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導語：在彈性函數的經濟學意義的撰寫旅程中，學習并吸收他人佳作的精髓是一條寶貴的路徑，好期刊匯集了九篇優秀范文，愿這些內容能夠啟發您的創作靈感，引領您探索更多的創作可能。
關鍵詞：微積分；邊際分析；彈性；成本；收入；利潤；最大值；最小值
1導數在經濟分析中的應用
1.1邊際分析在經濟分析中的的應用
1.1.1邊際需求與邊際供給
設需求函數Q=f（p）在點p處可導（其中Q為需求量，P為商品價格），則其邊際函數Q’=f’(p)稱為邊際需求函數，簡稱邊際需求。類似地，若供給函數Q=Q(P)可導（其中Q為供給量，P為商品價格），則其邊際函數Q=Q(p)稱為邊際供給函數，簡稱邊際供給。
1.1.2邊際成本函數
總成本函數C=C(Q)=C0+C1(Q)；平均成本函數=(Q)=C(Q)Q；邊際成本函數C’=C’(Q)．C’(Q0)稱為當產量為Q0時的邊際成本，其經濟意義為：當產量達到Q0時，如果增減一個單位產品，則成本將相應增減C’’(Q0)個單位。
1.1.3邊際收益函數
總收益函數R=R(Q)；平均收益函數=(Q)；邊際收益函數R’=R’(Q)．
R’(Q0)稱為當商品銷售量為Q0時的邊際收益。其經濟意義為：當銷售量達到Q0時，如果增減一個單位產品，則收益將相應地增減R’(Q0)個單位。
1.1.4邊際利潤函數
利潤函數L=L(Q)=R(Q)-C(Q);平均利潤函數;=(Q)邊際利潤函數L’=L’(Q)=R’(Q)-C’(Q).L’(Q0)稱為當產量為Q0時的邊際利潤，其經濟意義是：當產量達到Q0時，如果增減一個單位產品，則利潤將相應增減L’(Q0)個單位。
例1某企業每月生產Q（噸）產品的總成本C（千元）是產量Q的函數，C(Q)=Q2-10Q+20。如果每噸產品銷售價格2萬元，求每月生產10噸、15噸、20噸時的邊際利潤。
解：每月生產Q噸產品的總收入函數為：
R（Q）=20Q
L（Q）=R（Q）-C（Q）=20Q-（Q2-1Q+20）
=-Q2+30Q-20
L’(Q)=(-Q2+30Q-20)’=-2Q+30
則每月生產10噸、15噸、20噸的邊際利潤分別為
L’(10)=-2×10+30=10（千元/噸）；
L’(15)=-2×15+30=0（千元/噸）；
L’(20)=-2×20+30=-10（千元/噸）；
以上結果表明：當月產量為10噸時，再增產1噸，利潤將增加1萬元；當月產量為15噸時，再增產1噸，利潤則不會增加；當月產量為20噸時，再增產1噸，利潤反而減少1萬元。
顯然，企業不能完全靠增加產量來提高利潤，那么保持怎樣的產量才能使企業獲得最大利潤呢？
1.2彈性在經濟分析中的應用
1.2.1彈性函數
設函數y=f(x)在點x處可導，函數的相對改變量Δyy=f(x+Δx)-f(x)y與自變量的相對改變量Δxx之比，當Δx0時的極限稱為函數y=f(x)在點x處的相對變化率，或稱為彈性函數。記為EyEx•EyEx=limδx0
ΔyyΔxx=limδx0ΔyΔx．xy=f’(x)xf(x)
在點x=x0處，彈性函數值Ef(x0)Ex=f’(x0)xf(x0)稱為f（x）在點x=x0處的彈性值，簡稱彈性。EExf(x0)%表示在點x=x0處，當x產生1%的改變時，f（x）近似地改變EExf(x0)%。
1.2.2需求彈性
經濟學中，把需求量對價格的相對變化率稱為需求彈性。
對于需求函數Q=f（P）(或P=P（Q）)，由于價格上漲時，商品的需求函數Q=f(p)（或P=P(Q)）為單調減少函數，ΔP與ΔQ異號，所以特殊地定義，需求對價格的彈性函數為η(p)=-f’(p)pf(p)
例2設某商品的需求函數為Q=e-p5，求(1)需求彈性函數；(2)P=3,P=5,P=6時的需求彈性。
解：(1)η(p)=-f’(p)pf(p)=-(-15)e-p5.pe-p5=p5；
(2)η(3)=35=0.6;η(5)=55=1;η(6)=65=1.2
η(3)=0.6<1，說明當P=3時，價格上漲1%，需求只減少0.6%，需求變動的幅度小于價格變動的幅度。
η(5)=1，說明當P=5時，價格上漲1%，需求也減少1%，價格與需求變動的幅度相同。
η(6)=1.2>1，說明當P=6時，價格上漲1%，需求減少1.2%，需求變動的幅度大于價格變動的幅度。
1.2.3收益彈性
收益R是商品價格P與銷售量Q的乘積，即
R=PQ=Pf(p)
R’=f(p)+pf’(p)=f(p)(1+f’(p)pf(p))=f(p)(1-η)
所以，收益彈性為EREP=R’(P).PR(P)=f(p)(1-η)ppf(p)=1-η
這樣，就推導出收益彈性與需求彈性的關系是：在任何價格水平上，收益彈性與需求彈性之和等于1。
（1）若η<1，則EREP>0價格上漲（或下跌）1%，收益增加（或減少）(1-η)%；
（2）若η>1，則EREP<0價格上漲（或下跌）1%，收益減少（或增加）|1-η|%；
（3）若η=1，則EREP=0價格變動1%，收益不變。
1.3最大值與最小值在經濟問題中的應用
最優化問題是經濟管理活動的核心，各種最優化問題也是微積分中最關心的問題之一，例如，在一定條件下，使成本最低，收入最多，利潤最大，費用最省等等。下面介紹函數的最值在經濟效益最優化方面的若干應用。
1.3.1最低成本問題
例3設某廠每批生產某種產品x個單位的總成本函數為c(x)=mx3-nx2+px，（常數m>0,n>0,p>0），（1）問每批生產多少單位時，使平均成本最小？（2）求最小平均成本和相應的邊際成本。
解：（1）平均成本(X)=C(x)x=mx2-nx+p，C’=2mx-n
令C’，得x=n2m，而C’’(x)=2m>0。所以，每批生產n2m個單位時，平均成本最小。
（2）(n2m)=m(n2m)2-n(n2m)+p=(4mp-n24m)，又C’(x)=3mx2-2nx+p，C’(n2m)=3m(n2m)2-2m(n2m)+p=4mp-n24m所以，最小平均成本等于其相應的邊際成本。
1.3.2最大利潤問題
例4設生產某產品的固定成本為60000元，變動成本為每件20元，價格函數p=60-Q1000（Q為銷售量），假設供銷平衡，問產量為多少時，利潤最大？最大利潤是多少？
解：產品的總成本函數C(Q)=60000+20Q
收益函數R(Q)=pQ=(60-Q1000)Q=60Q-Q21000
則利潤函數L(Q)=R(Q)-C(Q)=-Q21000+40Q-60000
L’(Q)=-1500Q+40,令L’(Q)=0得Q=20000
L’’(Q)=-1500<0Q=2000時L最大，L（2000）=340000元
所以生產20000個產品時利潤最大，最大利潤為340000元。
2積分在經濟中的應用
在經濟管理中，由邊際函數求總函數（即原函數），一般采用不定積分來解決，或求一個變上限的定積分；如果求總函數在某個范圍的改變量，則采用定積分來解決。
例5設生產x個產品的邊際成本C=100+2x，其固定成本為C0=1000元，產品單價規定為500元。假設生產出的產品能完全銷售，問生產量為多少時利潤最大？并求出最大利潤。
解:總成本函數為
C(x)=∫x0(100+2t)dt+C(0)=100x+x2+1000
總收益函數為R(x)=500x
總利潤L(x)=R(x)-C(x)=400x-x2-1000，L’=400-2x，令L’=0，得x=200，因為L’’(200)<0。所以，生產量為200單位時，利潤最大。最大利潤為L(200)=400×200-2002-1000=39000（元）。
在這里我們應用了定積分,分析出利潤最大,并不是意味著多增加產量就必定增加利潤,只有合理安排生產量,才能取得總大的利潤。
綜上所述，對企業經營者來說，對其經濟環節進行定量分析是非常必要的。將數學作為分析工具，不但可以給企業經營者提供精確的數值，而且在分析的過程中，還可以給企業經營者提供新的思路和視角，這也是數學應用性的具體體現。因此，作為一個合格的企業經營者，應該掌握相應的數學分析方法，從而為科學的經營決策提供可靠依據。
參考文獻
［1］?@聶洪珍,朱玉芳.高等數學（一）微積分［M］.北京：中國對外經濟貿易出版社，2003,（6）.
［2］?@顧霞芳.淺談導數在經濟中的應用［J］.職業圈，2007,（4）.
［關鍵詞］邊際函數彈性經濟函數
［中圖分類號］O13［文獻標識碼］A［文章編號］2095-3437（2013）08-0056-02
在經濟管理中，數學知識是必不可少的，本文就如何把高等數學的有關知識用于解決相關問題加以討論。這有助于相關專業學生更好地掌握專業知識。
一、連續復利――e在經濟中的應用
利息是銀行對儲蓄（或借貸）所支付（或收取）的除本金以外的貨幣。銀行支付（或收取）利息的多少，以利率的高低來表示
單位時間的利率=單位時間的利息/存入的本金
（一）單利
設本金為A0（可指投資,存款等），年利率是i，所謂單利是指僅按本金A0計算利息。例如：A0的投資時間為t年，那么七年后,可得單利:I=A0it
本利和是A=A0+I=A0（1+it）
例如：1000元投資5年，年利率6%，于是5年后共得單利
I=1000×0.06=300（元），A=1000+300=1300（元）
（二）復利
所謂復利是指經過一年時間，將所生利息加入本金再生利息。逐期滾算。
假定本金是A0元，那么一年后的利息是A0i，此時本金就成了
A0+A0i=A0（1+i）
再經過一年又得復利iA0（1+i）
本金成了A0（1+i）2,
依次類推，t年后本金A（t）就成了A（t）=A0（1+i）t
例如：將1000元投資5年，年利率6%，按年計算復利，那么5年后本金就A（5）=1000（1+0.06）5＝1338.23（元）,利息是338.23元。
設年利率為i，如果一年計算m次復利，那么t年后就計算mt次，每次的利率算作■。設本金為A0元，年利率為i，每年計算復利m次，那么t年后本金為A（t）=A0（1+■）mt。
例如：將1000元投資5年，年利率6%，每年計算復利4次，那么5年后本金就成了A（5）=1000（1+■）5×4=1346.86（元），利息是346.86元。
（三）連續復利
A（t）=■A0（1+■）mt＝A0■［（1+■）■］it=A0eit
這種計利方法稱為連續復利。
連續復利的計算方法在其他許多問題中也常有應用，如：細胞分裂、樹木的生長等。
二、邊際與彈性――導數與微分的簡單應用
（一）邊際概念
在經濟學中邊際表示的是變化率，函數的導數稱為邊際函數。
如：成本函數C（x）的導數C′（x）稱為邊際成本函數。
邊際成本具有怎樣的經濟意義？
當產量由原產量x單位增加一個單位（Δx=1）時，成本C（x）的真值為C（x+1）-C（x），但當產量的單位很小或一個單位與原產量x值相比很小時，則由近似式■=■≈C′（x）（|Δx|很小時）
取Δx=1，得C（x+1）-C（x）≈C′（x）
這表明當產量達到x時，再增加生產一個單位，成本的增加值就可以用邊際成本C′（x）近似表示。這就是邊際成本實際的經濟意義。
在經濟學中，通常略去“近似”二字，將邊際成本C′（x）解釋為：
當產量達到x時，再增加生產一個單位產品所增加的成本。或生產x+1個產品所需的成本。
例如：設生產x件某產品的成本為C（x）＝200+0.03x2
生產100件的總成本為C（100）=200+0.03×（100）2=500
每件產品的平均成本是■=■=5
邊際成本函數為C′（x）=0.06x
產量在100件時的邊際成本為C′（x）=0.06×100=6
它近似表示生產第101產品的成本。這件產品的真值是
ΔC=C（100+1）-C（100）=6.03
除邊際成本函數外，收入函數的導數稱為邊際收入函數；利潤函數的導數稱為邊際利潤函數；需求函數的導數稱為邊際需求函數等。他們的實際經濟意義都可以如邊際成本一樣理解。
（二）彈性概念
經濟學中把一個變量對另一個變量相對變化的反映程度稱為彈性。
例如：需求對價格的彈性就是商品需求量對價格相對變化的程度。設需求函數x=f（p），其中x需求量，p是價格，η=p■
由于Δp很小時，η=p■≈■■所以需求彈性近似表示在價格為p時，價格變動1％，需求量將變化|η|%，通常也略去“近似”二字．一般來說，需求函數是一個減函數，需求量隨價格的提高而減少，因此需求彈性一般是負值，它反映了商品需求量對價格變化反應的強烈程度，即靈敏度。
對任何函數都可以建立彈性，一般地，函數y=f（x）在點x處的彈性定義
為η=x■
它表示的是相對變化率。相對變化率便于比較不同市場的需求對價格變動的反應。它是無綱量。便于比較單位價格不一致的單位的靈敏度。
通常表示為：εyx=■=■■
例如：某種產品的需求量x與價格p的關系為x（p）=1600（■）p，
（1）求需求彈性η（p）;（2）當商品的價格p=10元時，再增加1％，求該商品需求量變化情況。
解:需求彈性η（p）＝p■=p×ln■=（-2ln2）≈-1.39p
需求彈性為負，說明商品價格p增加1％時，商品需求量將減少1.39p%
當商品價格p=10元時 η（10）≈-13.9
這表示價格p＝10元時，再增加1％，商品的需求量將增加13.9p%，如價格降低1％，商品的需求量將增加13.9p%。
三、積分在經濟問題中的應用
例：已知某商品每天生產x單位時，邊際成本為C′（x）=0.4x+2（元／單位），其固定成本是20元，求總成本函數C（x）。如果這種商品規定的銷售單價為18元，且產品可以全部售出，求總利潤函數L（x），并問每天生產多少單位，總利潤最大？
解可變成本就是邊際成本函數在［0，x］上的定積分，又已知固定成本為20元，所以總成本函數C（x）=■（0.4t+2）dt+20=0.2x2+2x+20
當銷售單價為18元時，總利潤函數為
L（x）＝R（x）-C（x）=-0.2x2+1.6x-20
由L′（x）=-0.4x+16=0，得x=40
又因為L″（x）=-0.4＜0，所以，每天生產40單位可獲最大利潤，最大利潤為L（40）=300（元）。
高等數學在其它各個領域中的應用不勝枚舉：如物理學中有速度、加速度、角速度、線密度、電流、功率、溫度梯度、衰變率、變速直線運動的路程、非均勻細桿的質量、變力沿直線作功、抽水作功、引力等等；化學中有擴散速度、反應速度，溶液連續稀釋問題等；生物學中有（種群）出生率、死亡率、自然生長率等等；社會學中有信息的傳播速度、時尚的推廣、人口自然增長規律等，幾何學中曲線的切線問題，曲邊圖形的面積等這類涉及微小量無窮積累的問題。這些都可以用高等數學加以討論。
［參考文獻］
項目化教學 經濟數學 整體教學設計考核方案《經濟數學》系統項目化整體教學從《經濟數學》課程能力訓練項目設計、考核方案、第一次課設計梗概、其他需要說明的問題四個方面進行全面系統設計，課程內容進行了優化整合，其內容共分5個模塊，每個模塊設計1個能力訓練項目，共設計5個能力訓練項目。每一模塊內容結束時，學生提交本模塊能力訓練項目的分析報告或解決方案。使學生在完成項目的過程中學習經濟數學知識，獲得解決簡單經濟應用問題的能力。
一、《經濟數學》課程能力訓練項目設計
1.能力訓練項目名稱
能力訓練項目名稱有：尋找經濟學中常用的經濟函數；連續復利問題；邊際與彈性問題及最值經濟問題；由邊際函數求總函數，資本現值與投資問題；經濟學中的線性規劃問題。
2.擬實現的能力目標
第一，能識別需求函數、價格函數、供給函數、總成本函數、收入函數與利潤函數，并掌握這些函數的性質及圖像畫法。
第二，理解函數的變化趨勢、變化的連續性，會用單利、復利兩種方式計算利息。
第三，能求解經濟學中邊際與彈性問題及最值經濟問題。
第四，掌握由邊際函數求總函數的方法；會討論資本現值與投資問題。
第五，會求解經濟學中較簡單的線性規劃問題。
3.相關支撐知識
第一，理解函數的概念，會正確求解函數的定義域；理解函數的性質，會判斷函數的奇偶性等。
第二，理解極限的概念，掌握求極限的方法；理解無窮小量、無窮大量的概念，會正確判斷無窮小量、無窮大量；理解函數在一點X0、區間（a，b）、閉區間[a，b]上連續的概念；理解函數間斷點的概念，知道間斷點的分類，能判斷函數的連續性等。
第三，理解導數與微分的概念，了解導數的幾何意義并能加以應用。
第四，理解原函數和不定積分的概念；熟練掌握不定積分的直接積分法、湊微分法、第二類換元積分法及分部積分法；掌握微積分基本定理和定積分的計算公式；掌握定積分的概念和性質；熟練掌握定積分的換元積分法和分部積分法。
第五，理解行列式、矩陣、逆矩陣、矩陣的初等變換及矩陣秩的概念；熟練掌握行列式的兩種計算方法；熟練掌握矩陣的線性運算及矩陣的乘法運算；熟練掌握求逆矩陣的兩種方法及求矩陣秩的方法；掌握克萊姆法則求線性方程組的方法；理解n維向量、向量組線性相關、線性無關、向量組的秩、基礎解系、齊次線性方程組的通解、非齊次線性方程組的通解這幾個重要概念；熟練掌握線性方程組解的結構及其判別法則。
4.訓練方式手段及步驟
第一，讓學生自學第一章函數第三節經濟中常用的函數；找出經濟函數、觀察函數的性質、圖像；最后得出經濟函數分析報告。
第二，通過對函數變化趨勢的討論，引入數列、函數極限概念，引導學生尋找極限的計算方法；通過函數圖像的觀察，分析函數變化過程中的兩個不同特點，引導學生得到函數連續的概念、判斷函數連續的方法；最后推導連續復利公式、并解釋其經濟意義。
第三，通過分析函數因變量隨自變量變化的快慢程度，引導學生發現導數概念，為更好計算導數，尋找計算導數的方法；為尋找計算函數改變量的近似方法，引導學生探尋微分概念，進一步尋找計算微分的方法，最終找到用微分計算函數改變量的方法；為找到判斷函數單調性、極值、最值、函數圖像的做法，引導學生發現使用導數這一重要工具。
第四，通過已知某函數導數求某函數問題的討論，引導學生發現原函數的概念，通過尋找求原函數的方法，發現不定積分的概念，最后找到求不定積分的四種方法。
第五，通過求解二元一次方程組、三元一次方程組，引導學生發現二階行列式、三階行列式概念，通過歸納法引導學生發現n階行列式概念，在尋找計算行列式方法中得到行列式性質等。
5.結果
結果有：經濟函數分析報告；連續復利公式的推導及經濟意義解釋；邊際與彈性問題及最值經濟問題解決方案；由邊際函數求總函數，資本現值與投資問題解決方案；經濟學中線性規劃問題解決方案。
二、考核方案
對學生考核分三個方面：平時成績（占30%）+能力考核（占25%）+期末考試成績（占45%）。期末考試采取相同教學內容的班級統一命題、閉卷考試的方式。命題的范圍和水準嚴格按照《概率論與數理統計》課程整體教學設計的要求執行。期末考試出同等難度和題量的A、B、C三套試卷及評分標準。
平時成績及能力考核具體內容設計：
1.平時成績
考核項目：出勤；課后作業；課堂表現。
考核內容：遲到、早退、曠課、事假、病假、上課睡覺；完成作業情況；上課態度、參與程度、處理問題準確度。
考核標準：遲到、早退、曠課、事假、病假、上課睡覺此項共計10分。學生上課遲到一次扣1分，請事假一次扣1分，病假一次扣0.5分，上課睡覺一次扣1分，曠課一次扣2分，扣完10分為止。完成作業情況此項共計10分。少交一次作業扣2分，作業不認真、質量差一次扣1分，扣完10分為止。上課態度、參與程度、處理問題準確度此項共計10分。上課積極參與，主動并能正確回答問題或板書做題正確一次得2分、兩次得5分、三次得8分、四次得10分。上課不回答問題或板書解題此項得0分。
2.能力考核
（1）考核項目
提交經濟問題解決方案或分析報告。
（2）考核內容
第一學期：第一章內容學完后提交經濟函數分析報告；第二章內容學完后提交連續復利公式的推導及經濟意義解釋；第三章內容學完后提交邊際與彈性問題及最值經濟問題解決方案。
第二學期：第四章內容學完后提交由邊際函數求總函數及總函數改變量，資本現值與投資問題解決方案；第五章內容學完后提交經濟學中簡單線性規劃問題的解決方案。
（3）考核標準：
此項共計25分。提交方案或分析報告內容翔實、準確，第一學期提交一個得8分、提交兩個得16分、提交三個得25分。第二學期提交一個得12分、提交兩個得25分。一個學期內一次也不提交方案或分析報告此項得0分。
三、第一次課設計梗概
1.設計思想
4個關鍵詞：溝通、介紹、滲透、要求。
2.教學過程
師生相互介紹用多媒體課件――財經、金融專業中的數學函數導入新課并介紹課程內容介紹課程教學方法介紹學習方法介紹考核方式與學生約法三章，提出紀律要求進入正題――研究函數、反函數概念及函數四個基本性質課堂小結、布置課外作業。
四、其他需要說明的問題
第一，以啟發式教學為主。
第二，注重數學文化的學習。
關鍵詞 投資；投資效率；投資制度；轉軌經濟
作者簡介：何志強，男，西南財經大學工商管理學院，成都610074
李一鳴，男，西南財經大學工商管理學院，教授，成都610074
投資是一個相對寬泛、內容豐富的概念，但如果僅從產出角度看，主要是指物質資產投資。本文所指的投資主要是指實物資產投資或產業投資，與虛擬經濟下的金融投資相對應。對投資、投資活動、投資與經濟增長關系等方面的研究可以追溯到亞當?斯密時代，而在現代的經濟學范疇內，投資已經成為一個不可或缺的部分。
一、研究視角：資本與投資
資本作為最基本的生產要素之一，一直是古典、新古典、凱恩斯以及新古典綜合經濟學的重要研究內容。只有具備一定的資本，并與勞動要素相結合，生產方可能順利進行，資本便成為經濟研究最為基本的命題之一。由于資本是通過投資形成的，從關注資本過渡到關注資本的形成――產業投資，是順理成章的事情。資本既然重要，資本形成過程――產業投資過程也就相應的變得重要。因此，資本和投資成為經濟理論研究中兩個相互聯系而相對獨立的視覺。
經濟理論對資本與投資的研究往往包含在其他經濟問題的研究中。一類基本問題就是生產的物質產品多少用于生產，多少用于投資形成資本，以實現效用最大目標，也就是最優資本積累問題。Barnsey(1928)率先從動態角度對經濟增長過程中的最優資本積累問題進行了開創性研究，建立了著名的Ramsey無限期界最優化模型。考慮到人生命的有限性，在Ramsey模型基礎上，Allais(1947)，Samuelson(1958)，Diamond(1965)和Blanehard(1985)以微觀為基礎建立了代際交疊模型。[1]由于代際交疊模型可以研究個人壽命期間儲蓄的總影響，進而研究最優資本積累問題，所以較Ramsey模型應用廣泛。Ramsey模型和代際交疊模型都是從動態的角度，尋求最優資本積累路徑，實現效用最大化。但兩類模型在處理投資與資本問題時的一個共同點是將資本、資本形成――投資簡化處理，這樣就忽略了作為資本形成過程的投資行為與最終的資本存量之間的差異，而這種處理方法出現在很多經濟理論模型中。[1]由于資本形成(投資)和資本存在根本差異，前者是一個過程，后者是結果，并且投資過程(資本形成過程)受到眾多因素的影響，本身具有獨立性。所以，研究投資行為過程本身及其與資本存量的關系成為經濟學研究的新領域，也就是探尋哪些因素影響和制約著投資行為進而影響資本存量，進而探討其對經濟的影響。由于這一研究內容非常復雜，隨著投資理論研究的深入，經濟學者也試圖通過建立不同的計量經濟模型來分析投資行為，并利用產業層面、企業層面的數據進行經驗實證分析，這對于我們從中微觀層面認識投資運行特征進而認識資本存量及其變動問題具有重要意義。
出于對我國經濟的關注，我們更在意對轉軌經濟的資本和投資的認識。呂煒(2000)[2]在其專著中擴展了馬克思關于“資本不是物而是人與人的關系”的定義，認為資本具有階級和功能雙重屬性，前者可以劃入歷史范疇而后者則劃人技術范疇，而技術范疇的資本的本質特征是盈利最大化趨勢。從技術范疇的資本化運動來理解我國整個經濟轉軌特征具有一定的創新性，現實意義就是認識到資本不僅是生產關系的表現，也是一種具有技術性質的生產要素，所以在轉軌經濟中，資本是可以參與利潤分配的。更進一步理解轉軌經濟的資本和投資行為，一方面表現為投資主體的多元化，投資目標的多元化，融資渠道的多元化，另一方面表現為對低效率存量資本的調整，也就是國有企業改革問題。在這兩種趨勢下，經濟的轉軌過程也就是如何保證投資與資本效率不斷提高的過程。
綜上，當分析資本時更多地與總量經濟的運行情況相聯系，而分析投資時，更多地與投資主體行為、投資決定因素聯系在一起。所以，資本和投資是兩個有區別但同時又有聯系的概念，從而形成兩個既有聯系而又相對獨立的研究視角。
二、研究方法：模型與現實
(一)簡單加速模型
早在1917年，J．M．Clark將固定(實物)資產投資與產出聯系在一起，認為投資取決于未來的產出需求，建立了簡單的加速模型，也是研究投資行為最基礎的模型，它是其他模型的基礎。其表達式為：Kd=aY (1)
其中，Kd是合意資本存量，a是不變的資本產出比率，Y是產出水平。合意資本存量指在增加的凈資本能夠以不變價格瞬時獲得的情況下，企業家選擇的資本存量水平。而實物資本投資一般不可能沒有時間滯后性，即意愿資本水平不能立即通過投資實現，Koyck和Chenery等對(1)式進行了改進，認為資本對于投資來說是一個緩慢而富有彈性的過程，通過增加滯后系數，建立了彈性加速數模型。
(二)彈性加速數模型
其中，YP是GNP，bn=αβn，μ是誤差項，N為滯后期。如果將利潤或者現金流加入模型中在理論上將更具有解釋力，因為企業或產業的投資受自有資金充裕情況的影響較大，而外部融資一般有較高的成本。另外一個重要原因是投資往往受到預期盈利能力的影響，所以將包括利潤在內的現金流加入模型(4)而形成現金流加速數模型。
(三)現金流加速數模型
其中，CF是實際現金流，名義現金流：稅后利潤+資本消耗前的資本消耗折扣+存貨價值調整，名義現金流除以投資平減指數便得到實際現金流，其余符號同上。(1)、(4)式主要差異表現在模型(5)不僅關注產出需求對投資的影響，也關注供給對投資的影響，如現金流、資金使用成本，將需求和供給因素對投資的影響都納入模型中，這是投資計量模型的一個重大進步。
(四)新古典投資模型
由于在投資行為進行中必然伴隨有資本供給與需求的變化，這種變化影響著
資本的供給價格，而價格是新古典經濟學的核心內容，Jorgenson及其合作者將資本價格因素引入投資行為分析中，形成了最為有名的新古典投資模型：
其中，γ為產出中的資本份額，P為產出價格，c為資本服務租賃價格。結合上面的模型，得到如下可進行回歸分析的計量模型：
為新增資本購買價格(相對于產出價格)，為凈資本稅的真實融資成本，a為資本折舊幾何比率，m為投資稅收抵免比率，z為折舊稅收減免貼現比率，t為公司所得稅。
(五)證券價值Tobin’sQ模型
隨著金融市場的發展，除了上述基于產出的產業投資行為研究計量模型外，投資研究可以通過資本市場的變化來研究投資行為，Bminard和Tobin(1968，1969)在Keynes(1936)的理論基礎上建立了投資的證券價值(Tobin’sQ)模型：
其中，I為本期投資，K-l為上一期資本存量，a為常數項，N為滯后期，m為系數，Tobin’sQ=市場價值／重置成本。與基于產出的模型相比，Q模型在經濟理論上更加完備和更有解說力，原因在于投資與Q對未來產出與價格的長期預期會有相同方向的反應，在預期真實資本有盈利能力時，投資與Q值都將上升，而預期悲觀時投資將受到抑制，Ciceolo(1978)的研究表明投資與Q是正相關的。但在利用Tobin’sQ模型進行實證研究是有條件的，更詳細的理論分析可以參看Hayashi(1982)[3](213―224)的文章。
Chirinko(1993)[4](875―1911)根據投資計量模型對動態(dynamics)的處理，將相關的投資計量模型分為隱式模型(implicit model)和顯式模型(explicit model)。如果動態因素顯示地出現在最優問題估計系數中且估計系數顯式的與潛在技術和預期參數相聯系，那么就是顯式的，否則為隱式的。由于包括動態因素和未來預期的顯式模型與實際的投資活動更加接近，所以能夠更好地解釋投資行為，To-bin’sQ模型是顯式模型的典型代表，其余四個模型都是隱式的。當然，模型與現實之間仍然還有很大的差距，不確定下的投資行為研究推進了現有研究，[5](54―65)在此不再贅述。
三、投資環境：制度與效率
從經濟理論角度，投資制度環境可以簡要分為市場經濟、計劃經濟和轉軌經濟各自所包括的投資制度設計。當前我國經濟正處在完善社會主義市場經濟時期，是典型的轉軌經濟，如何在我們這樣的轉型國家建立一套有利于提高投資效率的投資制度成為轉軌經濟制度設計的重要內容。
首先是以投資和資本形成為工具變量，研究中國經濟增長可持續性的問題。這方面以張軍最具有代表性，其相關研究體現于其專著上[6]，認為我國經濟在“邊際資本―產出比率”不斷上升的情況下，存在“過度工業化”趨勢，經濟增長“不具備持續的動態改進力量”。此問題也得到中國社會科學院經濟研究所紹濟增長前沿組的關注，在他們的系列文章[7]中，對我國投資形成、投資效率與經濟增長的關系進行了分析，認為我國20多年來，高投資、高增長的模式是以宏觀成本積累為代價，并從理論上說明了中國高投資的政府激勵機制及宏觀成本邊界和高成本增長的臨界點。
其次，對我國投資效率及其的相關研究。沈坤榮等(2004)[8](52―63)從金融發展視角考察了我國資本形成、投資效率、儲蓄向投資轉化的效率及由此產生的經濟波動，認為投資效率低下，進而全要素生產率(TFP)不高是影響我國宏觀經濟波動的重要因素。韓立巖等(2005)[9](77-84)利用Jeffrey Wurgler的“資本配置效率”模型，考察我國1993―2002年間資本在各行業間的配置效率，結果顯示我國的資本配置效率非常低，說明我國的資本市場化水平偏低。秦朵，宋海巖(2003)[10](807―832)從基于標準生產函數的投資需求模型出發，從投資需求所處的非均衡狀態人手討論了我國1989--2000年的投資效率特征，發現擴張性的中央與地方財政對投資需求有著強烈的影響，地區間投資不均的程度有所下降，東部，沿海省份的效率一般高于西部省份的效率。可見，投資效率有助于認識和解釋現實經濟活動的合理與否。
再次是對轉軌經濟中投資膨脹機制的研究。與計劃經濟中的“投資饑渴癥”相比，我國轉軌經濟中仍然存在非市場因素影響的投資膨脹。易綱等(2004)[11]從產權邏輯來解釋轉軌經濟中的投資膨脹機制，認為過度投資和投資效率低下是產權約束和地方政府政績觀導向的問題，理論新意主要將轉軌經濟中產權不健全和政府職能定位不清作為解釋投資膨脹和投資效率低下的因素，對于轉軌經濟投資制度的未來改革方向具有指導意義。中國社科院經濟所宏觀組(1999)[12](16―25)也認識到體制對投資的影響，一方面可能導致投資饑渴癥，進而導致“經濟過熱”，造成經濟波動；另一方面，轉軌時期體制對經濟發展政策的執行障礙，形成體系性緊縮。
綜上，投資、投資效率是考察經濟運行狀態的好視角，如總量經濟波動、資本市場運行、區域投資差異等，但如何設計制度保證高效率投資的實現，是研究投資效率問題的必然歸宿，特別是對于轉軌經濟。所以，轉軌經濟的產業投資制度是當前投資研究的重要內容，只有好的投資制度才能保證投資的順利進行和投資效率的提高，而這正是我國當前轉變經濟增長方式所需要實現的目標，具有很強的現實意義。
四、未來研究方向探討：投資制度、演進博弈與GES生產函數
盡管產業投資制度對投資、投資效率有重要影響，但國內相關的研究內容較少，大致有三方面的原因：首先是在市場經濟里由于投資活動屬于投資主體自己的事情，不存在統一的投資制度安排框架，政府要做的是要保證投資活動的自由、流動，投資制度設計思想及其研究相對模糊；其次是投資內容的廣泛性，主要表現為投資可以通過金融、會計、企業、宏微觀經濟等多個角度來研究，缺乏
統一研究視角；再次是投資制度研究方法，由于當前流行的制度分析方法本身缺乏一致的理論模型，[13](143-150)投資制度研究目前找不到更好的制度分析工具和分析模式。下面從研究方法角度，嘗試性的探討投資制度研究可能的方向：演進博弈分析和CES生產函數。
(一)轉軌產業投資制度與演進博弈分析
面對產業投資制度分析的難題，筆者認為一種新的制度分析方法――演進博弈可以用來分析轉軌產業投資制度，這方面青木昌彥等(2005)[14](1-21)已經作了嘗試性研究。一般的博弈理論對博弈參與人理性做了嚴格的假設，它不僅要求每個行為人是理性的，而且還要求這種理性是所有參與人的共同知識(CommonKnowledge)。就人對現實世界的認知能力而言，“完全理性”是一個相當嚴格的假設，而博弈任意一方的理性和能力的任何缺陷都會導致納什均衡難以實現。演進博弈論在一定程度上對這種完美理性假定進行了補充和修正，它只要求博弈方具有一種能夠根據情況和新的信息調整判斷與改進策略行為的理性，這種理性在一定程度上對博弈方的預見力和判斷其他博弈方的情況要求較低，并且允許犯錯誤，這種理性被稱作“過程理性”(procedural rationality)。Friedman(1998)給出了設定演進博弈的三個基本假設條件：高的支付策略會隨時間逐漸取代低的支付策略；博弈中存在慣性；博弈參與者并沒打算系統影響其它參與者的未來行動。[15](15-43)而演進博弈的其它限制條件，如大群體、有限理性、隨機配對、可觀測策略等都沒必要。演進博弈分析制度相較于非合作博弈有另外一個優點，演進博弈強調慣性(inertia)在制度變遷中的作用，也就是制度的演進具有路徑依賴性，制度變遷受起點的影響，而用“休克療法”式思維來理解和進行制度變遷存在缺陷，因為制度是一個“演進”式變遷過程。演進博弈可以用來分析影響轉軌投資制度演進的基本因素、博弈均衡下制度的特征，進而從制度設計角度使轉軌經濟產業投資向著利于提高產業投資效率方向演進。
(二)CES生產函數與產業投資制度變遷實證分析
注重對經濟理論的經驗檢驗是當代經濟學的一個重要特征，最主要表現為利用計量模型來進行分析。在研究轉軌經濟的投資制度變遷過程中，我們發現不變替代彈性生產函數(constant elasticity of substitution，CES)可以用來檢驗轉軌經濟的投資制度設計運行效率情況：不同投資主體在轉軌經濟中投資地位的變化是否遵循效率原則，進一步可以概括轉軌經濟中國有投資與非國有投資之間的相互替代是否遵循效率原則，這通過CES生產函數的替代彈性大小變化體現出來，進而檢驗投資制度設計的合理性。CES生產函數規范的表達形式為：
Arrow等(1961)在其經典文獻首先分析了一類不變要素替代彈性生產函數，也就是CES生產函數。與單位替代彈性生產函數不同的是，不變替代彈性生產函數中要素K、L之間的替代盡管其數值不變，但其替代彈性并不為1，也就是說不同經濟體之間、不同行業之間、不同時間段間要素替代的彈性可以不同或變化，這就包含了豐富的經濟學內容，這主要通過(9)中的參數ρ變化體現出來。P的原始含義是要素替代參數，定義為資本―勞動替代彈性σ=1/1+ρ，表示資本―勞動比率每上升1％，廠商將用相對便宜的資本代替勞動，資本―勞動比提高σ％。所以，σ的大小可以說明一個國家要素市場的完善程度，當σ越大，說明生產過程中的要素替代對價格的變化越敏感，要素市場相對完善、要素市場相對完整。反之，當σ越小，說明一國要素配置效率低下，或者經濟單位并沒有追求效率最大化，在生產中的要素選擇存在偏差。所以，σ(或p)的大小可以用來評價一國資本―勞動配置效率的高低。[16]
可以用CES生產函數來考察轉軌經濟產業投資制度變遷及其效率，主要的變化是用非國有投資I和國有投資IG代替函數中的勞動L和資本K，有投資效率生產函數：
其中，Y是產出變量，可以是CDP，也可以是利稅、工業總產值、工業增加值等產出指標，IG國有部門經濟產業投資，I是非國有部門產業投資；A為除產業投資以外使產出效率提高的其他因素，a是非國有部門產業投資參數。在變形后的模型中，η表示產出一投資系數，令I/IG=i，即非國有和國有投資比值。
將ρ變形表達為決定彈性系數的變量：
其中rG和r分別是國有和非國有產業投資績效。在此，σ可以理解為非國有―國有投資的替代系數，在國有―非國有投資效率比值每下降1％時，非國有投資的比重會增加σ％，所以它是一個反應系數，當其越大說明這種替代越有效，進而表明轉軌經濟的投資制度遵循效率原則，更具效率和市場性，反之則說明投資制度存在阻礙投資向高效率轉化。進一步，可以利用不同時間段、不同區域間投資替代彈性的差異考察投資制度的變遷及其相應效率。
上面從方法論角度討論了利用演進博弈方法、CES生產函數對轉軌經濟的投資制度及其變遷效率進行理論和實證分析的可能性，筆者及其合作者正開展這方面的研究，以期能夠加深我們對轉軌產業投資活動的理解。如果將Chirinko(1993)認為未來產業投資需要研究的內容[17](73-124)――金融結構與流動約束、公司及其投資決策的擴展、投資動態性，與轉軌經濟的投資制度研究結合，可能形成轉軌經濟投資研究的基本內容。
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關鍵詞:貨幣政策;貨幣需求函數;協整;誤差修正
中圖分類號:F031.2文獻標識碼:A文章編號:1672-3198(2009)18-0014-02
1 引言
貨幣政策作為中央銀行的金融調控的核心工具,也是宏觀經濟理論的重要組成部分,同時,又是各國央行實行貨幣政策最重要的依據,歷來受到各國政府和經濟學家的重視。目前我國貨幣政策的中介目標是貨幣供應量,運用貨幣供應量這個中介目標,以加強對經濟的宏觀調控,就需要建立相應的貨幣需求函數。因此,研究貨幣需求與產出、利率、通貨膨脹率等經濟變量間的相互關系并建立適合我國的貨幣需求函數,具有重要的意義。
2 理論分析與模型的選定
(1)古典學派貨幣數量論。
“古典”貨幣數量論有三種形式:其一是歐文•費雪于1911年提出來的交易方程式(又稱費雪方程):MV=PT,其中,T代表一段時期內用于交易的商品與服務的數量、V為貨幣流通速度、P代表商品與服務的價格、M為名義貨幣供應量。這一結論被認為是經濟學最重要也是最成熟的規律之一; 其二是國民收入方程式:MV=PY,其中,M是貨幣存量,Y是實際國民收入,V為貨幣流通速度、PY即名義產出或名義國民收入。國民收入方程式可以看做是費雪方程和劍橋方程的過渡;其三是劍橋大學的馬歇爾和庇古建立的劍橋方程式:M=KPY,其中,K代表貨幣量與國民收入或國民生產總值之比,其它的參數意義同上。
(2)凱恩斯學派。
凱恩斯認為,公眾之所以對貨幣有需求,主要有三種動機:交易動機,即為應付日常交易而持有一定量的貨幣;預防動機,即為了謹慎起見以應付不時之需而持有一定量的貨幣;投機動機,即利用證券市場進行投機而持有一定量的貨幣。為滿足這三種動機所需而持有的貨幣總量,共同構成了人們對貨幣的需求。影響貨幣需求的主要因素是收入和利率,貨幣需求與收入同向變動,與利率反向變動。由此,得出貨幣需求函數L=L1(y)+L2(r)。
(3)我國貨幣需求函數的構造。
影響貨幣需求的因素,一般包括規模變量和機會成本變量。收入、財富或消費常用來表示規模變量;而機會成本變量則通常用持有貨幣的收益、以及持有貨幣的機會成本表示。持有的機會成本指金融資產和實物資產的收益,一般用國內利率水平和預期通貨膨脹率來表示。這樣我們可以得出貨幣需求基本模型;結合我國實際,我們認為現階段對我國貨幣需求具有決定性影響的主要因素有:國內生產總值(GDP)、利率(R)、預期通貨膨脹率,外匯儲備FRT及隨機擾動因素。
因此可構建我國的貨幣需求函數Mit=f(Yt,Rt,FRTt,RPIt,μt)。
LnMit=β0+β1lnYt+β2LnRt+β3LnFRt+β4LnPt+β5t+μt(i=1,2)(1)
式中:M1t:即期對狹義貨幣M1的需求;M2t:即期對廣義貨幣M2的需求;Yt:即期國內生產總值,也是持久收入;Rt:即期利率;Pt:預期通貨膨脹率;FRT:即期的外匯儲備;t:時間變量;μt:隨機變量。上式中各個變量均為關于時間t的函數:
β1=dLnM0dLnY,β2=-dLnMdLnR,β3=dLnMdLnFR,β4=dLnMdLnP
3 數據處理與模型估計
(1)時間序列的平穩性檢驗。
常用的協整檢驗的方法有:格蘭杰―恩格爾兩步法、約翰遜秩檢驗法以及博斯維克誤差糾正法。其中,格蘭杰―恩格爾兩步法是最常用的,它是格蘭杰和恩格爾于80年代末提出的協整檢驗,所針對的是一組變量之間是否存在長期的均衡關系。協整檢驗即檢驗一組變量是否為平穩過程,若為平穩過程,則稱其為I(0)過程,否則,對各自進行一階差分,若一階差分為平穩過程,則稱為I(1)過程。只有當這組變量均為I(0)或I(1)過程,即所謂的同階單整過程才可意味著它們是協整的,即各變量間存在長期的均衡關系。這樣,就可以直接建立回歸模型,運用OLS進行參數估計。
(2)誤差修正模型估計短期貨幣需求函數。
第二步:記方程(2)、(3)的殘差序列為e1 、e2,對殘差序列e1 、e2 進行單位根檢驗,檢驗結果如表1 所示。從表1可看出,殘差序列e1 、e2 為平穩序列,說明時間序列LnM1 、LnGDP、LnFRT、LnR 、LnRPI及LnM2、LnGDP、LnFRT、LnR 、LnRPI 存在協整關系,可建立誤差修正模型。
剔除回歸系數t值不顯著的項得誤差修正模型:
DLnM1)=1.059DLnGDP+0.649DLnRPI-
( 42.64)(4.24)
0.206DLnR-1.0181Ecm1(-1)-0.641AR(2)(2)
(-7.524)(-5.6)(-4.188)
R2=0.8649 D-W=2.17
DLnM2=1.187DLnGDP-0.1492DLnR-0.7363Ecm2(-1)(3)
(34.62) (-5.53)(-2.94)
R2=0.8690D-W=2.02
ECMM1(-1),ECMM2(-1)分別為(2)、(3)的誤差修正項。
在狹義短期貨幣需求函數和廣義短期貨幣需求函數中,誤差修正項的系數別為-1.018和-0.736,符合反向修正機制,由于差分會丟失部分信息,所以擬合優度有所下降,其它檢驗模型整體效果的統計指標均較好,說明本文設定的誤差修正模型符合反向修正原理,能夠很好的表述變量的動態結構。
4 結果分析及其啟示
從以上的分析可以看出,不論是狹義貨幣需求M1還是廣義的貨幣需求M2,與GDP、物價水平、一年期存款利率和外匯儲備均存在長期的的均衡關系:也就是說,中國的貨幣政策長時間以來是比較合理的,基本上能夠適應宏觀經濟發展的需要。綜合來看,上述模型的估計結果能夠幫助我們獲得以下的基本認識:
(1)我國巨額的外匯儲備,對基礎貨幣的發行量有一定的影響。
我國現行的外匯管理體制,要求流入中國的外匯必須由中國央行用基礎貨幣收購,而從央行流出的基礎貨幣進入到貨幣市場,在“貨幣乘數”作用下,按目前條件計算會產生4倍以上的放大效果,由于經濟增長也需要貨幣投放來支持,在外匯儲備規模還不算特別大的時候,由外匯占款原因所形成的貨幣投放,可以基本上為經濟增長所吸收,因此在以往這個矛盾還不突出,但是自2003年以來,中國的外匯儲備年均增長率高達41.5%,數倍于經濟增長率,這樣一來,巨額的外匯儲備也大幅提高了對貨幣的需求,這也是自2007年以來我國面臨的嚴重的通貨膨脹壓力之一。因此,如何發揮外匯儲備的作用并保持在一個合理的水平上,值得我們去思考。
(2)我國貨幣需求的收入彈性較高。
從貨幣需求的長期方程來看,M1與GDP的彈性為0.893,M2與GDP的彈性為0.865,這恰好說明隨著居民收入的提高,民眾更愿意以銀行儲蓄的形式來持有其財富,提高了對貨幣的需求。
(3)利率對貨幣的需求調節,有著相當重要的影響力。
利率的影響力主要是通過調節貨幣總量的結構,即M1占M2的比重實現的。利率的提高或降低,會引導M1(作為購買手段和支付手段的貨幣)和M2(具有儲蓄性質的準貨幣)之間相互轉化,從而實現總需求與總供給的均衡。
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關鍵詞： 微積分； 數學模型； 數學建模
中圖分類號： G642文獻標識碼： A 文章編號： 1009-8631（2011）08-0097-02
自從Newton 和Leibniz發明微積分以來，微積分在闡明數學、物理、工程技術、生物以及科學等方面的問題時展示出了強大威力。因此，幾乎所有大學生都要學習高等數學（微積分），其中很多內容與一些實際問題的數學模型中要解決的數學問題密切相關，例如：導數在優化問題中的應用，積分在自然科學與社會科學中的應用等。因此在講述這些內容時，把數學建模的思想和方法融入進去十分自然，把一些實際問題或者有強烈實際應用背景的問題的數學模型融入課堂教學中，學生不僅能初步學到數學建模的思想和方法，更能進一步深刻體會到數學的重要性，更有興趣、更加主動地學習數學。
1 我國微積分教學改革的背景和現狀
1.1 教材內容和實際脫節
我國的微積分教材主要是將定義、定理、公式、證明羅列匯集在一起，可以說是一副沒有“血肉”的“干骨頭架子”，學生很難看懂，實際上微積分的數學核心內容雖然相當穩定，但是微積分的應用卻越來越廣泛，而我們的教材涉及到的應用問題基本上還是微積分在物理、幾何中的傳統應用，缺少時代氣息，感覺所學知識與現代實際問題相距甚遠，降低了學生的學習興趣。
1.2 教學方法落后
許多高校的微積分教學體系基本上還處于傳統模式之下，采用注入式。在教學上過分強調理論的嚴謹性，注重嚴密的邏輯推理。雖然使學生具備了比較扎實的理論基礎，但忽視了微積分教學中的直觀化和形象化，使內容抽象難學。同時由于教學中不重視微積分的應用性和實際意義，學生學完了也不知道有什么用，更談不上主動去用。至使學生學習興趣低，微積分課程教學效果不好。
絕大多數高校開設了數學建模和數學實驗課程，但在許多高校，數學建模和數學實驗課程只是個別院系開設的學時很少的課程，或是為參加數學建模競賽的學生開設的。如何充分利用現代技術，使計算機成為微積分教學的有力工具，并將數學建模的思想和過程融入微積分教學中，是我國微積分教學改革面臨的重要任務。
2 在微積分教學中融入數學建模的思想
微積分教學應注意加強建模意識，培養學生應用微積分方法解決實際問題的能力。一些可以用微積分模型來描述的問題，如疾病傳染、人口增長、種群競爭等問題，應在教學中引導學生通過建立數學模型來解決。一些重要模型的求解和分析應在教學中有所反映，比如Logistic模型能描述人口、生態、廣告等許多領域的問題。在微積分教學中融入數學建模的思想是加強數學的應用、激發和培養數學學習興趣的最佳方式，通過建模活動還可以改善教學內容與應用脫節的狀況，促進學生盡早接觸微積分的應用領域。具體融入的教學單元有：
2.1 導數的意義
在介紹導數的意義時，除了可以介紹教材中物理、幾何方面的傳統應用，還可以與時俱進，引入經濟學中的邊際函數、彈性系數和化學中的衰變率、濃度改變率等， 以使學生感覺到導數在現代實際問題中的應用，了解導數的意義。
2.1.1邊際函數
經濟學家經常把一個函數的導數稱為該函數的邊際值。例如：總成本C(x)是指生產一定量產品所消耗的全部成本。邊際成本C′(x)是指每增加一單位產品所增加的成本；總收益R(x)是廠商銷售一定量產品得到的全部收入。邊際收益R′(x)是廠商每增加一單位產品所增加的收入；總利潤P(x)是總收益減去總成本。邊際利潤P′(x)等于邊際收益減去邊際成本。
例1某企業生產一種產品，每天的總利潤P(x)（元）與產量x（噸）之間的函數關系是P(x)=250 x－5x2 ，其邊際利潤P′(x)=250－10 x。
分析： 當x=10時，P′（10）=150（元），它表示在每天生產10噸的基礎上，再多生產1噸，總利潤將增加150元。
當x=25時，P′（25）=0（元），它說明當每天產量是25噸時，再多生產1噸，總利潤幾乎沒有變化，這一噸產量并沒有產生利潤。即此時利潤達到最大。
當x=30時，P′（30）=50（元），它表明產量在30噸時，再多生產1噸，總利潤就要減少50元。這說明并非生產的產品數量越多，利潤越高。
2.1.2 彈性系數
彈性概念在經濟學中應用廣泛，只要兩個經濟變量之間存在著函數關系，我們就可用彈性來表示因變量對自變量的反應的敏感程度。設兩個經濟變量之間的函數關系為Y=f（X），則彈性公式為：ε==?，其中ε為變量Y對變量X的彈性系數，ΔX、ΔY分別為變量X、Y的變動量。ε給出當經濟變量X發生1%的變動時，由它引起的經濟變量Y變動的百分比。
例2?搖假設某種商品的市場需求函數是Y=4000（100―P■），需求量Y的單位是，價格P的單位是元。如果目前這種商品的價格是5元／，求這時需求量對價格的彈性ε■。
解：?搖Y′（P）=8000P
當P=5時，Y（5）=3×10■， Y′（5）=4×10■／元。
所以，ε■= Y′（5）?■ =■≈0?郾67，這說明當這種商品的價格在5元／的水平時，價格上升1%， 市場的需求量相應地下降0.67% 。在經濟學中，如果|ε■|＜1，則稱之為低彈性，表示價格的變化對需求的影響不大。
2.2 函數極值的應用
導數在優化問題中有著廣泛的應用，在介紹導數的應用時，可選用實際問題，通過建立數學模型來求解，既使學生看到了導數在實踐中的應用，也學會了建模的基本步驟。
例3?搖易拉罐的優化設計
生活中，可口可樂、雪碧等飲料采用易拉罐來包裝。由于飲料銷量極大，飲料生產企業為了降低成本，就必須考慮將制罐材料減少到最小限度，這對于每天生產成千上萬聽飲料的大廠來說，尤其必要。試對制作易拉罐所用材料最省進行優化設計。
（1）問題分析：以可口可樂飲料為例，一聽飲料其凈重基本保持不變。要求飲料罐內體積一定時, 使易拉罐制作所用的材料最省的頂蓋的直徑和從頂蓋到底部的高之比。
（2）模型簡化與假設：
①將易拉罐近似看成一個直圓柱體。開罐裝置及上、下底的其他設計忽略不計。
②設易拉罐的側壁厚度為b，頂蓋厚度為αb，底部厚度為βb，所用材料的體積為T，這里α>β≥1 ，記k=α+β。設易拉罐的體積用 V 表示, 內部半徑為r，罐的內部高度為h。根據對問題的分析，其中，b與V為固定的參數，α與β為待定參數，r與h為自變量，T=T(r,h)為因變量。
（3）模型構成：
T=［π(r+b)2-πr2］h+π(r+b)2αb+π(r+b)2βb
=πb(2r+b)h+πkb(r+b)2
=2πbrh+πb2h+πbkr2+2πkb2r+πkb3
由于b
而易拉罐的容積為V=πr2h，記?準(r,h)=πr2h-V
于是建立的數學模型：T(r,h)=2πbrh+πkbr2s.t. ?準(r,h)=0
（4）模型求解：這是一個帶約束條件的極值問題，可以化為無條件極值，運用導數方法求解。
把約束條件?準(r,h)=πr2h-V=0代入目標函數, 得到
T=+πkbr2?搖T′=πkbr2-?搖?搖令 T′=0
解得駐點r*=，根據實際情況知有極小值，所以r*是一個極小值點。此時，h*=kr*,T=3b。
（5）模型檢驗：經過測量，α=3, β=1 ，即底部厚度與側壁厚度基本一樣，而頂蓋的厚度為側壁厚度的3倍，這樣α+β=4，代入結果得h*=4r*=2d。即在滿足上述厚度和容積要求條件下，易拉罐的高為直徑的2倍時，所用材料最省。這與實際基本吻合。
2.3 積分的應用
人口預報模型：
問題重述：今年人口數量為x，年增長率為常數r。問t年后人口數量將達到多少。
模型構成：設時刻t的人口數量為x(t)。
由分析知： x(t+Δt)-x(t)=r?Δt?x(t)
即得=rxx(0)=x，分離變量后，積分得到：x(t)=xert。從而，任意給出時間t，就可求出對應的人口數量x(t)。
參考文獻：
[1] 姜啟源,謝金星,葉俊.數學模型[M].高等教育出版社,2003.
關鍵詞：生產函數 商業銀行 內控管理 管理經濟學
每個企業的運作都離不開必要的經濟理論和管理知識，商業銀行的運作也包含其中。只要通過對管理經濟學的學習，就可以了解經濟理論在企業運營決策過程中的科學理論依據，為企業實現業務目標提供經濟分析工具。如果一個企業能成功地運用管理經濟學原理建立自己的經營策略，并把它應用到日常商務管理中，將會給企業的運營帶來很大的好處。如何把企業運營和經濟理論有效的結合起來？
首先，可以將產品價格彈性結合需求規律，運用于市場。在市場條件下，一般商品需求規律是：所有其他條件不變,價格下降,需求量上升；價格上升,需求量下降。但是，如果要為企業的市場戰略服務，就必須將需求價格彈性和市場需求結合起來。在一般情況下，任何缺乏需求彈性的產品，企業都應設法提高價格。需求彈性充足的產品，企業可以降價銷售，提高總收入。有效運用這個經濟原則，用低的價格，可以薄利多銷，進行更多的銷售。快速銷售可以提高市場競爭力，利潤率雖然低，但通過更多的銷售，更快的銷售可以增加總利潤，加快資金周轉。
再次，可以利用生產函數，對企業產品降低成本，增加產量。生產函數是指在一定時期內，在技術水平不變的情況下，生產中所使用的各種生產要素的數量與所能生產的最大產量之間的關系，又稱短期生產函數。公式為：q = f (l ,k0 )k0不變 ,l增加帶動產出增加。譬如說，康柏公司從1993年起開始改革傳統組織形式，在蘇格蘭的工廠試行“三人勞動組”制，結果證明這種組織形式大大優于流水線，每個工人的產出提高23％，實現了目標。“三人勞動組”運作情況如下：生產流水線一般由20名工人參加，每個人只干一種活。改革是將流水線的全部工種交給3個人承擔，每個人要干6種～7種活。如第一個人負責把要組裝的部件準備好；第二個人負責把那件組裝到個人電腦的機殼內；第三個人負責全部測試工作，確保所有線路暢通無阻。“三人勞動組”的優越性表現在：（1）占據廠房面積小，平均每平方米的產出比流水線提高16％。（2）流水線的方式使電腦在組裝的過程中觸摸人數多，不但延長產品組裝時間，而且增加影響產品質量的機會，因為電子產品質量的高低同被觸摸的人數多少成正比。（3）流水線一旦出現故障或其中的一個成員在操作中發生問題，20個人都要停工，而小組若出現問題，受影響的則僅限于3個人。但是“三人勞動小組”要求每個工人能夠干多種活，他們必須經過多方面的培訓方能上崗。在這個案例中還運用到了邊際產量原理，即在其他生產要素投入量固定不變條件下 ,該可變要素投入量變動一個單位所導致的總產量的變動量，公式為:mpl =q/ l，邊際產量是可變的，它涉及到固定的要素的數量，在一般情況下，單位可變要素平均配置的固定要素越多，邊際產量就會更大;由公式可知，在總產出不變時，勞動力的減少可使產量增加。
從內部因素的影響，中國理念的商業銀行及其制度的缺乏，制約了其內部控制和管理的有效性。從概念上講，沒有將業務發展和風險管理這兩種關系有機統一，有一個片面的業務發展和風險規避的兩個極端片面強調的重點。也沒有真正建立全面風險管理，整個過程缺乏，品種齊全，完整的風險管理意識的概念。風險管理制度，雖然在中國已經建立了一個現代商業銀行制度的基本框架，但往往商業銀行的初步建立只能做到“看起來像”。管理制度的發展滯后于風險的發展最終建立還沒有完全垂直，獨立的風險管理制度，風險管理部門的設置，業務流程，崗位職責，也仍然有許多違反內部控制原則的情況。
從實際角度來看，金融詐騙和其他商業銀行系列事件的出現或發生重大案件是對內部控制失控的反應。失控客觀和主觀的原因很多，外部原因是對重新審核公司內部控制的有效性外部審計的不足，也沒有對商業銀行監管當局建立內部控制制度，正確的評價標準，內容，方法和措施；銀行的內部原因主要是內部控制制度的實施，缺乏監督和約束機制，會計，控制或管理控制失靈，信息不充分交流，有效的內部審計評價和監督缺乏。深層次的原因是中國商業銀行缺乏有效和健全的公司治理結構。
首先，企業在決定上要做很多市場需求的分析。市場需求，價格彈性的產品分析，以確定產品價格，來判斷什么價格可以提供最大的利益。通過定價策略，一個企業決策者，以改善企業狀況，就必須明確產品的價格彈性，價格彈性不足，不夠靈活削減下來，否則，就是自我毀滅。預測價格彈性是發展市場營銷計劃的關鍵。通過價格的營銷推廣，交易折扣，產品抽獎等，以實現利益最大化企業管理者，你必須了解不同客戶群體
和特定商品的價格彈性的喜好。也就是說，要知道是否銷售價格上漲抵消了單位收入的下降。從經濟管理角度出發，在一般情況下，一個企業從零產量開始，首先需要一個更高的價格，然后慢慢地降低價格，因為利潤最大化的輸出總是在適當范圍內的需求彈性。顯然，如果企業能夠自覺地使用和管理的理性思維的經濟原則，我們就可以得到企業利潤的最大化。
第二，了解兩公司之間的交叉彈性的產品戰略決策具有重要意義。需求交叉彈性為正，具有較高的價值，在市場上更密切的替代品，是相互競爭。需求交叉彈性為負，在市場上互補性商品，就是合作關系。其替代產品，配套產品應密切關注和應用，最大限度地消除替代品，補充了企業的產品。把握消費者的喜好，產品與消費者需求相關的程度。控制廣告和營銷支出，以刺激消費者對企業產品的需求。
一、數學在經濟學中應用的必要性
（一）是經濟發展的必然要求
而今，在經濟學發展進程中，人們的經濟理論知識點不斷提升，且經濟意識不斷增強，面對新時期的考驗，實施經濟知識點研究時，若僅僅運用以往的文字表述實施思辨式的推理工作，經濟討論的規范性、嚴謹性、邏輯一致性等無法得到充分保證，且在結論精準度、精密性等方面也無法得到保證，進而不利于經濟學知識點的精準性。借助數學思想能讓經濟學的相關研究目標、經濟變量間的實際關系更加明確，進而提升邏輯推理實施規范性與嚴謹性[1]，讓所得出的理論也就更加明確、清晰，以適度降低不確定因素的出現概率，以滿足經濟學的實際發展需求。例如，在經濟學中，彈性分析、聚類分析、經濟增長模型、邊際分析、回歸分析等知識點，都在經濟學中得到了廣泛的應用，且這些知識點是借助數學方法來解釋與解決經濟類問題。
（二）讓經濟學研究與推理更精確、嚴謹
在經濟學領域所產生一系列行為與突破，其都與數學存在著密切的聯系。從古典經濟學到新型的古典經濟學的轉變，從邊際革命至凱恩斯革命的變革，這對數學知識點的應用具有重要意義。將數學知識點應用到經濟學領域，能明確經濟學與數學間的密切聯系，其也對人們的經濟思想與思維模式等產生很大的影響，讓人們在行為與思維上都更具定量特性[2]。數學是一門嚴謹、邏輯性很強的學科，很多人員在使用語言來表示邏輯關系時，時常會發生語言不嚴謹的情況，讓整個數學思維漏洞百出。面對此類問題，就需要開展經濟學交流與論述條件下，能及時將嚴謹性不強的文字語言轉變為專業性的數學語言。應用數學語言時，讓語言更加簡練、嚴謹，且在表述上也更加準確、精準。
二、數學在經濟學中的應用
經濟學的發展，必須要全面滲透數學的學科知識點，以保證經濟學研究的高效性與嚴謹性。新時期，在經濟學理論研究與應用中，高等數學的應用頻率很高，如線性代數和概率論、微積分與數據統計三類。經濟學與數學間聯系最為緊密的當屬微積分，如，邊際的出現，旨在實現導數的經濟化，而“彈性”這一詞語在經濟學中的出現頻率也很高，要全面滲透數學思想。在數學知識點中，線性代數是把復雜的多元化方程進行簡單化處理與求解的一種數學工具，其主要內容就表現在計量經濟學中實施數據處理。在保險學領域，數理統計與概率論等知識點所發揮的作用是無法忽視的[3]。實施經濟管理工作時，還要做好前期的預測工作，這是實現商品產銷、資金投放和人員組織的一項重要決策與重要依據。現如今，經濟的全面發展，需要集合多種資源，科學設定經濟目標與經濟管理方法，從多種方法中選一，進而從中獲取最高經濟效益。為滿足數學知識點的實際需求，要求目標性函數達到極值，且目標性函數也能表示所產生的損失，進而要求函數值能達到最小值。此類知識點時常會被轉化成變分問題或求解目標函數的相關條件，且線性規劃、非線性規劃、優選法與最優控制法等都要致力于發展的優化上。若提出一個比較詳細的經濟性問題，會結合具體內容、具體條件，讓整個數量關系變得更為抽象，還要建立相應的數學模式，以實現對經濟問題的研究。1.結合研究對象與研究目的來實施周密性的調查，進而從中獲取足夠的信息數據，并及時數據信息與文件資料實施分組處理和管理工作。2.理論條件下，要強調對數據信息的科學性分析與觀察，及時了解影響經濟系統的因素有哪些，進而確定好相應的變量。3.及時了解事物數量與共性間的密切聯系，同時了解制約系統運行的條件。4.嚴格規定代碼與符號，合理羅列各個數量關系，設定數學表達式。對數學關系式實施合并與簡化處理，科學設定相應的數學模型，并對數學模型進行糾正與規范。5.結合實際模型，對經濟的實際變化規律、經濟運行狀態等進行科學性的描述，并提出理論假說。
綜上所述，在經濟學領域應用數學學科知識點，能促進經濟學的全面發展，必須要深度分析數學在經濟學中的具體作用，及時了解數學的精髓與基本方法，全面滲透數學思想，全部融入經濟領域，促進經濟學的全面發展，針對社會發展進程中各類經濟現象實施科學而有效的剖析。
作者:王麒焱 單位:東北石油大學秦皇島分校
參考文獻：
［1］朱小飛.高等數學在經濟學中的應用［J］.科教文匯（下旬刊），2015（3）：43-44．
【關鍵詞】導數；單調性；凹凸性；拐點
導數是進一步學習數學和其他自然科學的基礎，是現代科學技術研究必不可少的工具。導數反映了函數隨自變量變化的快慢程度，即函數的變化率，它使人們能夠用數學工具描述事物變化的快慢及解決與之相關的問題。
一、利用導數求切線方程
導數的幾何意義是，曲線 在點 處的切線斜率，即
例1
求曲線 在點（1，2）處的切線斜率，并寫出該點處的切線方程與法線方程。
解：所求的切線斜率為 。由于 ，于是 。
所求的切線方程為 ，即
所求法線方程的斜率為
所求的法線方程為 ，即
二、利用導數分析函數的單調性
函數單調性的判定法：設函數 在區間 上連續，在 內可導。
（1）如果在 內 ＞0，那么函數 在 上單調增加；
（2）如果在 內 ＜0，那么函數 在 上單調減少
例2討論函數 的單調性
解：（1）函數的定義域為
（2）
（3）令 得 ，這兩點把定義域區間分為 ， ， ， 四部分。
由此可知，在區間 和 內函數 單調增加，在區間 和 內單調減少。
注：導數等于零的點和導數不存在的點可能是函數單調區間的分界點
求函數的單調性的一般步驟為：
（1）確定函數的定義域
（2）求出使函數 或 不存在的點，并以這些點為分界點，將函數定義域分為若干子區間。
（3）確定 在各個子區間的符號，進而確定 的單調區間。
三、利用導數的性質證明不等式
例3 證明：當 ＞0時， ＞
證明：設 ，則
當 ＞0時， ＞0，所以 為單調增加，又因為 ，故當 ＞0時， ＞ ，即 ＞0
因此＞
注：當不等式不能做差或作商是可以用導數的性質來解決。
四、利用導數求函數的極限
在求函數 極限時常會遇到兩個函數 ， 都是無窮小或都是無窮大的情況，即“ ”，“ ”型的極限，這類極限不能直接用四則運算法則求極限，那么可以用洛必達法則來求其極限。
洛必達法則：若函數 ， 滿足
（1） ，
（2）在點 的某個去心鄰域內 ， 存在，且 ≠0
（3） 存在或無窮大
則極限 存在（或為無窮大），且 =
注：當 換為 時，定理仍然成立
例4 求
解：這是 型未定式
= =
例5求
解：這是 型未定式
= = =0
五、利用導數求函數的極值
極值判定法：設函數 在點 處連續，且在點 的某個鄰域內可導（點 除外），若在該鄰域內
（1）當 ＜ 時，有 ＞0；當 ＞ 時，有 ＜0，則函數 在點 處有極大值 ， 為 的極大值點；
（2）當 ＜ 時，有 ＜0；當 ＞ 時，有 ＞0，則函數 在點 處有極小值 ， 為 的極小值點；
（3）若在點 的左右兩側近旁， 的符號相同，則函數 在點 處沒有極值。
例6求函數 的極值點與極值
解：（1）函數 的定義域為
（2） ，令 ，得 ，
， 將函數 的定義域 分為3個子區間，在每個子區間內討論 的符號。
（3）列表討論如下
（4）由表可見， 為函數的極大點， 為函數的極大值； 為函數的極小點， 為函數的極小值。
由此題可知求函數 極值點和極值的一般步驟：
（1）確定函數 的定義域
（2）求出導數 ，并求出函數 的全部駐點和不可導的點
（3）列表討論 在上述各點近旁的符號
（4）判定函數 的極值點，并求出函數的極值
六、利用導數求函數的最值
設 在 內的駐點為 ， ，…， ，則比較 ， ，…， ， 的大小，其中最大的便是 在 上的最大值，最小的便是 在 上的最小值。
例7求函數 在 上的最大值與最小值
解：
解方程 ，得到 ， ，由于
比較可得 在 取得它在 上的最大值 ，在 取得它在 上的最小值
七、利用導數研究函數的凹凸性與拐點
定理：設函數 在 上連續，在 內具有一階和二階導數，那么
（1）若在 內 ＞0，則 在 上的圖形是凹的；
（2）若在 內 ＜0，則 在 上的圖形是凸的.
例8求曲線 的拐點坐標及凹凸區間.
解：（1）函數 的定義域為
（2） ，
令 ，即 ，解得 ， .
從而 ， 把定義域區間分為3個區間： ， ，
（3）列表討論曲線的凹凸性和拐點
由上表可知，曲線在區間 ， 內是凹的，在區間 內是凸的。曲線的拐點坐標為 ，
求曲線 凹凸區間及拐點坐標的一般步驟為：
（1）確定函數 的定義域；
（2）求出函數 的二階導數 ，解出 =0的全部實根，并求出二階導數 不存在的點；
（3）判斷上述各點兩側 是否異號，如果 在點 的兩側異號，則點（ ， ）是曲線 的拐點；如果 在點 的兩側同號，則點（ ， ）不是曲線 的拐點。
八、導數在經濟分析中的應用
（一）邊際分析
邊際概念是經濟學中的一個重要概念，一般指經濟函數的變化率。經濟函數的導數，反映的是這個經濟現象的瞬時變化率，可以近似的描述該經濟函數的邊際。
1、邊際成本
設總成本函數為 ，其導數 稱作邊際成本，記作MC。它表明在生產或購銷中，產量或購銷量在Q水平上再增加一個單位引起的成本的改變量 。
2、邊際收入和邊際利潤
設某產品的總收入函數為 ,稱其導數 為邊際收入，記作MR.。
設某產品的總利潤函數為 ,稱其導數 為邊際利潤，記作ML.。
例9設某產品的總成本函數和收入函數分別為
，
其中，Q為該產品的銷售量。試求
（1）該產品的邊際成本、邊際收入和邊際利潤
（2）生產50個單位產品時平均單位成本和邊際成本本值
解：（1）邊際成本為
邊際收入為
利潤函數為
則邊際利潤為
(2) 時的平均單位成本為 ， 是的邊際成本為
這表示生產第50個或第51個單位產品時所追加的成本為17.5
（二）、彈性分析
若函數 在點 處可導，則 的值稱為函數 在點 處的彈性，記作 。
函數 在點 處的彈性 反映了當自變量 變化1%時，函數 變化的百分數為
若需求函數為 則需求彈性為
若供給函數為 則供給彈性為
例10某商品的需求函數為 ，求 時，需求對價格的彈性。
解：
當 時， ≈－1.7
其經濟含義是，當 時，價格每上升1%，需求量則減少1.7%