫板，引入“勾三股四弦五”的計算方法，在黑板上直接畫出三個正方形，讓學(xué)生探究這三個正方形的關(guān)系，在引導(dǎo)學(xué)生判斷正方形面積的大小過程中，進(jìn)一步讓學(xué)生理解三角形三邊之間的關(guān)系．在幾何畫板作圖的過程中，充分發(fā)揮了“度量面積”的功能．通過計算正方形的面積，教師可以驗證勾股定理的準(zhǔn)確性，并利用趙爽弦圖，引導(dǎo)學(xué)生加以推算證明．這些都體現(xiàn)了幾何畫板在幾何知識教學(xué)中的優(yōu)越性，合理地利用幾何畫板對于課堂教學(xué)效率的提升同樣有著積極的推動作用．
二、在數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用
在數(shù)學(xué)教學(xué)中，往往會涉及一些數(shù)據(jù)分析與處理的內(nèi)容．在這部分知識的教學(xué)中，幾何畫板同樣能夠起到很好的效用．?dāng)?shù)據(jù)的分析與處理能力是一種非常重要的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，這也是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中需要培養(yǎng)學(xué)生具備的一種重要技能．不少學(xué)生在面對龐雜且無規(guī)律的數(shù)據(jù)時，都會覺得找不到頭緒，讓他們對這些數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計與分析更是十分困難．有了幾何畫板后，能夠有效地給予學(xué)生引導(dǎo)，尤其是利用“制表”功能，能夠?qū)崿F(xiàn)數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確收集和有效統(tǒng)計，并且能迅速找出其中規(guī)律，這對于學(xué)生數(shù)據(jù)處理能力的培養(yǎng)與提升有很大的幫助．?dāng)?shù)學(xué)中有許多問題需要收集數(shù)據(jù)、統(tǒng)計數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)，學(xué)生通過工具測量獲得的數(shù)據(jù)不準(zhǔn)確，借助幾何畫板則能夠準(zhǔn)確地收集、統(tǒng)計數(shù)據(jù)，從而迅速找出其中的規(guī)律所在．例如，在探索“三角形內(nèi)角和公式”時，讓學(xué)生畫任意的三角形，再進(jìn)行測量、計算，由于量角器測量存在誤差，不一定能驗證定理，可以在學(xué)生探索后，再用幾何畫板產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)據(jù)進(jìn)行驗證．這個過程往往能夠幫學(xué)生較為準(zhǔn)確地找出其中隱藏的一些規(guī)律，并且?guī)椭鷮W(xué)生更好地認(rèn)識三角形內(nèi)角和的公式．這對于知識教學(xué)能夠起到積極的推動作用．
三、總結(jié)
其實數(shù)學(xué)題型萬變不離其宗，雖然數(shù)學(xué)題型有很多，但是考查的知識點卻是有限的．所以我們應(yīng)該從復(fù)雜的題型中概括出熟悉的知識點和熟悉的解題步驟，這樣才能找到解題的思路，獲得解題的技巧．初中數(shù)學(xué)試卷往往是最后一道題作為整套卷子的壓軸題，初中生在面對最后一道題時往往會望而卻步，即使并不是太難，但是也不容易找到解題的途徑，究其原因大都是因為這些題目對于初中生來說比較生疏．所以針對這種問題就要求教師在日常教學(xué)過程中向?qū)W生滲透化歸思想，讓學(xué)生在做題時把陌生的題型轉(zhuǎn)化為熟悉的題型，用不變應(yīng)萬變，利用原有的知識和經(jīng)驗來處理難題．
二、運用化歸思想，化抽象為具體
要想熟練的掌握化歸思想還需要在解決數(shù)學(xué)問題時，采取迂回的戰(zhàn)術(shù)而不是對問題直接的進(jìn)行攻擊，要通過變形把要解決的問題處理好．在化歸思想中需要化抽象為具體，把復(fù)雜的問題和抽象的題型通過這種化歸思想轉(zhuǎn)變?yōu)楹唵蔚膯栴}，具體的問題．教師在教學(xué)過程中需要培養(yǎng)學(xué)生的這種意識，在學(xué)生遇到難懂的問題時引導(dǎo)學(xué)生采取這種方法，把抽象的題型劃分成小部分，按照步驟各個突破．把抽象化為具體是初中數(shù)學(xué)化歸思想的重要體現(xiàn)，所以要求教師在課堂教學(xué)講解數(shù)學(xué)知識時注意對這種思想的滲透，在設(shè)計數(shù)學(xué)教學(xué)方法時也需要根據(jù)學(xué)生的需要，迎合學(xué)生的心理需求，同時要培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)學(xué)化歸思想的能力，不止在平常的數(shù)學(xué)做題中，還需要針對具體的生活問題運用相應(yīng)的化歸思想．因為數(shù)學(xué)是來源于生活的，我們需要把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中學(xué)到的思想運用到生活實際中，通過轉(zhuǎn)變自身的思維，達(dá)到化歸思想的最大運用效果．
三、運用化歸思想，化一般為特殊
在數(shù)學(xué)題型中有相對比較特殊的題型，這就需要教師在教學(xué)時引導(dǎo)學(xué)生對一般問題進(jìn)行思考，因為“特殊寓于一般之中”，一般情況解決之后，我們可以從一般解題思路中找到比較特殊的解題思想，從而在普遍的解題思想中受到啟發(fā)，更好地解決數(shù)學(xué)難題．
四、結(jié)語
學(xué)生的認(rèn)知水平雖然有高有低，但是每人都各有自己的優(yōu)勢。在教學(xué)中，教師要依據(jù)學(xué)生不同的優(yōu)勢，增加不同思維碰撞的機(jī)會，使學(xué)生能夠更全面、更具體地理解知識，促進(jìn)學(xué)生相互之間取長補(bǔ)短，做到優(yōu)勢互補(bǔ)。例如在課堂提問的活動中，教師就可以結(jié)合學(xué)生的能力、成績和智力，將學(xué)生分為不同的類型，給予適當(dāng)?shù)膯栴}予以回答，對于基礎(chǔ)稍微差一點的學(xué)生，教師就可以從基本的概念出發(fā)，讓學(xué)生回顧概念中的幾個要點，查看學(xué)生對概念的理解情況；對于基礎(chǔ)中等的學(xué)生，教師就可以向其拋出中等問題，幫助其深層地理解概念的內(nèi)涵，逐步地掌握一般的做題方法；對于程度較好的學(xué)生，教師就可以提問一些實際的問題，使學(xué)生在知識應(yīng)用時能夠靈活自如，可以選擇較便捷的做題方法。在實際教學(xué)中，教師不僅要了解學(xué)生的成績、認(rèn)知程度，更要了解學(xué)生的個性、思維習(xí)慣，對班里每個學(xué)生的個性做到心中有數(shù)，這樣才能落實好“因材施教”。通過學(xué)生的分層，使教師掌握了班里每個學(xué)生的實際情況，從而能夠快速地幫助學(xué)生找到適合自己的學(xué)習(xí)方法。
二、授課分層，建立過程梯度化
同樣的問題，每個學(xué)生的困惑點可能大有不同。面對問題，教師要避免自己灌輸式地講述，先讓學(xué)生闡述自己對問題的理解和困惑，針對不同學(xué)生的思維障礙進(jìn)行交流討論，對不同的學(xué)生進(jìn)行重點不同的指導(dǎo)，以做到對癥下藥。例如在學(xué)習(xí)有關(guān)“倒數(shù)”的知識時，教師就可以通過問題來建立知識分層，引導(dǎo)學(xué)生的自學(xué)探討，對倒數(shù)的概念有一個簡單地理解，通過不同層次學(xué)生的回答來掌握學(xué)生的理解情況；然后引導(dǎo)學(xué)生找出概念中的關(guān)鍵詞重點理解，學(xué)生在反復(fù)斟酌下能夠找到“兩個數(shù)、乘積是1、互為倒數(shù)”這樣的關(guān)鍵詞，從而逐步理解了互為倒數(shù)所滿足的條件，從中總結(jié)出了一般的做題方法；然后展開相應(yīng)的練習(xí)，讓學(xué)生兩個人相互提問，展開對倒數(shù)的練習(xí)；在學(xué)生之間的不斷提問中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了兩個特殊的數(shù)字“1和0”，從而推進(jìn)了學(xué)生的深層探究，使學(xué)生得到了“1的倒數(shù)是1，0沒有倒數(shù)”的結(jié)論。通過這樣的授課分層，使每個學(xué)生都能夠從基礎(chǔ)開始學(xué)起，在課堂練習(xí)中自主的發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。
三、作業(yè)分層，結(jié)合能力差異化
作業(yè)布置要充分考慮學(xué)生的個體能力，教師要充分地考慮課堂內(nèi)容所涉及到的知識點，建立易、中、難三種類型的作業(yè)題，使每個學(xué)生都能找到適合自己發(fā)展的類型，既要讓學(xué)生掌握課堂所講的知識，又進(jìn)一步提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。例如在學(xué)習(xí)“解二元一次方程組”時，教師就可以從幾個方面來布置作業(yè)，先給學(xué)生留一些像“x+y=25，x=y+6”這樣的簡單方程組，以訓(xùn)練學(xué)生對一般解題方法的掌握，練習(xí)一般的代入法及計算；然后留一些像“3x+y=8，2x+3y=10”的方程組，讓學(xué)生使用帶入法的同時，可以進(jìn)行革新，嘗試著找出其中某一個未知數(shù)的最小公倍數(shù)，再利用消元的方法變?yōu)橐辉淮畏匠淌絹砬蠼猓造`活學(xué)生的做題方法，這樣逐步建立解決問題的經(jīng)驗；最后上升到利用二元一次方程組解決應(yīng)用題，讓學(xué)生嘗試用二元一次方程組來解決生活中的問題，使學(xué)生體會到數(shù)學(xué)知識在生活中的應(yīng)用價值，訓(xùn)練學(xué)生的思維能力和實踐應(yīng)用能力。通過這樣的作業(yè)分層，可以使學(xué)生逐步地理解二元一次方程式的解法和應(yīng)用，進(jìn)一步鞏固學(xué)生的基礎(chǔ)知識。學(xué)生在問題解決環(huán)節(jié)，有針對性地傾聽、理解，提高了獨立完成作業(yè)的能力。
四、激勵分層，提高學(xué)習(xí)主動化
1．個案1—由失敗中獲取有用的信息
例1若a、b、c為互不相等的實數(shù)，且x／（a－b）＝y(tǒng)／（b－c）＝z／（c－a），求x＋y＋z．
解：由等比定理得
x／（a－b）＝y(tǒng)／（b－c）＝z／（c－a）
①
＝（x＋y＋z）／［（a－b）＋（b－c）＋（c－a）］．
②
但是，②式的分母為零
（a－b）＋（b－c）＋（c－a）＝0，
③
我們的解題努力失敗了．
評析：這是一個失敗的解題案例，文［3］談到了調(diào)整解題方向后的一些處理，其實都用到③式．所以，失敗的過程恰好顯化了題目的一個隱含條件，這是一個積極的收獲，當(dāng)我們將不成功的②式去掉，把目光同時注視①式與③式時，①式使我們看到了兩條直線重合：
xX＋yY＋z＝0，
④
（a－b）X＋（b－c）Y＋（c－a）＝0．
⑤
而③式又使我們看到了直線⑤通過點
X＝1，
Y＝1．
作一步推理，直線④也通過點（1，1），于是
x＋y＋z＝0．
與文［3］相比，這是一個不無新意的解法，其誕生有賴于兩點：
第1，從失敗的解題中獲取一條有用的信息，即③式．
第2，對①式、③式都作“著眼點的轉(zhuǎn)移”，從解析幾何的角度去看它們．
有了這兩步，剩下來的工作充其量在30秒以內(nèi)就可以完成．
2．個案2—尚未成功不等于失敗
設(shè)f（n）為關(guān)于n的正項遞增數(shù)列，M為大于f（1）的正常數(shù)，當(dāng)用數(shù)學(xué)歸納法來證不等式
f（n）＜M（n∈N）
①
時，其第2步會出現(xiàn)這樣的情況：假設(shè)f（k）＜M，則
f（k＋1）＝f（k）＋a（a＝f（k＋1）－f（k）＞0）＜M＋a，
②
無法推出f（k＋1）＜M．
據(jù)此，許多人建議，用加強(qiáng)命題的辦法來處理，還有人得出這樣的命題（見文［4］P．32及文［5］P．12）：
命題設(shè)｛f（n）｝為關(guān)于n的正項遞增數(shù)列，M為正常數(shù)，則不等式f（n）＜M（n∈N）不能直接用數(shù)學(xué)歸納法證明．
評析：不等式①沒能用遞推式②證出來，有兩種可能，其一是數(shù)學(xué)歸納法的功力不足，其二是數(shù)學(xué)歸納法的使用不當(dāng)．把“不會用”當(dāng)作“不能用”，其損失是無法彌補(bǔ)的．
我們分析上述處理的“尚未成功”，關(guān)鍵在于遞推式②，這促使我們思考：f（k＋1）與f（k）之間難道只有一種遞推關(guān)系嗎？
確實，有的函數(shù)式其f（k＋1）與f（k）之間的關(guān)系很復(fù)雜，無法用數(shù)學(xué)歸納法來直接證明；而有的關(guān)系則較簡單，僅用加減乘除就可以表達(dá)出來．但無論是“很復(fù)雜”還是“較簡單”，其表達(dá)式都未必惟一，文［6］P．278給出過一個反例，說明上述“命題”不真：
例2用數(shù)學(xué)歸納法證明
f（n）＝1＋（1／2）＋（1／22）＋…＋（1／2n－1）＜2．
講解：當(dāng)n＝1時，命題顯然成立．
現(xiàn)假設(shè)f（k）＜2，則
f（k＋1）＝f（k）＋（1／2k）＜2＋（1／2k），
由于2＋（1／2k）恒大于2，所以數(shù)學(xué)歸納法證題尚未成功．
然而，這僅是“方法使用不當(dāng)”．換一種遞推方式，證明并不困難．
f（k＋1）＝1＋（1／2）f（k）＜1＋（1／2）×2＝2．
下面一個反例直接取自文［4］的例2．
例3求證（1／1！）＋（1／2！）＋（1／3！）＋…＋（1／n！）＜2．
證明：當(dāng)n＝1時，命題顯然成立．
假設(shè)n＝k時命題成立，則
（1／1！）＋（1／2！）＋…＋（1／k！）＋［1／（k＋1）！］
＝1＋（1／2）＋（1／3）·（1／2！）＋…＋（1／k）·［1／（k－1）！］＋［1／（k＋1）］·（1／k！）＜1＋（1／2）｛1＋（1／2！）＋…＋［1／（k－1）！］＋（1／k！）｝＜1＋（1／2）×2＝2．
這表明n＝k＋1時命題成立．
由數(shù)學(xué)歸納法知，不等式已獲證．
3．個案3—對尚未成功的環(huán)節(jié)繼續(xù)反思
文［7］有很好的立意也有很好的標(biāo)題，叫做“反思通解·引出簡解·創(chuàng)造巧解”，它贊成反思“失敗”并顯示了下面一道二次函數(shù)題目的調(diào)控過程：
例4二次函數(shù)f（x）＝ax2＋bx＋c的圖象經(jīng)過點（－1，0），是否存在常數(shù)a、b、c使不等式
x≤f（x）≤（x2＋1）／2
①
對一切實數(shù)x都成立？若存在，求出a、b、c；若不存在，說明理由．
講解：作者從解兩個二次不等式
（x2＋1）／2－f（x）≥0，
f（x）－x≥0．
開始（解法1），經(jīng)過數(shù)形結(jié)合的思考（解法2）等過程，最后“經(jīng)學(xué)生相互討論后得到巧解”（解法4）：由基本不等式
（x2＋1）／2≥（x＋1）／22≥x
②
對一切實數(shù)x都成立，猜想
f（x）＝（x＋1）／22．
③
經(jīng)檢驗，f（x）滿足條件f（－1）＝0，所以f（x）存在，a＝（1／4），b＝（1／2），c＝（1／4）．
我們不知道命題人的原始意圖是否只考慮“存在性”，按慣例，“若存在，求出a、b、c”應(yīng)該理解為“若存在，求出一切a、b、c”．從這一意義上來看上述巧解，那就存在一個明顯的邏輯疑點：誠然，③式是滿足①的一個解，但是在x與（x2＋1）／2之間的二次函數(shù)很多，如
f1（x）＝（1／2）x＋（1／2）（x2＋1）／2，
f2（x）＝（1／3）x＋（2／3）（x2＋1）／2，
f3（x）＝（1／4）x＋（3／4）（x2＋1）／2，
……
這當(dāng)中有的經(jīng)過點（－1，0），有的不經(jīng)過點（－1，0），巧解已經(jīng)驗證了f1（x）經(jīng)過點（－1，0）從而為所求，我們的疑問是：怎見得其余的無窮個二次函數(shù)就都不過點（－1，0）呢？
也就是說，“巧解”解決了“充分性”而未解決“必要性”，解決了“存在性”而未解決“惟一性”．究其原因，是未找出x與（x2＋1／2）之間的所有的二次函數(shù)．抓住這一尚未成功的環(huán)節(jié)繼續(xù)思考，我們想到定比分點公式，①式可以改寫為
f（x）＝｛［（x2＋1）／2］＋λx｝／（1＋λ）（λ＞0），
④
或f（x）＝λ（x2＋1）／2＋（1－λ）x（0＜λ＜1）．⑤
一般情況下λ應(yīng)是x的正值函數(shù)（文［8］默認(rèn)λ為常數(shù)是不完善的；同樣，2000年高考理科第20題（2），對cn＝an＋bn設(shè)
an＝cncos2θ，
bn＝cnsin2θ
是錯誤的），但由于f（x）為二次函數(shù)，λ只能為常數(shù)．為了在④中求出λ，把f（－1）＝0代入④即可求出λ＝1（或⑤中λ＝1／2）．
②式與④式的不同，反映了特殊與一般之間的區(qū)別，反映了“驗證”與“論證”之間的區(qū)別．其實，原［解法1］出來之后，立即就可以得出②式，與是否應(yīng)用“基本不等式”無關(guān)．同樣，原［解法1］中作者思考過的“推理是否嚴(yán)密”在“巧解”中依然是個問題．這種種情況說明，我們不僅要對解題活動進(jìn)行反思，而且要對“反思”進(jìn)行再反思．下面一個解法請讀者思考錯在哪里？
解：已知條件等價于存在k＜0，使
［f（x）－x］［f（x）－（x2＋1）／2］＝k≤0，
把x＝－1時，f（x）＝0代入得k＝－1，
從而［f（x）－x］［f（x）－（x2＋1）／2］＝－1，
即f2（x）－［（x＋1）2／2］f（x）＋（x3＋x＋2）／2＝0．
由此解出的f（x）為無理函數(shù)，不是二次函數(shù)，所以本題無解．
作為對反思進(jìn)行再反思的又一新例證，我們指出文［9］例2（即1997年高考難題）第1問，可以取λ＝a（x2－x）∈（0，1）（λ是x的函數(shù)），則
f（x）＝a（x1－x）（x2－x）＋x
＝λx1＋（1－λ）x，
據(jù)定比分點的性質(zhì)有x＜f（x）＜x1．
1羅增儒．解題分析—解題教學(xué)還缺少什么環(huán)節(jié)？中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，1998，1～2
2羅增儒．解題分析—再談自己的解題愚蠢．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，1998，4
3羅增儒．解題分析—人人都能做解法的改進(jìn)．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，1998．7
4李宗奇．調(diào)控函數(shù)及其應(yīng)用．中學(xué)數(shù)學(xué)雜志（高中），2000，3
5王俊英．一類數(shù)學(xué)歸納法能否使用問題的判定．中學(xué)數(shù)學(xué)，1987，9
6羅增儒．?dāng)?shù)學(xué)解題學(xué)引論．西安：陜西師范大學(xué)出版社，1997，6
7曹軍．反思通解·引出簡解·創(chuàng)造巧解．中學(xué)數(shù)學(xué)，2000，6
2014年中考數(shù)學(xué)大綱中這樣闡述了命題的原則：“體現(xiàn)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的評價理念，有利于促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)，全面落實《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》所設(shè)立的課程目標(biāo)；有利于改變學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，提高學(xué)習(xí)效率；有利于高中階段學(xué)校綜合有效評價學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)狀況。”在以往的教學(xué)經(jīng)驗中都是“填塞式”的數(shù)學(xué)教學(xué)，只給學(xué)生大量的數(shù)學(xué)公式以及大量的聯(lián)系題型，題海戰(zhàn)術(shù)在數(shù)學(xué)教學(xué)中以讓屢見不鮮。但像數(shù)學(xué)這樣具有高邏輯思維的科學(xué)學(xué)科需要的是對一個知識點的理解和融會貫通，是需要學(xué)生們進(jìn)行一些思考來獲得。數(shù)學(xué)知識的教授，學(xué)生若能明白其中的巧妙之處，就能對相關(guān)聯(lián)的知識理解達(dá)到自然而然，水到渠成的程度。所以，我們要改變教學(xué)理念，更多發(fā)掘?qū)W生們的創(chuàng)新思維，質(zhì)疑思維，更多鍛煉他們的邏輯思維，然他們理性的面對數(shù)學(xué)科學(xué)。在試題命題中靈活出題，更多體現(xiàn)新的教學(xué)理念。比如充分利用課本習(xí)題：我國宋朝數(shù)學(xué)家楊輝在他的著作《詳解九章算法》中提出右下表，此表揭示了（n為非負(fù)整數(shù)）展開式的各項系數(shù)的規(guī)律，例如：它只有一項，系數(shù)為1；它有兩項，系數(shù)分別為1，1；它有三項，系數(shù)分別為1，2，1；它有四項，系數(shù)分別為1，3，3，1；……根據(jù)以上規(guī)律，展開式共有五項，系數(shù)分別為:這樣的題型來自課本但同樣有其新意。
二、重視學(xué)生數(shù)學(xué)思考能力和解決問題能力的發(fā)展，并作出有益的評價
在思考教師在改進(jìn)自己的教學(xué)理念時，我們也會考慮到，學(xué)生數(shù)學(xué)思考能力和解決問題能力的發(fā)展。除了基本知識點的教授，教師要積極鼓勵學(xué)生提出問題，引導(dǎo)學(xué)生思考更多的解題方式。如三角函數(shù)的解題，除了最基本的解法，有沒有其他的解題思路可以向?qū)W生提出這樣的問題。也可以多結(jié)合生活實例，將所教的基本數(shù)學(xué)知識用于解決生活問題，由學(xué)生來提供給思路。例如學(xué)了概率統(tǒng)計后，提問同學(xué)們我們可以再生活中運用到哪些需要我們進(jìn)行統(tǒng)計和概率計算的地方？舉出實例后，要求同學(xué)們實際去進(jìn)行計算，在計算、測量的過程中記錄具體的操作過程，并寫出計算過程出現(xiàn)的問題，在課堂中與同學(xué)、老師交流討論。總之就是提供學(xué)生跟多的機(jī)會去思考，去真正運用所學(xué)來解決問題。也要教師的命題充滿實際解決的意味，如出題為：?街心花園有一塊長為a米的正方形草坪，經(jīng)統(tǒng)一規(guī)劃后，南北方向要加長2米，東西方向要縮短2米。問改造后長方形草坪的面積是多少？
三、體現(xiàn)義務(wù)教育的性質(zhì)，教學(xué)面向全體學(xué)生，關(guān)注每個學(xué)生的發(fā)展
初中數(shù)學(xué)的教育要體現(xiàn)義務(wù)教育的性質(zhì)，中考考試也應(yīng)該體現(xiàn)義務(wù)教育的性質(zhì)。要關(guān)注全體的學(xué)生，關(guān)注每個學(xué)生的發(fā)展。從不同的特性出發(fā)，有針對性的教學(xué)，比如一些天生邏輯思維很強(qiáng)的學(xué)生，教師及要針對這樣的學(xué)生對給與一些新的思維點，幫他們延展擴(kuò)充課外知識。而對于邏輯性不強(qiáng)，對數(shù)學(xué)知識的理解有一定的困難的學(xué)生，教師要給與更多的耐心，幫助他們認(rèn)真了解解題方式，靈活運用教授的方法，從多個不同角度提供解題思路，讓學(xué)生有興趣學(xué)下去并且樂于學(xué)習(xí)和解決問題。同時不要忘了多對他們進(jìn)行鼓勵，給予更多信心。教師在出題時也要體現(xiàn)義務(wù)教育的性質(zhì)，面向全體學(xué)生，命題方向是大家所熟悉的日常生活中的，如：命題2001年某省體育事業(yè)成績顯著，據(jù)統(tǒng)計，在有關(guān)大賽中獲得獎牌數(shù)如右表所示(單位：枚)如果只獲得1枚獎牌的選手有57人，那么榮獲3枚獎牌的選手最多有多少人？
四、試題的考查要體現(xiàn)其公平性，科學(xué)合理地制定參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)，尊重不同的解答方式和表現(xiàn)形式
在中考試題的考察中，教師要在平時的教學(xué)聯(lián)系中題型公平性，科學(xué)合理地制定參考答案，同時尊重不同的解題方式和表現(xiàn)形式。試題考察時靈活編寫出的，學(xué)生學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識若能真正融會貫通，那么他的解題思維和解題方式就可以有很多種，這樣我們的標(biāo)準(zhǔn)答案就要科學(xué)、靈活適用。如教師命題：一艘輪船和一艘快艇沿相同路線從甲港出發(fā)到乙港行駛過程中路程隨時間變化的圖像．
根據(jù)圖像解答下列問題：
（1）在輪船快艇中，哪一個的速度較大？
（2）當(dāng)時間x在什么范圍內(nèi)時，快艇在輪船的后面？當(dāng)時間x在什么范圍內(nèi)時，快艇在輪船的前面？
（3）問快艇出發(fā)多長時間趕上輪船有的學(xué)生他的解題方式不是常規(guī)的方式，但同樣能運用來解題，或許還是最為簡便的一種解題方式，教師就應(yīng)該判其正確，并鼓勵他們更多這樣進(jìn)行思考。不能用標(biāo)準(zhǔn)把所有學(xué)生都“標(biāo)準(zhǔn)化”，而是讓他們靈活發(fā)展，在數(shù)學(xué)的世界里自由翱翔，在中考的考試中游刃有余。
五、讓試題背景具有現(xiàn)實性，符合學(xué)生所具有的數(shù)學(xué)現(xiàn)實和其他學(xué)科現(xiàn)實
中考試題的命題背景要具有現(xiàn)實性，要輻射學(xué)生所具有的數(shù)學(xué)現(xiàn)實和其他學(xué)科現(xiàn)實。初中數(shù)學(xué)的應(yīng)用在實際生活中可謂應(yīng)用的最為廣泛，初中數(shù)學(xué)秉承義務(wù)教育的宗旨，要對全體學(xué)生基本生活教育進(jìn)行教授，這樣自然也包括了數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用。所以教師在進(jìn)行試題命題時，要考慮到試題背景的現(xiàn)實性，讓我們的試題也來源于我們生活中常常會用到的數(shù)學(xué)解決問題的情況。例如某校長暑假將帶領(lǐng)該校市級“三好學(xué)生”去北京旅游，甲旅行社說：“如果校長買全票一張，則其余的學(xué)生可享受半價優(yōu)惠.”乙旅行社說：“包括校長在內(nèi)全部按票價的六折優(yōu)惠.”若全票價為240元，兩家旅行社的服務(wù)質(zhì)量相同，根據(jù)“三好學(xué)生”的人數(shù)你認(rèn)為選擇哪一家旅行社才比較合算。對試題的命題要符合學(xué)生所具有的數(shù)學(xué)現(xiàn)實，對于其他學(xué)科也要有所聯(lián)系。若能有效結(jié)合這些方面，學(xué)生所學(xué)的數(shù)學(xué)知識才能真正對他們有用，教師的教學(xué)目的也才算真正達(dá)到。
六、加強(qiáng)對學(xué)生思維水平與思維特征的考查
中考數(shù)學(xué)的考察，一定要注意加強(qiáng)對學(xué)生思維水平與思維特征的考察。中考試題的命題過程要考慮到學(xué)生的思維特點。教師在平時的試題練習(xí)過程中，要選擇靈活性大，基礎(chǔ)知識考察準(zhǔn)確的試題給學(xué)生們進(jìn)行練習(xí)。讓學(xué)生們的解題思維體現(xiàn)在練習(xí)題中，教師從學(xué)生們所做的練習(xí)中發(fā)現(xiàn)不同學(xué)生的思維水平和思維特征，然后有針對性的引導(dǎo)和培養(yǎng)。在讓他們掌握基礎(chǔ)知識的同時鍛煉他們的思維方式，竭力提高他們的思維水平。這是對他們數(shù)學(xué)考試的培訓(xùn)，也是對學(xué)生們思維方式，解決問題能力的培養(yǎng)。
七、結(jié)語
良好的開端是成功的一半。教師講課時，精彩有趣的導(dǎo)入會吸引學(xué)生的注意力，使學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)興趣。因此，教師在上課前一定要抓住學(xué)生的特點和愛好，根據(jù)所講內(nèi)容，設(shè)計好新課的導(dǎo)入。比如，教師可以用名人名言、名人趣事、科學(xué)見聞或者來自于生活的順口溜等導(dǎo)入新課，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。這樣，學(xué)生會感覺到數(shù)學(xué)課原來也和社會生活息息相關(guān)，從而產(chǎn)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣，將注意力集中到課堂上來，主動參與數(shù)學(xué)教學(xué)活動。例如，我在講《圓》那一章時，問學(xué)生知不知道祖沖之，學(xué)生興趣盎然，紛紛表示在歷史課上學(xué)到過有關(guān)他的介紹。于是，我便趁機(jī)和學(xué)生講了祖沖之的故事以及他為我國數(shù)學(xué)做出的貢獻(xiàn)。學(xué)生聽得很認(rèn)真，帶著對祖沖之的興趣，開始了對圓的有關(guān)知識的學(xué)習(xí)。這樣的導(dǎo)入不僅激發(fā)了學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，還培養(yǎng)了學(xué)生的愛國情懷。此外，為了激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，我曾經(jīng)讓學(xué)生剪紙，讓學(xué)生準(zhǔn)備一張紙，自己剪出梯形、等腰三角形、直角三角形以及菱形等圖形，并從直覺上判斷出它們的邊、高，從而熟練地掌握這些圖形的面積的計算。這樣的開場白，不僅營造了良好的教學(xué)情境，還成為啟迪學(xué)生思維、強(qiáng)化學(xué)生記憶和培養(yǎng)學(xué)生能力的“催化劑”。
二、精心設(shè)計課堂提問是搞好課堂教學(xué)管理的主要途徑
有效的課堂教學(xué)管理還體現(xiàn)在課堂提問上。課堂提問要面向全體學(xué)生，讓每個學(xué)生都感覺到自己沒有被忽視、被遺忘，都能發(fā)現(xiàn)自己的閃光點。課堂提問是一門藝術(shù)，更是課堂教學(xué)的重要環(huán)節(jié)。有經(jīng)驗的教師的課堂提問巧妙、到位，還能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。例如，對基礎(chǔ)不好的學(xué)生提問，教師要注意問題的基礎(chǔ)性，問題要偏容易些。這樣，他們會獲得一種成功感，一旦學(xué)生有了這種感覺，他們的精力和注意力就會格外集中。尤其是教師在講課的過程中，千萬不能提太難的問題，這樣既浪費了課堂上的時間，還會大大影響學(xué)生的自信，使學(xué)生產(chǎn)生一種挫敗感。另外，教師在課堂教學(xué)中還應(yīng)注意提問的語氣、方法和技巧，以增強(qiáng)學(xué)生的自信心。如果學(xué)生答不上來，教師要多鼓勵，千萬不能懲罰或訓(xùn)斥，否則會適得其反。
三、突出學(xué)生的主體地位是搞好課堂教學(xué)管理的重要條件
人人都有表現(xiàn)欲，尤其是剛升入初中的學(xué)生，他們的學(xué)習(xí)熱情和積極性都很高。因此，為了得到更好的課堂教學(xué)管理效果，教師要多組織學(xué)生進(jìn)行合作探究式學(xué)習(xí)，突出學(xué)生的主體地位，充分發(fā)揮他們的能動性。教師要精心安排和組織，比如，建立課堂討論小組和學(xué)習(xí)互助組等，爭取讓每個學(xué)生都積極參與到教學(xué)當(dāng)中去。例如，我通常在講了一個題型后，便組織學(xué)生在小組內(nèi)自己出題，然后交換來做，看看誰出的題新穎準(zhǔn)確，比比誰做得既快又好。這樣，一下子就調(diào)動起了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，提高了每一個學(xué)生的參與度，既考查了學(xué)生對所學(xué)內(nèi)容的掌握情況，又培養(yǎng)了他們良好的競爭與合作意識。
四、合理的評價是搞好課堂教學(xué)管理的有力保障
課堂教學(xué)中，合理的教學(xué)評價起著很重要的作用，不僅能調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，還能增強(qiáng)學(xué)生的自信。初中學(xué)生雖然年齡小，但也很愛面子。隨著素質(zhì)教育的實施和深入，課堂教學(xué)評價也應(yīng)有所改變，應(yīng)立足于學(xué)生的發(fā)展，突出學(xué)生的主體地位，增強(qiáng)學(xué)生的自信。課堂教學(xué)中，教師不僅是知識的傳授者，還應(yīng)是組織者和引導(dǎo)者，在評價學(xué)生時，既要注意學(xué)生對知識和技能的掌握，又要關(guān)注學(xué)生的情感、態(tài)度和價值觀。教師要經(jīng)常使用鼓勵性的語言，比如，“你再試一下，會得到意想不到的效果。”“你已經(jīng)不錯了，再認(rèn)真思考一下。”“你真棒！”這些語言的使用會大大增強(qiáng)學(xué)生的自信，幫助學(xué)生掌握和運用所學(xué)知識。
翻開新教材，圖文并貌的版面定會讓你耳目一新，仿佛置身于現(xiàn)實生活之中，許多例題、習(xí)題都是曾經(jīng)親身體驗過的生活經(jīng)驗。這些源于生活經(jīng)驗的內(nèi)容無不訴說著讀者與現(xiàn)實世界的天然關(guān)系，從而使抽象的數(shù)學(xué)變成了具體的可以感知的經(jīng)驗。
1.1有關(guān)數(shù)與代數(shù)
從新教材對于七年級上冊有理數(shù)和八年級上冊實數(shù)這兩章的處理方式，我們可以清楚地看到新教材對學(xué)生生活經(jīng)驗的關(guān)注。在有理數(shù)這一章以“數(shù)怎么不夠用了”開篇，從海拔、天氣預(yù)報中的負(fù)數(shù)等身邊的生活經(jīng)驗引入負(fù)數(shù)的概念及其意義。對于有理數(shù)的運算，則讓學(xué)生借助已有的相關(guān)知識和經(jīng)驗，通過歸納、類比等方式自己去獲得有關(guān)的運算法則和運算率。對于實數(shù)這一章，新教材創(chuàng)造性地將其安排在“勾股定理”之后，目的就是借助于勾股定理的經(jīng)驗，讓學(xué)生對無理數(shù)有一種感性的認(rèn)識，使他們自發(fā)地去擴(kuò)大數(shù)的范圍---尋找實數(shù)。
代數(shù)內(nèi)容的開始是一個有挑戰(zhàn)性的問題情境，讓學(xué)生回顧生活中解決問題的經(jīng)驗，引導(dǎo)他們自然而然地接觸、使用代數(shù)符號，以感受其產(chǎn)生的必要性和作用。七年級上冊第三章第一節(jié)就是“字母能表示什么”，從日常經(jīng)驗出發(fā)，恰當(dāng)?shù)奶幚矸绞酵怀隽藬?shù)學(xué)源于經(jīng)驗、源于解決問題的實際需要。其實，數(shù)學(xué)中的函數(shù)和方程的處理也均是從發(fā)生在學(xué)生的身邊的現(xiàn)象、問題等入手的。
1.2關(guān)于圖形與空間
新教材的編制，突破了立體圖形、立體幾何屬于高中專屬的傳統(tǒng)，并大膽的將蓋章內(nèi)容放在了七年級上冊第一章；教材在辯證的分析了邏輯關(guān)系和形式關(guān)系的基礎(chǔ)上，確立了理解邏輯關(guān)系是數(shù)學(xué)推理證明的核心。“鼓勵學(xué)生首先使用具體的、形象化的經(jīng)驗中的自然語言表達(dá)相應(yīng)的邏輯關(guān)系，規(guī)范的形式化證明則稍侯進(jìn)行[2]”。這與該階段學(xué)生認(rèn)知心理的發(fā)展極為吻合。
1.3關(guān)于統(tǒng)計和概率
統(tǒng)計是源于生活經(jīng)驗，依托于生活經(jīng)驗，離開了實際背景、特定的含義它是沒有任何意義的符號。新教材采取了設(shè)立實踐活動，使學(xué)生運用周邊熟悉的事、物以及經(jīng)驗等，從不同的角度對數(shù)據(jù)進(jìn)行感受、估計和處理。時空的引導(dǎo)學(xué)生從自己的經(jīng)驗中尋找身邊的不確定的現(xiàn)象；這樣激發(fā)了學(xué)生對數(shù)學(xué)的喜愛，更大程度上與新課標(biāo)接軌。
2教材資源的不足
雖然教材中數(shù)學(xué)史知識和課程內(nèi)容結(jié)合的比較緊密，但我認(rèn)為有一些材料的處理仍有值得改進(jìn)的地方。
2.1教材偏向男性
對于數(shù)學(xué)方面有貢獻(xiàn)的女性僅有一例（七年級下冊第208頁“剪紙中的對稱”）。考慮到某些數(shù)學(xué)活動不應(yīng)該是男人的專利，也應(yīng)該有些部分是由女性來從事的[3]。側(cè)面的忽視了性別的重要性；從我國的傳統(tǒng)文化來講，制約中國已久的男尊女卑的封建思想是不是又在一定程度上又影響著學(xué)生呢?
2.2習(xí)題的死板
從課堂練習(xí)、課后習(xí)題的設(shè)計來看，新教材難免又落入了應(yīng)試教育的窠臼。不可否認(rèn)部分練習(xí)、習(xí)題或多或少地還是顧及到了與經(jīng)驗的聯(lián)系，然而這里面需要說明的是:每節(jié)的習(xí)題或者每章的復(fù)習(xí)題中所引入的生活經(jīng)驗與每章節(jié)前面的經(jīng)驗實例如出一轍，看不出有何發(fā)展和豐富。這究竟是為了鞏固剛剛學(xué)習(xí)的純粹數(shù)學(xué)理論，還是為了引導(dǎo)學(xué)生去創(chuàng)造性地應(yīng)用“后來經(jīng)驗”？當(dāng)然也不是說剛剛學(xué)
習(xí)的知識不需要鞏固，但是不需要大篇幅的進(jìn)行所謂的“鞏固”。說得深一點，新教材習(xí)題的處理還是以應(yīng)試教育為航標(biāo)而設(shè)計的，致使習(xí)題以外有關(guān)經(jīng)驗的引入都顯得牽強(qiáng)。
2.3過度的“減負(fù)”阻礙了經(jīng)驗的發(fā)展
從習(xí)題的數(shù)量來看，新教材又在很大程度上跟隨素質(zhì)教育的減負(fù)。很明顯，這使本來在“后來經(jīng)驗”的發(fā)展與豐富方面就力不從心的習(xí)題處理方面，更加捉襟見肘[4]。然而，并不是要否定減負(fù)的意思，只是想新教材能否再設(shè)計一個新的欄目來彌補(bǔ)在這方面的不足，或者是對新教材中原有的“想一想”、“做一做”、“議一議”以及“課后的習(xí)題”等進(jìn)行異步分的實質(zhì)性的修改，將其內(nèi)容更豐富些；在一定程度上促進(jìn)學(xué)生“后來經(jīng)驗”的豐富和發(fā)展，實現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)經(jīng)驗的提升。但是話說回來，經(jīng)驗的重要性并不是意味著教學(xué)上的經(jīng)驗，。事實上，“在數(shù)學(xué)中研究的不僅是直接從現(xiàn)實世界抽象出來的量的關(guān)系和空間形式，而且還研究那些在數(shù)學(xué)內(nèi)部以已經(jīng)形成的數(shù)學(xué)概念和理論為基礎(chǔ)定義出來的關(guān)系和形式”[5]。因此，只有超越了了現(xiàn)實中的數(shù)學(xué)經(jīng)驗，數(shù)學(xué)才能獲得無限的發(fā)展。
綜合上面存在的問題，應(yīng)當(dāng)給予新教材的建設(shè)更多的關(guān)注，先教材也應(yīng)該充分的吸收歷史上的優(yōu)秀的教育理論，并結(jié)合當(dāng)代的教育理念進(jìn)行創(chuàng)新，這樣才能推進(jìn)我們教育的改革，教材的編寫也應(yīng)該遵循這樣的原則。
3教學(xué)存在的弊端
3.1徹底的否定傳統(tǒng)的教學(xué)方法
在新《課改》精神下，存在著過分偏向課改精神，對于傳統(tǒng)一刀切，傳統(tǒng)的教學(xué)方法似乎成為了一種包袱，唯恐棄之不及。有些教師認(rèn)為聽別人講一兩節(jié)示范課、聽一兩次培訓(xùn)，就掌握了課改精神，不學(xué)習(xí)相關(guān)理論，不研究新課教改精神實質(zhì)，進(jìn)而否定一切傳統(tǒng)教學(xué)方法。無論什么課都讓學(xué)生自學(xué)、討論、探究學(xué)習(xí)，教師的主導(dǎo)作用基本上不能體現(xiàn)，甚至認(rèn)為用傳統(tǒng)教學(xué)方法就等于不成功。在實質(zhì)上，這是對課改精神的背離，因為新課改的精神在于創(chuàng)新，需要對傳統(tǒng)揚(yáng)棄，而非否定一切。
3.2忽略了學(xué)生的自主學(xué)習(xí)
新課改的一個明顯的改變時要求學(xué)生的學(xué)習(xí)方式的改變，提倡學(xué)生的自主學(xué)習(xí)。然而，在現(xiàn)實的實踐中，由于老師對教材的理解不夠深入，過分的讓學(xué)生“自由”式的學(xué)習(xí)，存在了在教學(xué)上的自由放任的現(xiàn)象。例如：為了體現(xiàn)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)，教師在整堂課都讓學(xué)生看書、討論、相互提問，教師過分的缺少講授。其結(jié)果往往是不言而喻，真正在思考的學(xué)生是極少數(shù)的，多數(shù)的學(xué)生在“看熱鬧”。
3.3對學(xué)生的評價的不妥當(dāng)
新課改主要是“以人為本”，不僅賦予了學(xué)生主體地位，而且還給予了情感上的關(guān)注，適時的給予學(xué)生評價，是對學(xué)生進(jìn)行鼓勵和幫助。但是要明確的是：評價的主要目的是為了全面了解學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)歷程，激勵學(xué)生的學(xué)習(xí)和改進(jìn)教師的教學(xué)[6]。然而，在實踐中，因為教師的評價不客觀，反而違背了新課改的精神。
4彌補(bǔ)教材教學(xué)中的不完整
4.1教材編寫內(nèi)容全新化
新教材增加多種形式的習(xí)題，增添大量的插圖，使科教直觀形象，淺顯易懂。同時教學(xué)的內(nèi)容的編排先易后難，然后再學(xué)習(xí)抽象、概括程度較高的內(nèi)容，符合人的認(rèn)知規(guī)律，章程較小，知識點少，隨時保持新鮮感，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。
4.2教師教學(xué)的活動化
教師要將傳統(tǒng)的“教師帶著知識走進(jìn)學(xué)生”改成“教師帶著學(xué)生走進(jìn)知識”，給學(xué)生更好的學(xué)習(xí)機(jī)會和交流機(jī)會，把教學(xué)過程變成相互交流、共同發(fā)展的互動過程，教師的教和學(xué)生的學(xué)是“互動的”。通過借助圖片折疊、游戲、動手操作等多種多樣的呈現(xiàn)方式，有機(jī)地創(chuàng)設(shè)了適宜于學(xué)生領(lǐng)悟問題的情境，使學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中觀察、實驗、猜想、驗證、推理，讓學(xué)生動手實踐，培養(yǎng)了自主探究和合作交流的精神。
非智力因素屬于人的非認(rèn)知性心理系統(tǒng)，是有利于人們所進(jìn)行的各種活動中（包括學(xué)習(xí)活動）的智力因素以外的心理因素的總稱，由興趣、動機(jī)、情感、意志、性格等五種因素構(gòu)成。教育心理學(xué)認(rèn)為非智力因素不直接參與認(rèn)知過程，即在認(rèn)知過程中，非智力因素不直接承擔(dān)對機(jī)體內(nèi)外信息的接受、加工、處理等任務(wù)；但直接制約認(rèn)知過程，表現(xiàn)為它對認(rèn)識過程的動力作用、定向和影響作用、維持和調(diào)節(jié)作用、彌補(bǔ)作用。數(shù)學(xué)后進(jìn)生其實質(zhì)是指在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，數(shù)學(xué)成績低下，長期持續(xù)困難，能力薄弱，有較嚴(yán)重的知識缺欠，處在無趣與困惑之中的學(xué)生。多數(shù)后進(jìn)生性格好動、注意力不集中；缺乏明確的學(xué)習(xí)動機(jī),意志不堅強(qiáng)；求知欲較低、信心不足、學(xué)習(xí)態(tài)度不端正；缺乏學(xué)習(xí)興趣、克服困難的意志、缺乏積極的思考和競爭意識。
二、非智力因素在數(shù)學(xué)后進(jìn)生學(xué)習(xí)中的重要作用
在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程與學(xué)生的認(rèn)識活動中，智力因素與非智力因素并不是孤立的，兩者統(tǒng)一于學(xué)生的學(xué)習(xí)之中。智力因素是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要因素，一方面它能夠促進(jìn)學(xué)生非智力因素的發(fā)展，另一方面，智力活動又必須有非智力因素的積極參與和支持；非智力因素是學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識、培養(yǎng)能力的條件和前提,在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中具有控制、維持和強(qiáng)化等重要作用,對智力因素的發(fā)揮起到輔助作用。后進(jìn)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，只是沒有充分調(diào)動自身非智力因素的作用，從而造成表面上在智力方面的后進(jìn)，教師在教學(xué)過程中應(yīng)從數(shù)學(xué)學(xué)科特點出發(fā),充分發(fā)掘數(shù)學(xué)知識的教育價值，用數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含著的思想內(nèi)容，積極引導(dǎo)，因材施教，注重后進(jìn)生的非智力因素開發(fā)，充分發(fā)揮后進(jìn)生的非智力因素，使學(xué)生的學(xué)習(xí)成績的得到應(yīng)有的提高。
三、對初中數(shù)學(xué)后進(jìn)生的非智力因素的開發(fā)研究
教師在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，要關(guān)注后進(jìn)生的學(xué)習(xí)，特別要重視非智力因素的培養(yǎng)，從學(xué)習(xí)興趣培養(yǎng)、學(xué)習(xí)信心樹立、意志力培養(yǎng)、誘發(fā)學(xué)習(xí)動機(jī)等方面充分利用非智力因素的作用，提高數(shù)學(xué)后進(jìn)生的學(xué)習(xí)效率。
1．培養(yǎng)后進(jìn)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣
興趣是人們經(jīng)常傾向于認(rèn)識掌握某種事物,并力求參與該項活動的心理特征。由于數(shù)學(xué)學(xué)科比其他學(xué)科枯燥、單調(diào)，造成在數(shù)學(xué)上有能力學(xué)生,卻因為缺乏興趣而在學(xué)習(xí)上沒有突出的成績。這時教師要利用生動有趣的例子，引發(fā)他們對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣,使他喜歡上數(shù)學(xué)課。另一方面，教師要抓住初中生的心理特點，與學(xué)生建立融洽的師生關(guān)系，縮小師生之間的心理距離，使學(xué)生首先喜歡上自己，“親其師”,才會“善其道”。使后進(jìn)生由喜歡教師而間接的喜歡上數(shù)學(xué)課。
2．引導(dǎo)后進(jìn)生樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信心指學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中對自己的數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)認(rèn)知、數(shù)學(xué)實踐等方面的信念。教師要有意識的引導(dǎo)后進(jìn)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信心，善于發(fā)現(xiàn)學(xué)生值得贊美的地方。對后進(jìn)生的每一次微小的進(jìn)步加以鼓勵及肯定，使后進(jìn)生充滿對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心，成為其努力學(xué)習(xí)的刺激，不斷進(jìn)步。
3．培養(yǎng)后進(jìn)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意志力
意志力是人的非智力因素中最為重要的方面，良好的意志對學(xué)生的智能發(fā)展具有強(qiáng)化和推動作用。數(shù)學(xué)學(xué)科具有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嫿Y(jié)構(gòu)，形象化的抽象內(nèi)容，使后進(jìn)生望而生畏，甚至自暴自棄。數(shù)學(xué)教師要注意不斷培養(yǎng)學(xué)生的意志力,給學(xué)生灌輸“天才出自于勤奮”的思想，學(xué)不好并不是智力差，而是沒有努力學(xué)習(xí)或?qū)W習(xí)方法不當(dāng)，增強(qiáng)他們的毅力和恒心、與困難作斗爭的勇氣。另外，在數(shù)學(xué)教學(xué)中加強(qiáng)合作教育，注重師生交流，對后進(jìn)生信任，使其有勇氣投入到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中。
4．加強(qiáng)情感投入,誘發(fā)學(xué)習(xí)動機(jī)
教師首先要尊重、理解后進(jìn)生，用愛喚起積極向上的動力。多與他們進(jìn)行溝通,在生活上、學(xué)習(xí)上都關(guān)愛他們,不失時機(jī)地用激勵感化后進(jìn)生，用精神和物質(zhì)力量激勵他們，實現(xiàn)后進(jìn)生自我表現(xiàn)的滿足。另外，教師要利用各種機(jī)會,向?qū)W生講解學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要性和實用性,激發(fā)后進(jìn)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動機(jī)。